EXERCISE--1
*****
Type -1
********
1) ∫ (x+1)⁵. 1/6 (x+1)⁶
2) ∫ (x -21)⁸. 1/9 (x -21)⁹
3) ∫ (x - 100)⁸⁰. 1/81(x - 100)⁸¹
4) ∫(x - 2)⁵⁾² 2/7 (x - 2)⁷⁾²
5) ∫ √(x - 5). 2/3 √(x - 5)³
6) ∫√(x - 6)³. 2/5 √(x - 6)⁵
7) ∫(x - 8)⁵⁾⁷. 7/12 (x - 8)¹²⁾⁷
8) ∫ dx/(x - 2)⁵. -1/{4(x - 2)⁴}
9) ∫ dx/(3- x)⁷. 1/{6(3-x)⁶}
10) ∫ dx/(a - x)¹⁰. 1/{9(a-x)⁹}
11) ∫dx/(x - 4)⁵⁾³. -3/2 (x - 4) ⁻²⁾³
12) ∫ dx/(x - 9)⁴⁾⁷ 7/3 (x - 9)³⁾⁷
Type -2
********
1) ∫ (3x+5)⁷. (3x+5)⁸/24
2) ∫ (4+5x)⁷. 1/40 (4+5x)⁸
3) ∫ (4- 9x)⁵. -(4-9x)⁶/54
4) ∫ √(ax+b) . 2 √(ax+b)³/3a
5) ∫ ⁵√(5+3x). 5/18 ⁵√(5+3x)⁶
6) ∫ (7x+5)¹⁰⁰. 1/707 (7x+5)¹⁰¹
7) ∫ (2x+9)⁵. 1/12 (2x+9)⁶
8) ∫ (7 - 3x)⁴. -1/15 (7-3x)⁵
9) ∫ √(3x-5). 2/9 √(3x-5)³
10) ∫ (3x/2+4)⁵. 1/9 (3x/2+4)⁶
11) ∫ (x/3+ 9)¹². 3/13 (x/3+ 9)¹³
12) ∫ (4x+ 3)⁵⁾²· 1/14 (4x+ 3)⁷⁾²
13) ∫ 1/(3x-4)⁵. -1/{12(3x-4)⁴}
14) ∫ 5/(2- ax)⁷. 5/{6a(2-ax)⁶}
15) ∫ 3mn/(b -px)⁶. 3mn/{5p(b-px)⁵}
16) ∫ 1/(2-3x)⁴. 1/{9(2-3x)³
17) ∫ dx/√(3-4x). -1/2 √(3-4x)
18) ∫ dx/√(4x+3). 1/2 √(4x+3)
19) ∫ dx/√(3-4x). -1/2 √(3-4x)
20) ∫ dx/√(2x-3)³. -1/√(2x-3)
Type-3
*******
1) ∫ dx/(x+1). log|(x+1)|
2) ∫ dx/(1-x). - log|(1-x)|
3) ∫ dx/(500+x). log|(500+x)|
4) ∫ dx/(3x+2). 1/3 log|(3x+2)|
5) ∫ dx/(7x+ b). 1/7 log|(7x+b)|
6) ∫ dx/(ax+b). 1/a log|ax+b|
7) ∫ dx/(3a - 4bx). -1/4b log|(3a-4bx)|
8) ∫ 3dx/(1-7x). -3/7 log|(1-7x)|
9) ∫ 2ab/(5-3x). -2ab/3 log|(5-3x)|
10) ∫ 3/2(6x+1). 1/4 log|(6x+1)|
Type-4
******
1) ∫ x dx/(x² -1). 1/2 log|(x²-1)|
2) ∫ 3x/(2x² - 5). 3/4 log|2x²-5|
3) ∫ x³/(x⁴ -a). 1/4 log|(x⁴ - a)|
4) ∫ ax/(2x²+4). a/4 log|(2x²+4)|
5) ∫ -3x²/(1- 7x³). 1/7 log|(1-7x³)|
6) ∫ 4x/(2x²-3). log|(2x²-3)|
7) ∫ (2x+1)/(x²+x+4). log|(x²+x+4)|
8) ∫(6x-5)/(1- 5x+3x²). log|(1-5x+3x²)|
9) ∫(8x+6)/(2x²+3x-5). 2log|(2x²+3x-5)|
10) ∫ (16x³-3)/(4x⁴- 3x). log|(4x⁴-3x)|
11) ∫ x dx/(3x² -4)⁴.
12) ∫ x(x²+1)¹². 1/26 (x²+1)¹³
13) 6x/(4 - 3x²)². 1/(4-3x²)
14) ∫ (3x+5)/³√(3x²+10x+2)². 3/2 ³√(3x²+10x+2)
15) ∫ (2x+5)/(x²+5x -7). log|x²+4x-7|
16) ∫ (x-2)/√(2x²-8x+5). 1/2 √(2x²-8x+5)
17) ∫ (x-2)/³√(x²-4x+5). 3/4 ³√(x²- 4x+5).
18) ∫ (2x+3)√(x²+3x-1). 2/3 ³√(x²+3x-1)
19) ∫ (2x-3)⁵+ √(3x+2). 1/12 (2x-3)⁵ +2/9 (√(3x+2)³
20) ∫1/(7x-5)³ + 1/√(5x-4). 1/{14(7x-5)²} + 2/5 √(5x-4)
21) ∫ (2x-3)⁵+ 1/(7x-5)³ + 1/√(5x-4) + √(3x+2).
22) ∫1/(2-3x) + 1/√(3x-2). -1/3 log|2-3x| +2/3 √(3x-2)
23) ∫(x+1)/(x²+2x-3). 1/2 log| x²+2x-3|
24) ∫ (4x-5)/(2x²-5x+1). Log| 2x²-5x+1|
25) ∫ 4x /(2x²+3). log|2x²+3|
26) ∫(9x²- 4x+5)/(3x³- 2x²+ 5x+1). log|3x³- 2x²+5x+1|
27) ∫ (2x+3)/√(x²+3x-2). 2√(x²+3x-2)
28) ∫ (2x-1)/√(x²-x-1). 2√(x²-x-1)
29) ∫ dx/{√(x+a)+ √(x+b)}. 2/{3(a-b)} {√(x+a)³- √(x+b)³}
30) ∫ dx/{√(1-3x)- √(5-3x)}. 1/18 {√(1-3x)³+ √(5-3x)³}
31) ∫ x/√(1+x). 2/3 ³√(1+x)³ - 2√(1+x)
32) ∫ x √(x-1). 2/5 √(x-1)⁵ + 2/3 √(x-1)³
33) ∫ x √(3x-2). 2/45 √(3x-2)⁵ + 4/27 √(3x-2)³
34) ∫ (2x-3) √(x² -3x+5). 2/4 √(x²-3x+5)³
EXERCISE--2
***************
Q) ∫ (x+3)/(x+1)⁴. -1/(x+1)² - 2/{3(x+1)³
2) ∫ 2x/(2x+1)². 1/2 log(2x+1)+ 1/{2(2x+1)}
3) ∫ (2+3x)/(3-2x). -13/4 log(3-2x) +3/4 (3-2x)
4) ∫ (x+2)/(x+1)². log|x+1| - 1/(x+1)
5) ∫ x³/(x²+1)³. -(2x²+1)/ {4(x²+1)²
6) ∫ x/√(x+a). 2/3 (x-2a)√(x+a)
7) ∫dx/{x(x⁴+1)}. -1/4 log{x⁴/(x⁴+1)}.
8) ∫ (3+2x)/(2-3x). 1/9[2(2-3x)-13 log|2- 3x|
9) ∫ (2x-1)/(x+1). 2x-3- 3 log|x+1|
10) ∫ (4+5x)/(3-2x). 5x/3 -23/4 log|3- 2x|
11) ∫ (x³+ 5x²-3)/(x+2). x³/3 + 3x²/2 - 6x + 9 log|x+2|
12) ∫ x/√(x+2). 2/3 √(x+2)³ - 4√(x+2)
13) ∫ (x+1)/√(2x-1). 1/2[1/3 √(2x-1)³+ 3 √(2x-1)
14) ∫ (x+3)/√(2x-1). 1/6 √(2x-1)³+ 7/2 √(2x-1)
15) ∫ (x+2)/√(x +2). 2/3 √(x+3)³- 2 √(x+2)
16) ∫ (1-x)/√(1+x). 4√(1+x)- 2/3 ³√(1+x)
17) ∫ (4x+3)/√(2x+1). 2/3 √(2x-1)³+ 5 √(2x-1)
18) ∫ (3x+2)/√(x+1). 2x√(x+1)
19) ∫ (8x +13)/√(4x+7). 1/3 √(4x+7)² - 1/2 √(4x+7)
20) x√(x+2) dx. 2/5 √(x+2)⁵- 4/3 √(x+2)³
21) ∫ (3x-1) √(x+2). 6/5 √(x+2)⁵ - 14/3 √(x+2)³.
22) (2x-1) √(x+3). 2{2/5 √(x+3)⁵ - 7/3 √(x+3)³}
23) (5x-1) √(2-x). 2{√(2-x)⁵ -3 √(2-x)³.
24) ∫ (7x -2)√(3x+2). 14/45 √(3x+2)⁵ - 40/27 √(3x+²)³
25) ∫ x²/(x+1). x²/2 - x + log|x+1|
26) ∫ x²/(a+bx)². 1/b³[ bx - 2a log|bx+a| - a²/(a+bx)]
27) ∫ x³/(x-1). x³/3 + x²/2 + x + log|x-1|
28) ∫ x³/(x+2). x³/3 -x² + 4x -8 log|x+2|
29) ∫ dx/{x³(2+3x)². 1/16[9(2+3x)/x -27 log|(2+3x)/x| - 1/2{(2+3x)/x}² -27x/(2+3x)]
EXERCISE --3
********
1) ∫ dx/{√x+3) - √(x+1)}. 1/3{√x+3)³ + √(x+1)³}
2) ∫ dx/{√x - √(x-1)}. 2/3{√x³ - √(x-1)³}.
3) ∫ 1/{√(x+1)+ √x}. 2/3{√(x+1)³ - √x³}
4) ∫ dx/{√2x+5) - √(2x-3)}. 1/24 {√2x+5)³ + √(2x -3)³}
5) ∫ dx/{√3x+4) + √(3x-10)}. 1/63{√3x+4)³ - √(3x+10)³}
6) ∫ dx/{√3x+4) - √(3x+1)}. 2/27 {√3x+4)³ + √(3x+1)³}
7) ∫ dx/{√x+1) + √(x+2)}. 2/3{√x+2)³ - √(x+1)³}
8) ∫ x dx/{√4x+3) - √(x+3)}. 1/18 {√4x+3)³ + 2/9 √(x+3)³}
9) ∫ x dx/{√5x+1) + √(x+1)}. 1/2{1/15 √(5x+1)³ - 1/3 √(x+1)³}
EXERCISE - 4
**********
1) ∫ e⁽⁵ˣ⁺³⁾. 1/5 e⁽⁵ˣ⁺³⁾
2) ∫ e⁽²ˣ⁺³⁾ dx. 1/2 e⁽²ˣ⁺³⁾
3) ∫ (ₑ√x)/√x. 2 ₑ√x
4) ∫dx/(eˣ +1). log {eˣ/(eˣ+1)
5) ∫ dx/(eˣ -1). log {eˣ/(eˣ+1)
6) ∫ eˣ/(eˣ -1). log |eˣ-1|
7) ∫1/{(eˣ +1)(e⁻ˣ +1)}. -1/(eˣ +1)
8) ∫1/{(1+eˣ)(1+e⁻ˣ)}. -1/(eˣ +1)
9) ∫ (eˣ+1)²eˣ. 1/3 (eˣ+1)³
10) ∫ (eˣ + 1/eˣ)². e²ˣ/2 +2x - 1/2eˣ
11) ∫ (eˣ+1)². e²ˣ/2 + 2 eˣ + x
12) ∫ (eˣ -e⁻ˣ) (eˣ+e⁻ˣ). Log |eˣ+e⁻ˣ|
13) ∫ e³ˡᵒᵍ ˣ/(x⁴+1). 1/4 log (x⁴+1)
14) ∫1/(1 - e⁻ˣ). Log|1/(1+eˣ)|
15) ∫ e⁽²ˣ ⁻³⁾. 1/2 e⁽²ˣ ⁻³⁾
16) ∫ e⁽¹⁻³ˣ⁾. -1/3 e⁽¹⁻³ˣ⁾
17) ∫e⁽²⁻³ˣ⁾. -1/3 e⁽²⁻³ˣ⁾
18) ∫ e⁻¹⁾ˣ/x². e⁻¹⁾ˣ
19) ∫ e²ˣ/(e²ˣ-2). 1/2 log|e²ˣ-2|
20) ∫ (e³ˣ/(e³ˣ+1). 1/3 log|(e³ˣ+1)|
21) ∫(eˣ+1)/(eˣ+x). Log|(eˣ+x)|
22) ∫ a/+b + ceˣ). -a/b log|be⁻ˣ+c)
23) (eˣ⁻¹ + xᵉ⁻¹)/(eˣ +xᵉ). 1/e log|eˣ +xᵉ)|
24) ∫ √(1+eˣ)eˣdx. 2/3 √(1+eˣ)³
25) ∫ eˣ/(1+eˣ). -1/(1+eˣ)
EXERCISE-5
----------------
1) ∫ dx/(x log x). Log|log x|
2) ∫{log(x²)}/x. (log x)²
3) ∫(log x)²/x. 1/3 (logx)³
4) ∫ {(x+1)(x+ logx)²}/x. 1/3 (x + logx)³
5) ∫ (logx)/x. 1/2 (logx)²
6) ∫ dx/(x logx). log(log x)
7) ∫ (log √x)/3x. 1/12 (logx)²
8) ∫{(x+1)(x+ logx)³}/x. 1/4(x+logx)⁴
9) ∫{(x+1)(x+ logx)²}/x. 1/3 (x+logx)³
10) ∫√(2+ logx)/x. 2/3 √(2+ log x)³
11) ∫dx/{x(3+ logx)}. Log|3+ logx|
12) ∫ (log x)³/x. (Logx)⁴/4
13) ∫[log (1+ 1/x)]/{x(1+x)}. -1/2[log(1+ 1/x)]²
EXERCISE-6
1) ∫ 3⁽²⁻³ˣ⁾. -3⁽²⁻³ˣ⁾/(3log 3)
2) ∫ a⁽¹⁻⁴ˣ⁾. -1/(4 log a) a⁽¹⁻⁴ˣ⁾.
3) ∫ a⁵ˣ dx. a⁵ˣ/(5 log a)
4) ∫ 3⁽⁵ˣ⁺³⁾. 1/5 3⁽⁵ˣ⁺³⁾/log 3
5) ∫ 7⁽⁷ˣ⁺⁴⁾. 1/7 7⁽⁵ˣ⁺³⁾/log 7
6) ∫ 10x⁹ + 10ˣ log 10)/(10ˣ+ x¹⁰). Log |10ˣ+ x¹⁰ |
₂ˣ ₓ
7) ∫ 2² 2² 2ˣ. ₂ˣ
1/(log 2)³ 2²
8)
EXERCISE-7
*******
1) ∫ sin² bx. x/2 - 1/4b sin 2bx
2) ∫ sin²x dx. 1/2(x - (sin2x)/2)
3) ∫ sin² x/2. 1/2 (x - sinx)
4) ∫ sin²(2x+5). x/2 - 1/8 sin(4x+10)
5) ∫ sin³x dx. 1/3 cos³x - cosx
6) ∫ sin³(2x+1). -3/8 cos(2x+1) +1/24 cos(6x+3)
7) ∫ sin⁵x dx. 2/3 cos³x - cosx -1/5 cos⁵x.
8) ∫ sin⁴x dx. 3x/8 -1/4 sin 2x +1/32 sin 4x
9) ∫ sin³x cosx 1/4 sin⁴x
10) ∫ (sin√x)/√x. - 2 cos√x
11) ∫ 1/(1- sin x/2). 2(tan x/2 + sec x/2)
12) ∫ (sin 2x+ 4 sinx)/(sin²x - 4 cosx+1)⁴. 1/{3(sin²x -4cosx+1)³
13) ∫ sin 2x/(a² sin²x + b² cos²x). 1/(a²-b²)/llog|a² sin²x + b² cos²x|
14) ∫ sin2x/(a² + b² sin²x). 1/b² log(a²+ b² sin²x)
15) ∫ Sin2x/(sin 5x sin 3x). 1/3 log|sin 3x| - 1/5 log |Sin 5x|
16) ∫ (sin⁸x - cos⁸x)/(1- 2 sin²x cos²x). -1/2 sin2x
17) ∫ sinx √(1- cos2x). x/√2 - (sin2x)/2√2
18) ∫ sinx √(1+ cos 2x). -1/2√2 cos 2x
19) ∫ sin⁵x dx. -(cosx - 2/3 cos³x + 1/5 cos⁵x)
EXERCISE- 8
**********
1) ∫ cos³x dx. sinx - 1/3 sin³x
2) ∫ cos 2x. 1/2 sin 2x
3) ∫ cos²x dx. 1/2(x + (sin2x)/2)
4) ∫ cos² x/2. 1/2 (x+ sinx)
5) ∫ cos³x. 1/4((sin3x)/3 + 3 sinx)
6) ∫ cos⁵x dx. Sinx -2/3 sin³x +1/5 sin⁵x
7) ∫ cos⁴x dx. 3x/8 +1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x
8) ∫ cos⁴ 2x. 3x/8 + 1/8 sin4x +1/64 sin 8x
9) ∫ cos³x sin x. -1/4 cos⁴x
10) ∫ 1/(1+ cos 3x). (1-cos 3x)/3 sin 3x
11) ∫ (1+ cosx)/(1- cos x). -2 cot(x/2) - x
12) ∫ (1- cosx)/(1+ cos x). 2tan(x/2) - x
13) ∫ dx/√(1- cos 2x). 1/√2 log|tan(x/2)|
14) ∫ cos⁷x dx. Sinx - sin³x + 3/5 sin⁵x - 1/7 sin⁷x
15)
EXERCISE-9
----------------
1) ∫ dx/(sin²x cos²x. tanx - cot x
2) ∫ sin³x cos³x. 1/32(-3/2 cos2x + 1/6 cos 6x)
3) ∫ sin⁴x cos⁴x. 1/128(3x - sin 4x + 1/8 sin 8x)
4) Cos 2x/(sin²x cos²x). -cotx- tanx
5) ∫(1+ cosx)/√(x+ sinx). 2√(x+sinx)
6) ∫(x²+ cos 3x +1)/(x³+ sin 3x+ 3x). 1/3 log|x³+ sin 3x+3x|
7) ∫ cosx/√(1+ sinx). 2(sinx/2 + cos x/2)
8) ∫ cos²x/sin⁴x. -1/3 cot³x
9) ∫ (1+ cos 4x)/(cotx - tan x). -1/8 cos 4x
10) ∫(2+ 3 cosx)/sin²x. -2cotx - 3 cosecx
11) ∫√(sinx)cosx. 2/3 √(sinx)³
12) ∫ sinx/(3+4 cosx)². 1/{4(3+5cosx)}
13) ∫sin⁴x cos³x dx. 1/5 sin⁵x - 1/7 sin⁷x
14) ∫ sin³x cos³x dx. 1/32(-3/2 cos 2x + 1/6 cos 6x)
15) ∫ sin³x cos⁴x dx. 1/7 cos⁷x -1/5 cos⁵x
16) ∫ sin⁵x cos³x dx. 1/3 cos⁶x - 1/8 cos⁸x -1/4 cos⁴x
17) ∫ sin⁶x cos³x dx. 1/7 sin⁷x - 1/9 sin⁹x
18) ∫ sin⁵x cos²x dx. -1/7 cos⁷x +2/5 cos⁵x - 1/3 cos³x
19) ∫ sin⁴x cos²x dx. 1/32[2x - 1/2 sin⁵2x -1/2 sin 4x +1/6 sin 6x
20) ∫ Sin⁴x cos²x dx. 1/128(3x - sin 4x +1/8 sin 8x)
21) ∫ sin⁴x cos⁴x dx. 1/128(3x - sin 4x + 1/8 sin 8x)
22) ∫ sinx √(1- cos 2x). x/√2 - 1/2√2 sin 2x
23) ∫ sinx √(1+ cos 2x). -1/2√2 cos 2x
24) ∫ sin²x/cos⁴x. 1/3 tan³x
25) ∫ dx/√(sinx)⁷(√cosx). -2/5 √(tanx)⁵ - 2/√tanx
26) dx/√(sinx)√(cosx)⁷. 2/5 √tan⁵x
27) ∫ cosx/(2+ 3 sinx). 1/3 log|2 + 3 sinx|
28) ∫ (1- sinx)/(x+ cosx). Log|x + cosx|
29) ∫ (2 cosx - 3 sinx)/(6cosx + 4 sinx). 1/2 log|2 sinx+ 3 cosx|
30) ∫ (cos2x + x+1)/(x²+ sin2x +2x). 1/2 log|x² + sin2x +2x|
31) ∫ cos2x/(sinx + cosx)². 1/2 log |1+ sin 2x|
32) ∫ (-sinx + 2 cosx)/(2sinx + cosx). log|cosx + 2 sinx|
33) ∫(cos4x - cos2x)/(sin4x - sin2x). 1/3 log|cos 3x|
34) ∫ sin2x/{sin(x -π/6) sin(x+π/6)}. Log|sin(x-π/6) sin(x+π/6)|
35) ∫ 1/(sinx cos²x). Secx + log|tan(x/2)|
36) ∫ sinx √(1- cos 2x). 1/√2 [x - (sin2x)/2]
37) ∫ (1- sin 2x)/(x + cos²x). Log| x + cos²x|
38) ∫ (cosx - sinx)/(1+ sin2x). -1/(cosx + sinx)
39) ∫ sin2x/(a + b cosx)². -2/b² [log |a+ b cos x|+ a/(a+ b cos x)]
40) ∫ sinx/√(3+ 2 cosx). -√(3+ 2 cosx)
41) ∫ sin2x/(a cos²x + b sin²x). 1/(b-a) log|a cos²x + b sin²x|
42) ∫ ³√(cos²x) sinx. -3/5 ³√cos⁵x
43) ∫ (1+ sinx)/√(x - cosx). 2√(x - cosx)
44) ∫ cos³x/√sinx. 2 √sinx - 2/5 √sin⁵x
45) ∫ sin³x/√cosx. -2 √cosx + 2/5 √cos⁵x
46) ∫ sin⁵x cosx. 1/6 sin⁶x
47) ∫(1+ cosx)/(x+ sinx)³. -1/2(x+ sinx)²
48) ∫ (cosx - sinx)/(1+ sin2x). -1/(sinx + cosx)
49) ∫ sin²x cos⁵x dx. 1/3 sin³x - 2/5 sin⁵x + 1/7 sin⁷x
50) ∫ sin³x cos⁵x dx. -1/6 cos⁶x + 1/8 cos⁸x
51) ∫ sin³x cos⁶x. -(1/7 cos⁷x - 1/9 cos⁹x)
52) ∫x cos³x² sinx². -1/8 cos⁴x²
EXERCISE-10
********
1) ∫ tan³x dx. 1/2 tan²x -log|Sec x|
2) ∫ tan²x dx. Tanx - x
3) ∫ tan⁵x dx. 1/4 tan⁴x -1/2 tan²x + log|sec x|
4) ∫ (3tan²x+2)²/(tanx +2 tanx +3)³. 1/{2(tan³x + 2tan x +3)²
5) ∫(1- tanx)/(1+ tanx). log|cosx+ sinx|
6) ∫ (1+ tanx)/(x+ log secx). Log|x + log secx|
7) ∫ tan³x sec²x dx. 1/4 tan⁴x
8) ∫ log (tan x/2)/sin x. (Log tan x/2)²/2
9) ∫ (1+ 2 tanx √(tanx + secx). Log|sec x + tanx | + log|secx|
10) ∫ Tan x/√cosx. 2/√cosx
11) ∫ √tanx/(sinx cosx). 2√tanx
12) ∫
EXERCISE-11
-------------------
1) ∫ sec⁴x dx. tanx + 1/3 tan³x
2) ∫ sec⁶x dx. 1/5 tan⁵x + 2/3 tan³x + tan x
3) ∫sec²(log x)/x. Tan(logx)
4) ∫ sec²(3x+5). 1/3 tan(3x+5)
5) ∫ 1/(1+ sec ax). x + 1/a (cot ax - cosec ax)
6) ∫ secx/log(secx + tanx). Log|log|(secx + tanx||
7) ∫ secx/sec2x. 2 sinx - log|secx + tanx|
8) ∫
Exercise- 12
--------------
1) ∫ cosec⁶x dx. Cotx +2/3 cot³x + 1/5 cot⁵x
2) ∫ cosec⁴x dx. -1/3 cot²x - Cotx
3) ∫ cosecx/log tan(x/2). Log|log tan (x/2)|
4) ∫ cosec²x/(1+ cotx). - log|1+ cotx|
5) ∫ cosecx log (cosecx - cot x). 1/2 {log| cosecx - cotx|}²
EXERCISE-13
----------------
1) ∫ (sec x cosec x)/log(tanx). Log(log tanx)
2) ∫ sec²x/(3+ tanx). Log|3+ tanx|
3) ∫(secx tanx)/(3secx +5). 1/3 log |3secx +5|
4) ∫ sec²x/(tanx +2). Log|tanx +2|
5) ∫ (tanx sec²x)/(a+ b tan²x)². -1/{2b(a + b tan²x)}
6) ∫ sec³x tanx . 1/3 sec³x
7) ∫ √tan³x sec²x. 2/5 √tan⁵x
EXERCISE-14
-------------------+
1) ∫ (1- cotx)/(1+ cotx). -log| cosx + sinx|
2)∫ cot²x dx. - cot x - x
3) ∫ cot⁵x dx. 1/2 cot²x - 1/4 cot⁴x + log|sinx|
4) ∫ cot⁶x dx. 1/5 cot⁵x + 1/3 cot³x - cot x - x
5) ∫ cotx eᵐ ˡᵒᵍ ⁽ˢᶦⁿˣ⁾. 1/m eᵐ ˡᵒᵍ ⁽ˢᶦⁿˣ⁾
6) ∫ cotx/(log sinx). Log|log|sinx|
7) ∫ cot³x cosec²x. -1/4 cot⁴x
8) ∫cotx/√sin x. -2/√sinx
EXERCISE -15
---------------------
1) ∫ (2x+5)/(x²+5x-7). Log|x²+5x-7|
2) ∫ x³ sin x⁴ dx. -1/4 cosx⁴
3) ∫ dx/(cos 3x - cosx). 1/4{cosec x - log|secx + tanx|}
4) ∫ (1+ cos4x)/(cotx - tanx). -1/8 cos 4x
5) ∫ x²/√(1+x). 2/5 √(1+x)⁵ - 4/3 √(1+x)³ + 2 √(1+x)
6) e⁻ˣ cosec²(2e⁻ˣ +5). 1/2 cot(2e⁻ˣ +5)
7) ∫ √tanx/sin 2x. 2√tanx
8) ∫ (sin (x-a))/sin a. x cosa - sin a log|sin x|
9) ∫ sin x/{sin(x-a)}. sin a. Log|sin (x -a)|+ (x -a) cos a
10) ∫dx/{sin (x-a) sin (x- b)}. Cosec (a-b). Log|Sin(x-a)/sin(x-b)|
11) ∫ dx/{cos(x-a) cos(x-b)}. Cos (a-b) log|sin(x-a)/cos(x-b)|
12) ∫ cosx/cos(x-a). (x-a)cos a - sin a log|sec(x-a)|
13) ∫ (1- tanx)/(1+ tanx). Log|cosx + sin x|
14) ∫ sec²x/(3+ tanx). Log|3+ tanx|
15) ∫(2 cos2x + se²cx)/(sin2x + tanx -5). Log|Sin 2x+ tanx -5|
16) ∫ (1+ cotx)/(x+ log sinx). Log|x + log sinx|
17) ∫ dx/(x²+2x+4)². √3/18 [tan⁻¹{(x+1)/√3}+ {√3(x+1)/{3+(x+1)²}]
18) ∫ [f(ax +b)ⁿ f'(ax+b)] dx, n≠ -1. [f(ax+b)]ⁿ⁺¹/{a(n+1)}
19) ∫ cos³x eˡᵒᵍ ˢᶦⁿ ˣ dx. -1/4 cos⁴x
20) ∫ tan³x dx. 1/2 tan²x - log|Secx|
21) ∫ tan⁴x dx. 1/3 tan³x - tanx +x
22) ∫sec⁴x/√tanx. 2√tanx + 2/5 √tan⁵x
23) ∫ secⁿx tanx dx. 1/n secⁿx
24) ∫ cos⁹x/sinx. Log|Sinx| - 2 sin²x + 3/2 sin⁴x - 2/3 sin⁶x + 1/8 sin⁸x
25) ∫ sec³x tanx dx. 1/3 sec³x
26) ∫ √tanx (1+tan²x). 2/3 √tan³x
27) ∫ 1/√{sin³x sin(x+a)} dx. -2 cosec a √(cos a + cot x sin a)
28) ∫ sin2x/(a+ b cosx)². -2/b² {log|a + b cosx| + a/(a+ b cosx)}
29) ∫ x³ sin(x⁴+1)dx. -1/4 cos(x⁴+1)
30) ∫ {(x+1)eˣ}/cos²(xeˣ). Tan(xeˣ)
31) ∫ ₓ2 ₑx³ cos(ₑx³). 1/3 sin(ₑx³)
32) ∫ 2x sec³(x²+3) tan(x²+3). 1/3 sec³(x²+3)
33) ∫ {(x+1)/x} (x + logx)²dx. 1/3 (x + logx)³
34) ∫ₑtan⁻¹x/(1+x²). ₑtan⁻¹x
35) ∫ₑsin⁻¹x/√(1-x²). (ₑtan⁻¹x)²/2
36) ∫ (sin⁻¹x)²/√(1-x²). 1/3 (sin⁻¹x)³
37) ∫ [tan⁻¹(cotx) + cot⁻¹(tanx)]. πx - x²
38) ∫ cos⁻¹{(2 tanx)/(1+tan²x)}. πx/2 - x²
39) ∫ tan⁻¹[√{1- cos 2x)/(1+ cos 2x)}]. x²/2
40) ∫ tan⁻¹(sec x + tan x). πx/4 + x²/4
41) ∫ tan⁻¹x/(1+x²). 1/2 (tan⁻¹x)²
42) ∫ (x tan⁻¹x²)/(1+ x⁴). 1/4 (tan⁻¹x²)²
43) ∫ 1/{√(1- x²) (2+ 3 sin⁻¹x)}. 1/3 log|2+ 3 sin⁻¹x|
44) ∫ 1/{√(1- x²) (sin⁻¹x)²}. 1/( sin⁻¹x)
45) ∫ (x² tan⁻¹x³)/(1+x⁶). 1/6 (tan⁻¹x³)²
46) ∫4(sin⁻¹x)³/√(1- x²). (sin⁻¹x)⁴
47) ∫Sec²(2 tan⁻¹x)/(1+x²). 1/2 tan(2 tan⁻¹x)