Friday, 1 October 2021

INTEGRATION BY SUBSTITUTION

                 EXERCISE--1
                       ***** 
Type -1
********

1) ∫ (x+1)⁵.                          1/6 (x+1)⁶ 

2) ∫ (x -21)⁸.                      1/9 (x -21)⁹ 

3) ∫ (x - 100)⁸⁰.          1/81(x - 100)⁸¹  

4) ∫(x - 2)⁵⁾²                     2/7 (x - 2)⁷⁾² 

5) ∫ √(x - 5).                      2/3 √(x - 5)³

6) ∫√(x - 6)³.                   2/5 √(x - 6)⁵ 

7)  ∫(x - 8)⁵⁾⁷.                7/12 (x - 8)¹²⁾⁷

8)  ∫ dx/(x - 2)⁵.              -1/{4(x - 2)⁴}

9) ∫ dx/(3- x)⁷.                  1/{6(3-x)⁶}

10) ∫ dx/(a - x)¹⁰.              1/{9(a-x)⁹}

11)  ∫dx/(x - 4)⁵⁾³.      -3/2 (x - 4) ⁻²⁾³

12) ∫ dx/(x - 9)⁴⁾⁷          7/3 (x - 9)³⁾⁷


Type -2
********
1) ∫ (3x+5)⁷.                   (3x+5)⁸/24

2) ∫ (4+5x)⁷.                  1/40 (4+5x)⁸

3) ∫ (4- 9x)⁵.                     -(4-9x)⁶/54

4) ∫ √(ax+b) .              2 √(ax+b)³/3a

5) ∫ ⁵√(5+3x).             5/18 ⁵√(5+3x)⁶

6) ∫ (7x+5)¹⁰⁰.           1/707 (7x+5)¹⁰¹    
7) ∫ (2x+9)⁵.                1/12 (2x+9)⁶

8)  ∫ (7 - 3x)⁴.                  -1/15 (7-3x)⁵

9)  ∫ √(3x-5).                  2/9 √(3x-5)³

10) ∫ (3x/2+4)⁵.          1/9 (3x/2+4)⁶

11) ∫ (x/3+ 9)¹².       3/13 (x/3+ 9)¹³

12) ∫ (4x+ 3)⁵⁾²·          1/14 (4x+ 3)⁷⁾²

13) ∫ 1/(3x-4)⁵.            -1/{12(3x-4)⁴}

14)  ∫ 5/(2- ax)⁷.          5/{6a(2-ax)⁶}        
15)  ∫ 3mn/(b -px)⁶.      3mn/{5p(b-px)⁵}       
16) ∫ 1/(2-3x)⁴.                  1/{9(2-3x)³

17) ∫ dx/√(3-4x).           -1/2 √(3-4x)

18) ∫ dx/√(4x+3).         1/2 √(4x+3) 

19) ∫ dx/√(3-4x).           -1/2 √(3-4x)

20) ∫ dx/√(2x-3)³.          -1/√(2x-3)
  

Type-3
*******

1) ∫ dx/(x+1).                     log|(x+1)|

2) ∫ dx/(1-x).                     - log|(1-x)|

3) ∫ dx/(500+x).             log|(500+x)|

4) ∫ dx/(3x+2).           1/3 log|(3x+2)|

5) ∫ dx/(7x+ b).         1/7 log|(7x+b)|

6) ∫ dx/(ax+b).            1/a log|ax+b|

7) ∫ dx/(3a - 4bx).        -1/4b log|(3a-4bx)|

8) ∫ 3dx/(1-7x).         -3/7 log|(1-7x)|

9) ∫ 2ab/(5-3x).          -2ab/3 log|(5-3x)|

10) ∫ 3/2(6x+1).        1/4 log|(6x+1)|


Type-4
******

1) ∫ x dx/(x² -1).        1/2 log|(x²-1)|

2)  ∫ 3x/(2x² - 5).        3/4 log|2x²-5|

3) ∫ x³/(x⁴ -a).          1/4 log|(x⁴ - a)|

4) ∫ ax/(2x²+4).        a/4 log|(2x²+4)|

5) ∫ -3x²/(1- 7x³).        1/7 log|(1-7x³)|

6) ∫  4x/(2x²-3).                 log|(2x²-3)|

7) ∫ (2x+1)/(x²+x+4).                   log|(x²+x+4)|

8) ∫(6x-5)/(1- 5x+3x²).              log|(1-5x+3x²)|

9) ∫(8x+6)/(2x²+3x-5).    2log|(2x²+3x-5)|

10) ∫ (16x³-3)/(4x⁴- 3x).              log|(4x⁴-3x)| 

11) ∫ x dx/(3x² -4)⁴.          

12) ∫ x(x²+1)¹².               1/26 (x²+1)¹³

13) 6x/(4 - 3x²)².              1/(4-3x²)

14) ∫ (3x+5)/³√(3x²+10x+2)².     3/2 ³√(3x²+10x+2)

15) ∫ (2x+5)/(x²+5x -7).    log|x²+4x-7|

16) ∫ (x-2)/√(2x²-8x+5).                1/2 √(2x²-8x+5)

17) ∫ (x-2)/³√(x²-4x+5).      3/4 ³√(x²- 4x+5).

18) ∫ (2x+3)√(x²+3x-1).             2/3 ³√(x²+3x-1)

19) ∫ (2x-3)⁵+ √(3x+2).       1/12 (2x-3)⁵ +2/9 (√(3x+2)³

20) ∫1/(7x-5)³ + 1/√(5x-4).     1/{14(7x-5)²} + 2/5 √(5x-4)

21) ∫ (2x-3)⁵+ 1/(7x-5)³ + 1/√(5x-4) + √(3x+2).        

22) ∫1/(2-3x) + 1/√(3x-2).          -1/3 log|2-3x| +2/3 √(3x-2)

23) ∫(x+1)/(x²+2x-3).    1/2 log| x²+2x-3|

24) ∫ (4x-5)/(2x²-5x+1).     Log| 2x²-5x+1|

25) ∫ 4x /(2x²+3).              log|2x²+3|

26) ∫(9x²- 4x+5)/(3x³- 2x²+ 5x+1).      log|3x³- 2x²+5x+1| 

27) ∫ (2x+3)/√(x²+3x-2).     2√(x²+3x-2)

28) ∫ (2x-1)/√(x²-x-1).         2√(x²-x-1)

29) ∫ dx/{√(x+a)+ √(x+b)}.     2/{3(a-b)} {√(x+a)³- √(x+b)³}

30) ∫ dx/{√(1-3x)- √(5-3x)}.     1/18 {√(1-3x)³+ √(5-3x)³}

31) ∫ x/√(1+x).       2/3 ³√(1+x)³ - 2√(1+x)

32) ∫ x √(x-1).           2/5 √(x-1)⁵ + 2/3 √(x-1)³

33) ∫ x √(3x-2).       2/45 √(3x-2)⁵ + 4/27 √(3x-2)³

34) ∫ (2x-3) √(x² -3x+5).     2/4 √(x²-3x+5)³




                EXERCISE--2
               ***************

Q)   ∫ (x+3)/(x+1)⁴.          -1/(x+1)² - 2/{3(x+1)³

2) ∫ 2x/(2x+1)².        1/2 log(2x+1)+ 1/{2(2x+1)}

3) ∫ (2+3x)/(3-2x).        -13/4 log(3-2x) +3/4 (3-2x)

4) ∫ (x+2)/(x+1)².              log|x+1| - 1/(x+1)

5) ∫ x³/(x²+1)³.                    -(2x²+1)/ {4(x²+1)²

6) ∫ x/√(x+a).          2/3 (x-2a)√(x+a)

7) ∫dx/{x(x⁴+1)}.                        -1/4 log{x⁴/(x⁴+1)}.  

8) ∫ (3+2x)/(2-3x).             1/9[2(2-3x)-13 log|2- 3x|

9) ∫ (2x-1)/(x+1).     2x-3- 3 log|x+1|

10) ∫ (4+5x)/(3-2x).     5x/3 -23/4 log|3- 2x|

11) ∫ (x³+ 5x²-3)/(x+2).             x³/3 + 3x²/2 - 6x + 9 log|x+2|

12) ∫ x/√(x+2).             2/3 √(x+2)³ - 4√(x+2)

13) ∫ (x+1)/√(2x-1).     1/2[1/3 √(2x-1)³+ 3 √(2x-1)

14) ∫ (x+3)/√(2x-1).     1/6 √(2x-1)³+ 7/2 √(2x-1)

15) ∫ (x+2)/√(x +2).    2/3 √(x+3)³- 2 √(x+2)

16) ∫ (1-x)/√(1+x).        4√(1+x)- 2/3 ³√(1+x)

17) ∫ (4x+3)/√(2x+1).   2/3 √(2x-1)³+ 5 √(2x-1)

18)  ∫ (3x+2)/√(x+1).          2x√(x+1)

19) ∫ (8x +13)/√(4x+7).                 1/3 √(4x+7)² - 1/2 √(4x+7) 

20) x√(x+2) dx.        2/5 √(x+2)⁵- 4/3 √(x+2)³

21) ∫ (3x-1) √(x+2).       6/5 √(x+2)⁵ - 14/3 √(x+2)³.

22) (2x-1) √(x+3).      2{2/5 √(x+3)⁵ - 7/3 √(x+3)³}

23) (5x-1) √(2-x).    2{√(2-x)⁵ -3 √(2-x)³.

24) ∫ (7x -2)√(3x+2).                 14/45 √(3x+2)⁵ - 40/27 √(3x+²)³

25) ∫ x²/(x+1).       x²/2 - x + log|x+1|

26) ∫ x²/(a+bx)².             1/b³[ bx - 2a log|bx+a| - a²/(a+bx)]

27) ∫ x³/(x-1).              x³/3 + x²/2 + x + log|x-1|

28) ∫ x³/(x+2).             x³/3 -x² + 4x -8 log|x+2|

29) ∫ dx/{x³(2+3x)².       1/16[9(2+3x)/x -27 log|(2+3x)/x| - 1/2{(2+3x)/x}² -27x/(2+3x)]





               EXERCISE --3
                   ********

1) ∫ dx/{√x+3) - √(x+1)}.    1/3{√x+3)³ + √(x+1)³}

2) ∫ dx/{√x - √(x-1)}.    2/3{√x³ - √(x-1)³}.

3) ∫ 1/{√(x+1)+ √x}.         2/3{√(x+1)³ - √x³}

4) ∫ dx/{√2x+5) - √(2x-3)}.    1/24 {√2x+5)³ + √(2x -3)³}

5) ∫ dx/{√3x+4) + √(3x-10)}.    1/63{√3x+4)³ - √(3x+10)³}

6) ∫ dx/{√3x+4) - √(3x+1)}. 2/27 {√3x+4)³ + √(3x+1)³}

7) ∫ dx/{√x+1) + √(x+2)}.    2/3{√x+2)³ - √(x+1)³}

8) ∫ x dx/{√4x+3) - √(x+3)}.     1/18 {√4x+3)³ + 2/9 √(x+3)³}

9) ∫ x dx/{√5x+1) + √(x+1)}.    1/2{1/15 √(5x+1)³ - 1/3 √(x+1)³}



                  EXERCISE - 4
                     **********

1) ∫ e⁽⁵ˣ⁺³⁾.                       1/5 e⁽⁵ˣ⁺³⁾    

2)  ∫ e⁽²ˣ⁺³⁾ dx.                   1/2  e⁽²ˣ⁺³⁾

3) ∫ (ₑ√x)/√x.                          2 ₑ√x

4) ∫dx/(eˣ +1).            log {eˣ/(eˣ+1)

5) ∫ dx/(eˣ -1).            log {eˣ/(eˣ+1)

6) ∫ eˣ/(eˣ -1).                     log |eˣ-1|

7) ∫1/{(eˣ +1)(e⁻ˣ +1)}.     -1/(eˣ +1)

8) ∫1/{(1+eˣ)(1+e⁻ˣ)}.       -1/(eˣ +1)

9) ∫ (eˣ+1)²eˣ.                   1/3 (eˣ+1)³

10) ∫ (eˣ + 1/eˣ)².        e²ˣ/2 +2x - 1/2eˣ 

11) ∫ (eˣ+1)².            e²ˣ/2 + 2 eˣ + x

12)  ∫ (eˣ -e⁻ˣ) (eˣ+e⁻ˣ).               Log |eˣ+e⁻ˣ|

13)  ∫ e³ˡᵒᵍ ˣ/(x⁴+1).              1/4 log (x⁴+1)

14) ∫1/(1 - e⁻ˣ).          Log|1/(1+eˣ)|

15) ∫ e⁽²ˣ ⁻³⁾.                       1/2 e⁽²ˣ ⁻³⁾ 

16) ∫ e⁽¹⁻³ˣ⁾.                        -1/3 e⁽¹⁻³ˣ⁾

17) ∫e⁽²⁻³ˣ⁾.                        -1/3 e⁽²⁻³ˣ⁾

18) ∫ e⁻¹⁾ˣ/x².                            e⁻¹⁾ˣ

19) ∫ e²ˣ/(e²ˣ-2).         1/2 log|e²ˣ-2|
    
20) ∫ (e³ˣ/(e³ˣ+1).     1/3 log|(e³ˣ+1)| 

21) ∫(eˣ+1)/(eˣ+x).         Log|(eˣ+x)|

22) ∫ a/+b + ceˣ).      -a/b log|be⁻ˣ+c)

23) (eˣ⁻¹ + xᵉ⁻¹)/(eˣ +xᵉ).   1/e log|eˣ +xᵉ)|

24) ∫ √(1+eˣ)eˣdx.        2/3 √(1+eˣ)³

25)  ∫ eˣ/(1+eˣ).                -1/(1+eˣ)




                    EXERCISE-5
                      ----------------
1) ∫ dx/(x log x).               Log|log x| 

2) ∫{log(x²)}/x.                    (log x)²

3) ∫(log x)²/x.                 1/3 (logx)³

4) ∫ {(x+1)(x+ logx)²}/x.     1/3 (x + logx)³

5) ∫ (logx)/x.                    1/2 (logx)²

6) ∫ dx/(x logx).                 log(log x)

7) ∫ (log √x)/3x.           1/12 (logx)²

8) ∫{(x+1)(x+ logx)³}/x. 1/4(x+logx)⁴

9) ∫{(x+1)(x+ logx)²}/x. 1/3 (x+logx)³

10) ∫√(2+ logx)/x.    2/3 √(2+ log x)³

11) ∫dx/{x(3+ logx)}.         Log|3+ logx|

12) ∫ (log x)³/x.               (Logx)⁴/4

13) ∫[log (1+ 1/x)]/{x(1+x)}.      -1/2[log(1+ 1/x)]²



                EXERCISE-6
  
1) ∫ 3⁽²⁻³ˣ⁾.                -3⁽²⁻³ˣ⁾/(3log 3)

2) ∫ a⁽¹⁻⁴ˣ⁾.         -1/(4 log a) a⁽¹⁻⁴ˣ⁾.  
 
3)  ∫ a⁵ˣ dx.                   a⁵ˣ/(5 log a)

4) ∫ 3⁽⁵ˣ⁺³⁾.          1/5 3⁽⁵ˣ⁺³⁾/log 3

5) ∫ 7⁽⁷ˣ⁺⁴⁾.         1/7  7⁽⁵ˣ⁺³⁾/log 7

6) ∫ 10x⁹ + 10ˣ log 10)/(10ˣ+ x¹⁰).    Log |10ˣ+ x¹⁰ | 

           ₂ˣ    ₓ
7) ∫ 2²    2²  2ˣ.                               ₂ˣ    
                                  1/(log 2)³ 2²     

8)    
   

                 EXERCISE-7
                     ******* 

1) ∫ sin² bx.           x/2 - 1/4b sin 2bx

2) ∫ sin²x dx.       1/2(x - (sin2x)/2)

3)  ∫ sin² x/2.                 1/2  (x - sinx)

4) ∫ sin²(2x+5).                      x/2 - 1/8 sin(4x+10)

5)  ∫ sin³x dx.           1/3 cos³x - cosx

6) ∫ sin³(2x+1).                              -3/8 cos(2x+1) +1/24 cos(6x+3)

7) ∫ sin⁵x dx.     2/3 cos³x - cosx -1/5 cos⁵x.

8) ∫ sin⁴x dx.             3x/8 -1/4 sin 2x +1/32 sin 4x

9) ∫ sin³x cosx                   1/4 sin⁴x

10) ∫ (sin√x)/√x.                  - 2 cos√x

11) ∫ 1/(1- sin x/2).           2(tan x/2 + sec x/2)

12) ∫ (sin 2x+ 4 sinx)/(sin²x - 4 cosx+1)⁴.        1/{3(sin²x -4cosx+1)³

13) ∫ sin 2x/(a² sin²x + b² cos²x).    1/(a²-b²)/llog|a² sin²x + b² cos²x|

14) ∫ sin2x/(a² + b² sin²x).       1/b²  log(a²+ b² sin²x)

15) ∫ Sin2x/(sin 5x sin 3x).          1/3 log|sin 3x| - 1/5 log |Sin 5x|

16) ∫ (sin⁸x - cos⁸x)/(1- 2 sin²x cos²x).                -1/2 sin2x

17) ∫ sinx √(1- cos2x).     x/√2 - (sin2x)/2√2

18) ∫ sinx √(1+ cos 2x).      -1/2√2 cos 2x

19) ∫ sin⁵x dx.                 -(cosx - 2/3 cos³x + 1/5 cos⁵x)



                 EXERCISE- 8
                   **********

1) ∫ cos³x dx.             sinx - 1/3 sin³x

2) ∫ cos 2x.                         1/2 sin 2x

3) ∫ cos²x dx.        1/2(x + (sin2x)/2)

4)  ∫ cos² x/2.                1/2 (x+ sinx)

5) ∫ cos³x.              1/4((sin3x)/3 + 3 sinx)

6) ∫ cos⁵x dx.               Sinx -2/3 sin³x +1/5 sin⁵x

7) ∫ cos⁴x dx.        3x/8 +1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x

8) ∫ cos⁴ 2x.             3x/8 + 1/8 sin4x +1/64 sin 8x

9) ∫ cos³x sin x.                 -1/4 cos⁴x

10) ∫ 1/(1+ cos 3x).        (1-cos 3x)/3 sin 3x

11) ∫ (1+ cosx)/(1- cos x).               -2 cot(x/2) - x

12) ∫ (1- cosx)/(1+ cos x).    2tan(x/2) - x

13) ∫ dx/√(1- cos 2x).          1/√2 log|tan(x/2)|

14) ∫ cos⁷x dx.           Sinx - sin³x + 3/5 sin⁵x - 1/7 sin⁷x 
15) 

               EXERCISE-9
               ----------------

1) ∫ dx/(sin²x cos²x.        tanx - cot x

2) ∫ sin³x cos³x.       1/32(-3/2 cos2x + 1/6 cos 6x)

3) ∫ sin⁴x cos⁴x.         1/128(3x - sin 4x + 1/8 sin 8x)

4) Cos 2x/(sin²x cos²x).    -cotx- tanx

5) ∫(1+ cosx)/√(x+ sinx). 2√(x+sinx)

6) ∫(x²+ cos 3x +1)/(x³+ sin 3x+ 3x).                1/3 log|x³+ sin 3x+3x|

7) ∫ cosx/√(1+ sinx).        2(sinx/2 + cos x/2)

8) ∫ cos²x/sin⁴x.                -1/3 cot³x

9) ∫ (1+ cos 4x)/(cotx - tan x). -1/8 cos 4x

10) ∫(2+ 3 cosx)/sin²x.        -2cotx - 3 cosecx
11) ∫√(sinx)cosx. 2/3 √(sinx)³

12) ∫ sinx/(3+4 cosx)². 1/{4(3+5cosx)}

13) ∫sin⁴x cos³x dx. 1/5 sin⁵x - 1/7 sin⁷x

14) ∫ sin³x cos³x dx. 1/32(-3/2 cos 2x + 1/6 cos 6x)

15) ∫ sin³x cos⁴x dx. 1/7 cos⁷x -1/5 cos⁵x

16) ∫ sin⁵x cos³x dx. 1/3 cos⁶x - 1/8 cos⁸x -1/4 cos⁴x

17) ∫ sin⁶x cos³x dx. 1/7 sin⁷x - 1/9 sin⁹x

18) ∫ sin⁵x cos²x dx. -1/7 cos⁷x +2/5 cos⁵x - 1/3 cos³x

19) ∫ sin⁴x cos²x dx. 1/32[2x - 1/2 sin⁵2x -1/2 sin 4x +1/6 sin 6x

20) ∫ Sin⁴x cos²x dx. 1/128(3x - sin 4x +1/8 sin 8x)

21) ∫ sin⁴x cos⁴x dx. 1/128(3x - sin 4x + 1/8 sin 8x)

22) ∫ sinx √(1- cos 2x). x/√2 - 1/2√2 sin 2x

23) ∫ sinx √(1+ cos 2x). -1/2√2 cos 2x

24) ∫ sin²x/cos⁴x. 1/3 tan³x

25) ∫ dx/√(sinx)⁷(√cosx). -2/5 √(tanx)⁵ - 2/√tanx

26) dx/√(sinx)√(cosx)⁷. 2/5 √tan⁵x

27) ∫ cosx/(2+ 3 sinx).     1/3 log|2 + 3 sinx|

28) ∫ (1- sinx)/(x+ cosx).    Log|x + cosx|

29) ∫ (2 cosx - 3 sinx)/(6cosx + 4 sinx).         1/2 log|2 sinx+ 3 cosx|

30) ∫ (cos2x + x+1)/(x²+ sin2x +2x).              1/2 log|x² + sin2x +2x|

31) ∫ cos2x/(sinx + cosx)².    1/2 log |1+ sin 2x|

32) ∫ (-sinx + 2 cosx)/(2sinx + cosx).          log|cosx + 2 sinx|

33) ∫(cos4x - cos2x)/(sin4x - sin2x).               1/3 log|cos 3x|

34) ∫ sin2x/{sin(x -π/6) sin(x+π/6)}.          Log|sin(x-π/6) sin(x+π/6)|

35) ∫ 1/(sinx cos²x).         Secx + log|tan(x/2)|

36) ∫ sinx √(1- cos 2x).      1/√2 [x - (sin2x)/2]

37) ∫ (1- sin 2x)/(x + cos²x).     Log| x + cos²x|

38) ∫ (cosx - sinx)/(1+ sin2x).      -1/(cosx + sinx)

39) ∫ sin2x/(a + b cosx)².           -2/b² [log |a+ b cos x|+ a/(a+ b cos x)]

40) ∫ sinx/√(3+ 2 cosx).       -√(3+ 2 cosx)

41) ∫ sin2x/(a cos²x + b sin²x).               1/(b-a) log|a cos²x + b sin²x|

42) ∫ ³√(cos²x) sinx.           -3/5 ³√cos⁵x

43) ∫ (1+ sinx)/√(x - cosx).       2√(x - cosx)

44) ∫ cos³x/√sinx.       2 √sinx - 2/5 √sin⁵x

45) ∫ sin³x/√cosx.        -2 √cosx + 2/5 √cos⁵x

46) ∫ sin⁵x cosx.                1/6 sin⁶x

47) ∫(1+ cosx)/(x+ sinx)³.      -1/2(x+ sinx)²

48) ∫ (cosx - sinx)/(1+ sin2x).     -1/(sinx + cosx)

49) ∫ sin²x cos⁵x dx.       1/3 sin³x - 2/5 sin⁵x + 1/7 sin⁷x

50) ∫ sin³x cos⁵x dx.    -1/6 cos⁶x + 1/8 cos⁸x

51) ∫ sin³x cos⁶x.       -(1/7 cos⁷x - 1/9 cos⁹x)

52) ∫x cos³x² sinx².         -1/8 cos⁴x²




                   EXERCISE-10
                       ********

1) ∫ tan³x dx.      1/2 tan²x -log|Sec x|

2) ∫ tan²x dx.                         Tanx - x

3) ∫ tan⁵x dx.            1/4 tan⁴x -1/2 tan²x + log|sec x|

4) ∫ (3tan²x+2)²/(tanx +2 tanx +3)³.  1/{2(tan³x + 2tan x +3)²

5) ∫(1- tanx)/(1+ tanx).        log|cosx+ sinx|

6) ∫ (1+ tanx)/(x+ log secx).         Log|x + log secx|

7) ∫ tan³x sec²x dx.          1/4 tan⁴x

8) ∫ log (tan x/2)/sin x.      (Log tan x/2)²/2

9) ∫ (1+ 2 tanx √(tanx + secx).     Log|sec x + tanx | + log|secx|

10) ∫ Tan x/√cosx.            2/√cosx

11)  ∫ √tanx/(sinx cosx).      2√tanx

12) ∫

                   EXERCISE-11
                  -------------------
1) ∫ sec⁴x dx.        tanx + 1/3 tan³x

2) ∫ sec⁶x dx.           1/5 tan⁵x + 2/3 tan³x + tan x

3) ∫sec²(log x)/x.              Tan(logx)

4) ∫ sec²(3x+5).         1/3 tan(3x+5)

5) ∫ 1/(1+ sec ax). x + 1/a (cot ax - cosec ax)

6) ∫ secx/log(secx + tanx).     Log|log|(secx + tanx||

7) ∫ secx/sec2x.               2 sinx - log|secx + tanx|

8) ∫



             Exercise- 12
               --------------
              
1) ∫ cosec⁶x dx.      Cotx +2/3 cot³x + 1/5 cot⁵x

2) ∫ cosec⁴x dx.    -1/3 cot²x - Cotx

3) ∫ cosecx/log tan(x/2).       Log|log tan (x/2)|

4) ∫ cosec²x/(1+ cotx).       - log|1+ cotx|

5) ∫ cosecx log (cosecx - cot x).    1/2 {log| cosecx - cotx|}²



                   EXERCISE-13
                     ----------------

1) ∫ (sec x cosec x)/log(tanx).      Log(log tanx)

2) ∫ sec²x/(3+ tanx).            Log|3+ tanx|

3) ∫(secx tanx)/(3secx +5).   1/3 log |3secx +5|

4) ∫ sec²x/(tanx +2).        Log|tanx +2|

5) ∫ (tanx sec²x)/(a+ b tan²x)².     -1/{2b(a + b tan²x)}

6) ∫ sec³x tanx .               1/3 sec³x

7) ∫ √tan³x sec²x.             2/5 √tan⁵x

 

                 EXERCISE-14
                 -------------------+
1) ∫ (1- cotx)/(1+ cotx).    -log| cosx + sinx|

2)∫ cot²x dx.                       - cot x - x

3) ∫ cot⁵x dx. 1/2 cot²x - 1/4 cot⁴x + log|sinx|

4) ∫ cot⁶x dx. 1/5 cot⁵x + 1/3 cot³x - cot x - x

5) ∫ cotx eᵐ ˡᵒᵍ ⁽ˢᶦⁿˣ⁾. 1/m eᵐ ˡᵒᵍ ⁽ˢᶦⁿˣ⁾

6) ∫ cotx/(log sinx).      Log|log|sinx|

7) ∫ cot³x cosec²x.             -1/4 cot⁴x

8) ∫cotx/√sin x.                  -2/√sinx


              
                 EXERCISE -15
                 ---------------------


1) ∫ (2x+5)/(x²+5x-7).     Log|x²+5x-7|
 
2) ∫ x³ sin x⁴ dx. -1/4 cosx⁴

3) ∫ dx/(cos 3x - cosx).        1/4{cosec x - log|secx + tanx|}

4) ∫ (1+ cos4x)/(cotx - tanx).     -1/8 cos 4x

5) ∫ x²/√(1+x).          2/5 √(1+x)⁵ - 4/3 √(1+x)³ + 2 √(1+x)

6) e⁻ˣ cosec²(2e⁻ˣ +5). 1/2 cot(2e⁻ˣ +5)

7) ∫ √tanx/sin 2x. 2√tanx

8) ∫ (sin (x-a))/sin a. x cosa - sin a log|sin x|

9) ∫ sin x/{sin(x-a)}.       sin a. Log|sin (x -a)|+ (x -a) cos a

10) ∫dx/{sin (x-a) sin (x- b)}.       Cosec (a-b). Log|Sin(x-a)/sin(x-b)|

11) ∫ dx/{cos(x-a) cos(x-b)}.        Cos (a-b) log|sin(x-a)/cos(x-b)|

12) ∫ cosx/cos(x-a).           (x-a)cos a - sin a log|sec(x-a)|

13) ∫ (1- tanx)/(1+ tanx).     Log|cosx + sin x|

14) ∫ sec²x/(3+ tanx).       Log|3+ tanx|

15) ∫(2 cos2x + se²cx)/(sin2x + tanx -5).              Log|Sin 2x+ tanx -5|

16) ∫ (1+ cotx)/(x+ log sinx).        Log|x + log sinx|

17) ∫ dx/(x²+2x+4)².     √3/18 [tan⁻¹{(x+1)/√3}+ {√3(x+1)/{3+(x+1)²}]
 
18) ∫ [f(ax +b)ⁿ f'(ax+b)] dx, n≠ -1.           [f(ax+b)]ⁿ⁺¹/{a(n+1)}

19) ∫ cos³x eˡᵒᵍ ˢᶦⁿ ˣ dx.        -1/4 cos⁴x

20) ∫ tan³x dx.              1/2 tan²x - log|Secx|

21) ∫ tan⁴x dx.       1/3 tan³x - tanx +x

22) ∫sec⁴x/√tanx.        2√tanx + 2/5 √tan⁵x

23) ∫ secⁿx tanx dx.         1/n secⁿx

24) ∫ cos⁹x/sinx.         Log|Sinx| - 2 sin²x + 3/2 sin⁴x - 2/3 sin⁶x + 1/8 sin⁸x

25) ∫ sec³x tanx dx.       1/3 sec³x

26) ∫ √tanx (1+tan²x).       2/3 √tan³x

27) ∫ 1/√{sin³x sin(x+a)} dx.    -2 cosec a √(cos a + cot x sin a)

28) ∫ sin2x/(a+ b cosx)².        -2/b² {log|a + b cosx| + a/(a+ b cosx)}

29) ∫ x³ sin(x⁴+1)dx.   -1/4 cos(x⁴+1)

30) ∫ {(x+1)eˣ}/cos²(xeˣ).     Tan(xeˣ)

31) ∫ ₓ2 ₑx³ cos(ₑx³).         1/3 sin(ₑx³)

32) ∫ 2x sec³(x²+3) tan(x²+3).       1/3 sec³(x²+3)

33) ∫ {(x+1)/x} (x + logx)²dx.        1/3 (x + logx)³

34) ∫ₑtan⁻¹x/(1+x²).         ₑtan⁻¹x  

35) ∫ₑsin⁻¹x/√(1-x²).      (ₑtan⁻¹x)²/2 

36) ∫ (sin⁻¹x)²/√(1-x²).    1/3 (sin⁻¹x)³

37) ∫ [tan⁻¹(cotx) + cot⁻¹(tanx)].       πx - x²

38) ∫ cos⁻¹{(2 tanx)/(1+tan²x)}.        πx/2 - x²

39) ∫ tan⁻¹[√{1- cos 2x)/(1+ cos 2x)}].                 x²/2

40) ∫ tan⁻¹(sec x + tan x).     πx/4 + x²/4

41) ∫ tan⁻¹x/(1+x²).        1/2 (tan⁻¹x)²

42) ∫ (x tan⁻¹x²)/(1+ x⁴).      1/4 (tan⁻¹x²)²


43) ∫ 1/{√(1- x²) (2+ 3 sin⁻¹x)}.      1/3 log|2+ 3 sin⁻¹x|

44) ∫ 1/{√(1- x²) (sin⁻¹x)²}.     1/( sin⁻¹x)

45) ∫ (x² tan⁻¹x³)/(1+x⁶).      1/6 (tan⁻¹x³)²

46) ∫4(sin⁻¹x)³/√(1- x²).       (sin⁻¹x)⁴

47) ∫Sec²(2 tan⁻¹x)/(1+x²).     1/2 tan(2 tan⁻¹x)