TRIGONOMETRICAL IDENTITIES (XI)

A) If A+B+C= π Then Prove:

1) sin 2B + sin 2C - sin 2A =4sin A cosB cos C

2) cos 2A + cos 2B -cos 2C = 1 - 4 sinA sin B cos C

3) sin A + sin B - sin C= 4 sin A/2 sin B/2 sin C/2

4) cos A+ cos B - cos C= 4 cosA/2 cos B/2 sin C/2 - 1

5) (sin B + sin C - sin A)/(sin A + sin B + sin C)= tan B/2 tan C/2

6) (1+ cos A - cos B + cos C)/(1+ cos A+ cos B - cos C)= 1 - 2sinA sin B cos C

7) cos²A + cos²B - cos²C= 1 - 2 sinA sin B cos C

8) cos²2A + cos²2B + cos²2C= 1+ 2 cos 2A cos 2B cos 2C

9) (sin 2A+ sin 2B + sin 2C)/(sin A + sin B + sin C) = 8 sin A/2 sin B/2 sin C/2

10) cos A/(sin B sin C) + cos B/(sin C sin A) + cos C/(sin A sin B) = 2

11) sin(B+C-A)+ sin(C+A-B) + sin(A+B-C)= 4sin A sin B sin C

12) tan 2A + tan 2B + tan 2C= tan 2A tan 2B tan 2C

13) cot B cot C + cot C cot A + cot A cot B = 1

14) cot A/2 + cot B/2 + cot C/2= cot A/2 cot B/2 cot C/2

15) (cot B + cot C)(cot C+ cotA)(cot A + cot B)= cosec A cosec B cosec C

16) sin²A/2 + sin²B/2 + sin²C/2= 1 - 2 sin A/2 sin B/2 sin C/2

B. If A+B+C= π/2, Show that

1) sin²A + sin²B + sin²C + 2 sinA sin B sin C = 1

2) cos(A-B-C)+ cos(B- C-A)+ cos(C-A-B)= 4 cos A cos B cos C

3) (sin 2A + sin 2B + sin 2C)/(sin 2A + sin 2B + sin 2C)= cot A cot B

4) tan B tan C + tan C tan A + tan A tan B = 1

5) cot A + cot B + cot C = cot A cot B cot C