A)
1) x⁵. 5x⁴
2) 5x². 10x
3) x¹⁶. 16x¹⁵
4) 3x⁷. 21x⁶
5) 1/x² +2√x. -2/x³ + 1/√x
6) x³ + 2x. 3x²+2
7) x⁴ + 6. 4x³
8) 3x² + 2x -5. 6x + 2
9) x³ -1. 3x²
10) 1/x. -1/x²
11) 1/x³. -3/x⁴
12) 1/x⁷. -7/x⁸
13) x + 1/x at x= 1. 0
14) 3x⁵ +7x⁴ - 2x²- x+6. 15x⁴+28x³-4x-1
15) (x² -3)³. 6x⁵- 36x³+54x
16) 2x⁴ - 6/x²+ 3x/³√x +2. 8x³+12/x³+2/³√x
17) 1/√(5x)+ √(5x)
18) (x² - 2)². 4x(x²-2)
19) (2x² +3x -4)/√x. 3√x+3/2√x +2 /³√x
20) (x² - 2x)(x +1). 3x²-2x-2
21) 2 + 3/x +4/x² + 5/x³ -3/x² -8/x³ -15/x⁴
21) √x at x= 9. 1/6
22) x√x at x= 16. 6
23) ³√x at x= 27. 1/27
24) ⁷√x at x= 1. 1/7
25) 1/√x at x= 4. -1/16
26) 1/⁴√x at x= 1. -1/4
27) 3x³ - 2x +1. 9x² - 2
28) x√x + 1/√x + 3x. 3√x/2-1/(2√x³)+3
29) (2x²+3)/√x. {3(2x²-1)}/(2x√x)
30) (ax)ᵐ + bᵐ.
31) x³ +4x²+7x+2. 3x²+8x +7
32) 7x⁶+8x⁵-3x⁴+11x²+6x+7. 42x⁵+40x⁴- 12x³ + 22x + 6
33) 3+4x-7x²-√(2)x³+πx⁴-2x⁵/5+4/3. 4 - 14x - 3√2 x² + 4πx³ - 2x⁴
34) 3/x⁵. -15/x⁴
35) (√x +1/√x)² and x≠0
36) √(x) - 1/√(x)
37) 1/x + 3/x² + 2/x³
38) (3x⁷+x⁵-2x⁴+x-3)/x⁴
39) 1 + x+ x²/2! + x³/3! +x⁴/4!
B)
1) x⁷. 7x⁶
2) (x +2)⁷. 7(x +2)⁶
3) (2x +5)⁵. 10(2x+5)⁴
4) (3x -5)⁸. 24(3x +5)⁷
5) (7 - 3x)⁹. -27(7- 3x)⁸
6) (a - bx²)³. 6bx(a - bx²)²
7) √(2x + 3). 1/√(2x + 3)
8) ³√(x + 7).
9) √(ax + b). a/2√(ax + b)
10) (3x² + 4x-1)³. 3(6x+4)(3x² + 4x-1)²
11) (9 - 8x-3x²)⁷. -7 (8+6x)(9 - 8x-3x²)⁶
12) √(x +1). 1/{2√(x+1)}
13) 1/√(x +a). -1/{2 ³√(x+a)}
14) √(2x +3). 1/√(2x+3)}
15) 1/(ax + bx + c). -(2ax + b)/(ax² + bx + c)²
16) (5x +7)¹⁰. 50(5x +7)⁹
17) √(1 - 8x). -4/√(1- 8x)
18) (x + 1/x)². 2x - 2/x³
19) (4x³ - 5x² +1)⁴. 4(4x³ - 5x² +1)³ (12x² - 10x)
20) √(1+ x²). x/√(2+ x²)
21) {x + √(x² +1)}ⁿ. n{x + √(x² +1)}ⁿ/√(1+ x²)
22) {x + √(x² +a²)}ⁿ. n{x + √(x² +a²)}ⁿ/√(a²+ x²)
23) (3x - x³ +1)⁴. 12(1- x²)(3x - x³ +1)³
24) √(x² + a²). x/√(x² + a²)
25) 3/(a² - x²)². 12x/(a² - x²)³
26) √(ax² +bx + c). (2ax+ b)/{√(ax² + bx +c)}
27) √{1+ √x}. 1/{4√{x +x√x}.
28) ³√(1+ x²)⁴. 8x/3 ³√(1+ x²)
29)
Continue........
Prove:
1) if y = x + 1/x then show x² dy/dx - xy +2= 0
2) If y= √x + 1/√x, prove 2x dy/dx + y = 2 √x
3) If y = 1/(a - z), show dz/dy = (z -a)²
4) If y= 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ....... Show dy/dx = y
5) If y= x/(x +a), show x dy/dx = y(1- y).
6) If x√(y +1) + y √(x+1)}, show dy/dx = -1/(1+ x)²
7) If y={√(1- x)/(1+ x), show (1- x²) dy/dx + y= 0.
8) If y= (3x -1)²+ (2x -1)³, find dy/dx and the points on the curve for which dy/dx= 0. 6x(4x-1); (0,0), (1/4, -1/16)
9) If y= √{(x -1)/(x+1)}, show dy/dx= 1/{(x +1) √(x² -1)}
10)
C)
1) e⁻ˣ. - e⁻ˣ
2) e³ˣ. 3e³ˣ
3) eᵃˣ⁺ᵇ. aeᵃˣ⁺ᵇ.
4) e³ˣ⁺¹. 3e³ˣ⁺¹
5) ₑx². 2xₑx²
6) ₑ√x. ( ₑ√x)/2√x
7) ₑ√(ax + b). a(ₑ√ax + b)/2√(ax+b)
8) e⁵ˣ⁺². 5e⁵ˣ⁺²
9) (e²ˣ + 1). 2e²ˣ
10) (e³ˣ+1)². 6e⁶ˣ+6e³ˣ
11) (e⁷ˣ+e²ˣ+3)/eˣ. 6e⁶ˣ+eˣ-3/eˣ
12) (e⁴ˣ-eˣ)/(e³ˣ-1). eˣ
13) e³ˣ. 3e³ˣ
14) eᵃˣ⁺ᵇ. aeᵃˣ⁺ᵇ.
15) e³ˣ⁺¹. 3e³ˣ⁺¹
16) ₑx². 2xₑx²
17) ₑ√x. ( ₑ√x)/2√x
18) ₑ√(ax + b). a(ₑ√ax + b)/2√(ax+b)
19) e⁵ˣ⁺². 5e⁵ˣ⁺²
20) (e²ˣ + 1). 2e²ˣ
21) (e³ˣ+1)². 6e⁶ˣ+6e³ˣ
22) (e⁷ˣ+e²ˣ+3)/eˣ. 6e⁶ˣ+eˣ-3/eˣ
23) (e⁴ˣ-eˣ)/(e³ˣ-1). eˣ
24) e²ˣ. 2e²ˣ
25) e⁵ˣ⁺¹. 5e⁵ˣ⁺¹
26) ₑ3x². 6x ₑ3x²
27) ₑ4x²+ 5. 8x ₑ4x²+ 5
28) ₑ7x² +5x+ 3. (14x+5) ₑ7x² +5x+ 3.
29) e ⁻¹⁾ˣ. 1/x² e ⁻¹⁾ˣ
30) ₑ(x²/3). 2x/3 ₑ(x²/3)
31) ₑ(-x/2). -1/2 ₑ(-x/2)
32) ₑ(1/3x) -1/(3x²) ₑ(1/3x)
33) ₑ √x. 1/(2 √x) ₑ √x.
34) ₑ √(x+1). 1/{2 √(x+1) ₑ √(x+1).
35) ₑ √(x²+1). x/√(x²+1) ₑ √(x+1).
36) ₑ √(x²+ 3x+1). (2x +3)/{2√(x² + 3x +1)} ₑ √(x²+ 3x+1).
37) eᵅˣ. a eᵅˣ
38) e ˡᵒᵍ ˣ. 1
39) e³ ˡᵒᵍ ˣ . 3x²
40) ₑ 4 log x³. 12x¹¹
41) ₑ log (1/x). -1/x²
42) (eˣ)². 2 e²ˣ
43) ₑ(5/x). -5/x² ₑ(5/x)
44) ₑ(5/x)². (-50/x³) ₑ(5/x)²
45) √eˣ. √eˣ/2
46) (eˣ+1)². 2eˣ(eˣ+1)
47) (e³ˣ+2)⁴. 12e³ˣ(e³ˣ+2)³
48) √(e⁴ˣ+5). 2e⁴ˣ/√(e⁴ˣ+5)
49) (e⁹ˣ+ 5x +3). 9e⁹ˣ+5
50) (e⁵ˣ+ 3x+1)⁷. (5e⁵ˣ+ 3) (e⁵ˣ+ 3x+1)⁶
51) (eˣ+ xᵉ + eᵉ). e ˣ + e xᵉ⁻¹
52) (e⁵ˣ +e³ˣ +2)/e⁴ˣ. eˣ- e ⁻ˣ- 8e ⁻⁴ˣ
53) (e⁴ˣ+1)²/eˣ. 7e⁷ˣ- e ⁻ˣ+ 6e ³ˣ
Continue.....
D)
1) Log 2x. 1/x.
2) log x². 2/x
3) (1+ log5x). 1/x
4) log (3x+1). 3/(3x+1)
5) (logx)². 1/2(logx)
6) 5 log 9x. 5/x
7) log ⁵√{x + √(x² + a²)}. 1/{5√(x² + a²)}
8) log{log(log x)}. 1/[x log x . {log(log x)}]
9) log {(x² + x +1)/(x² - x +1)}. 2(1- x²)/{(x² + x +1)(x² - x +1)}
10)
Continue.....
E)
1) 3⁴ˣ. 3⁴ˣ.4. log 3
2) 7ˣ + 5. 7ˣ log 7
3) a³ˣ +2x + 3. 3a³ˣlog a + 2
4) (5ˣ+ 7³ˣ-1). 5ˣlog5+3.7³ˣlog 7
5) (2ˣ- 2³ˣ)/2³ˣ. -2log2/2²ˣ
6) (2ˣ + 3ˣ)²/6ˣ
F)(1)
1) Sin 3x. 3 cos 3x
2) Cosec 3x at x=π/4. 3√2
3) sin(x²). 2xCos(x²)
4) sin(√x). cos(√x)/2√x
5) cos²x. - sin 2x
6) 3 secx - 4 cosecx + 5 cosx. 3secx tanx + 4 cosec cotx - sinx
7) sin²(x/2) + 3/(sinx cosx). 1/2 Sinx - 12 cosec 2x cot 2x
8) a secx + b tanx - c cosecx + d cotx - e. a secx tanx - b sec² + c cosecx cotx
9) 4cos²(x/2) - 3tan(π-x). - 4sinx + 3 sec²(π-x)
10) 1/(sinx cosx). -4 cosec 2x cot 2x
11) tan(x/2). 1/2 sec²(x/2)
12) sec 3x. 3 sec 3x tan 3x
13) sin (4x²). 8x Cos(4x²)
14) sin x°. (π/180)Cos x°
15) sin⁴x. 4sin³x cosx
16) √sinx. cosx/2√sinx
17) sin(x²+1). Sin2(x²+1)
18) tan√x. (sec²√x)/2x
19) cot√x. -( cosec²√x)/2√x
20) ³√sinx. (1/3) cosx/³√sin²x
21) sin(2x -3). 2Cos(2x -3)
22) tan²x. 2 tanx sec²x
23) tan(2x-1). 2 sec²(2x-1)
24) tan 3x. 3 sec² 3x
25) sin√(2x). cos√(2x)/√(2x)
26) cos√x. - (sin√x)/2√x
27) tanx². 2x sec²x²
28) sin(3x +4). 3 cos(3x+4)
29) cos(x - π/8). - sin(x - π/8).
30) sin(x+a). cos(x+a)
31) 2 sin² 3x. 6 sin 6x
32) cos(sin x²). -2x sin(sin x²) cosx²
33) sin²(3x +2). 3sin(6x -4)
34) (x³ + sin x)⁵. 5(x³ + sinx)⁴. (3x² + cosx)
35) sinx/x log(xˣ/eˣ) + cosx/x log(eˣ/xˣ). 1/x (sinx - cosx)+ (cosx + sinx)(log x -1)
Prove:
1) y= 5x/³√(1- x)² + cos²(2x +1), show dy/dx = 5/{4 ³√(1- x)⁵} - 2 sin(4x +2)
Continue....
G)
1) (2x+3)(x+1). 4x +5
2) (3x²+1)(x³+2x). 15x⁴+21x²+2
3) x sinx. x cosx+ sinx
4) 2³ˣlogx. 2³ˣ(1/x +3 logx log 2)
5) 10ˣ x¹⁰. 10ˣx⁹(10+ x log 10)
6) eˣ sinx + x³ cosx. eˣ(cosx+ sinx)+x²(3 cosx - x sinx)
7) eˣ(x + logx). eˣ(1+1/x +x + logx)
8) (x+secx)(x - tanx). 2x - xsec²x + secx - sec³x + x secx tanx - sec²x tanx
9) (1+cotx)(3- 2sinx). 2cosecx - 2cosx - 2cotx cosx - 3 cosec²x + 2cosecx.
10) eˣ secx eˣsecx(1+ tanx)
11) {Sin(x/2) + cos(x/2)}². cosx
12) (x+ cosx)(x - tanx). 2x - xsec²x + cos x - secx- x sinx - tanx
13) (x²+1) cosx. 2xcosx - (x²+1) sinx
14) (ax²+sinx)(p +q cosx). 2apx + p cosx + 2aqx cosx+ cos²x - aqx² cosx - q sinx cosx
15) x³ sinx. x²(x cosx + 3sinx)
16) x³ eˣ. x²eˣ(x+3x)
17) x¹⁰ tanx. x⁹(x sec²x + 10 tanx)
18) x⁵ logx. x⁴(1+ 5 logx)
19) (x⁴+x²-1) sinx. (x⁴+x³+1) cosx + 2x(2x²+1) sinx
20) sinx cosx. cos 2x
21) x⁵ eˣ + x⁶ logx. x⁴eˣ(x+5)+ x⁵(1+ 6 logx)
22) (x sinx + cosx)(x cosx - sinx). x(x - sin 2x)
23) (x sinx + cosx)(eˣ+ x² logx). (x+sinx + cosx)(eˣ+x+ 2xlogx) + (eˣ+ x² logx)(x cosx)
24) (1 - 2tanx)(5+ 4 sinx). 2(2cosx - 4sinx - 5sec²x- 4 sinx sec²x)
25) (1+x²) cosx. 2x cosx - (1+x²) sinx
26) x⁴(5sinx - 3 cosx). (5x-12)x³ cosx +(3x+20) x³ sinx
27)(2x² -3) sinx. (2x²-3)cosx + 4x sinx
28) x⁵(3- 6/x⁹). 24/x⁵ + 15x⁴
29) 2ˣ x⁵. 2ˣx⁴(5+ x log 2)
30) 2x³ 2ˣ + 3eˣ log x. 2ˣ.2x³ log 2+2ˣ6x²+3eˣ(1/x + log x)
31) 2xᵃ - 3aˣ + c logx. 2axᵃ⁻¹ - 3aˣ log a + c/x
H)
1) x² sinx logx. 2xsinx log x+ x² cosx log x + x sinx
2) (2x+1)(3x²-1)(x³+2). 36x⁵+ 3x⁴+ 4x³+ 27x² - 14x -5
3) x² eˣ logx. xeˣ(2log x+ x logx +1)
4) eˣ log √x tanx. eˣ(tanx log√x +1/2x tanx+ sec² log√x)
5) x³ eˣ cosx. eˣx²(3 cosx+xcosx - x sinx)
6) √x logx 10ˣ. 10ˣ(1/2√x logx + √x/x + √x logx log 10)
7) x log(x. eˣ) 5ˣ. 5ˣ(log(x.eˣ) + x+1 + x log(x. eˣ) log 5)
8) √x secx tanx. {(Secx tanx)/2√x + √x secx
I) (1)
1) (px+q)/(ax+b). (pb-aq)/(ax+b)²
2) Sinx/ logx. (x log x cosx -sinx)/{x(log x)²}
3) (x²-3x+4)/(x+3). (2x²+6x-13)/(x+3)²
4) (Cotx + cosecx)/(cotx - cosecx). -4cosecx cotx(cotx+ cosecx)
5) (x sinx+ cosx)/(xcosx- sinx). x²/(x cosx - sinx)²
6) (cosx - a)/sinx. -(1+a cosx)/sin²x
7) (x²-3)²/(x+2). (3x⁴+8x³+18x²+24x-9)/(x+2)²
8) (Sinx+ cosx)/√(1+sin 2x). 0
9) (sinx+cosx)/(sinx-cosx). -2/(sinx - cosx)²
10) 1/√(ax+b). -(a/2)/√(ax+b)³
11) (ax²+ bx+c )/(ax+b). (a²x²+ 2abx-ac)/(ax+b)²
12) (Cosx - cos2x)/(1- cosx). -2sinx.
13) (x²- 2x)/(x+1). (x²+2x-2)/(x+1)²
14) (x⁴-3x²-4)/(x-2). (3x⁴-3x²- 8x³+4)/(x-2)²
15) (2x+5)/(3x - 2). -19/((3x-2)²
16) (x² - 3)/(x+4). (x²+8x+3)/(x+4)²
17) (x⁵ - x +2)/(x³+7). (2x⁷+35x⁴+2x³-6x²-7)/(x³+7)²
18) x²/(x+1). 2x/(x+1)²
19) x/(x²+1). (1-2x²)/(x²+1)²
20) (x²+2x+5)/(x²+2x+4). -2(x+1)/(x²+2x+4)²
21) (x³+2x)(x²+4). (x⁴+10x²+8)/(x²+4)²
22) (2+5x)²/(x³ - 1). -(25x⁴ +40x³ +12x²+ 100x+ 20)/(x³-1)²
23) x/(a² + x²). (a²-x²)/(a²+x²)²
24) (ax²+bx+c)/(px² +qx +f). (aqx²- bpx²+2afx- 2cpx+ bf- qc)/(px² + qx +f)²
25) 1/(ax+bx+c). -(a+b)/(ax+bx+c)²
J) (2)
1) √{(a² - x²)/(a² + x²)}. -2a²x/{(a²+ x²) √(a⁴ - x⁴)}
2) x/√(a² - x²)⁵. (a²+ 4x²)/√(a² - x²)⁷
1) Sin 7x. 7 cos7x
2) Cot 8x. - 8 cosec²8x
3) Tan (5x+9). 5 sec²(5x+9)
4) cosec(3x +9). -3 cosec(3x+9) cot(3x+9)
5) Sec nx. n sec nx tan nx
6) cot(3x - 11). -3 cosec²(3x-11)
7) Sin (x/3). (1/3)cos(x/3)
8) Cos(x/2 - 1). -(1/2)sin(x/2 -1)
9) xSinx. xcosx + sinx
10) x² cosex 5x. -5x²cosec5x cot5x + 2x cosec5x
11) x tan(3x+7). 3xsec²(3x+7)+ tan(3x+7)
12) (Tan 3x)/(x-6). {3(x-6)sec²3x - tan3x)}/(x-6)²
13) (cot x)/(5x). -{xcosec²x+cotx)/5x²
14) Sec (px +q). p sec(px+q) tan(px+q)
15) √(sin x). (1/2) cosx/√sinx
16) tan x³. 3x² sec²x³
17) tan√(x). (1/2√x) sec²√(x)
18) sin²(3x +5). 3sin2(3x+5)
19) Sin 3x cos 5x. 8cos8x - 2 cos 2x
20) Cos(sinx²). -2xsin(sin²x). Cosx²
21) cos² x³. -3x²sin(2x³)
22) Cos(Sin√(x)). - (1/2√x){sin(sin√x). cos√x}
23) |x|. x/|x|
24) √{(a² - x²)/(a² + x²)}. -2a²x/[(a²+x²).√(a⁴ - x⁴)]
25) 3/(3x²+5)³. -54x/(3x³+5)⁴
26) x/(a² - x³). (a²+2x³)/(a²-x³)²
27) y={x +√(x²+a²)}ⁿ. ny/√(x²+a²)
28) ³√(1+x²)⁴. (8x/3).³√(1+x²)
29) Find dy/dx if y = 5/p, p=x²/(x-1). {5(2-x)}/x³
30) (7x³ - 5x²+1)⁴. 4x(7x³-5x³+1)³(21x- 10)
31) √(1+x²). x/√(1+x²)
32) 1/f(x). - f'(x)/{f(x)}²
33) f(x). f'(x)
34) ³√cosx. -(1/3) sinx/³√cos²x
35) ₑ√cosx. -(1/2) ₑ√cosx .sinx/√cosx
36) Log(sinx). Cotx
37) Cos (logx). -{sin(logx)}/x
38) if f(x)=7x²/4 find f´(1/7). 1/2
39) (x+2)/(x-2) find f′(-2). 1/4
40) (x+2)/(x²-3) find dy/dx at x=0. -1/3
41) (x-1)/(2x²-3x+5) find dy/dx at
x= 3. -10/49
42) (x²+3)/(x³+2x) find dy/dx at
x=1. -4/3
K) Find dy/dx
1) x²+ y²= a². -x/y
2) x⁴ + x²y² + y⁴= 0. -x(2x²+y²)/ y(2y²+x²)
3) x²/a² + y²/b²= 1.
4) x√y + y√x=√a. y(2√x+√y)/ x(2√y+√x)
5) x/(x-y)= log{k/(x-y). x/(2x -y)
6) x+y= tan(xy). {1-ysec²(xy)}/ {1- x sec²(xy)}
7) y= sin(x+y). {cos(x+y)}/{1- cos(x-y)}
8) xy= sin(x+y). {y- cos(x-y)}/{x- cos(x-y)}
9) x²+y²+ 2gx + 2fy+c= 0. -(x+g)/(y+f)
10) x²y + xy²= x²+ y². (2x- 2xy-y²)/(x²+2xy-2y)
11) x= y log(x y). y(x-y)/x(x+y)
12) log(y/x)= sec x. e ˢᵉᶜ ˣ(1+ x secx tanx)
Continue..........
L) find dy/dx if
1) x= 3t - t², y= t+1. 1/(3-2t)
2) x= 3at/(1+t³), y= 3at²/(1+t³). (2t-t⁴)/(1-2t³)
3) x= a cos³t, y= a sin³t. - tant
4) y= sin²t, x= tant. 1/2sec³t cosec t
5) x=a(t+ sin t), y= a(1- cost). tan t/2
6) x= a(t cost - sint), y= a(t sint + cost). - cot t
7) x= 2 cost- cos 2t, y= 2 sint - sin 2t when t=π/2. -1
8) x= a(cost + t sint), y= a(sint - t cost). tan t
9) sinx= 2t/(1+t²), tany = 2t/(1-t²) 1
10) x= a cos t, y= b sin t. -(b/a)cot t
11) x= a sec² t, y= a tan³ t for t= π/4. 3/2
Continue
M) Find dy/dx of
1) log x w.r.t (x² +2). 1/2x²
2) sin x² w.r.t x². Cos x²
3) sin(x² eˣ) w.r.t x xeˣ(2+x) cos(x²eˣ)
4) |x| w.r.t x (x ≠ 0). x/|x|
5) |2x -3| w.r.t x (x ≠ 3/2). 2|2x-3|/ (2x-3)
6) x⁵ w.r.t x³. 5x²/3
7) sec x w.r.t tan x. sin x
8) tan(x² +1) w.r.t x³. -2sec²(x²+1)/3x
9)
Continue......
N)
1) x¹⁾ˣ. x¹⁾ˣ (1- log x)/x²
2) (1+ x)²ˣ. 2(1+ x)²ˣ{x/(1+ x) + log(1+ x)}
3) xˡᵒᵍ ˣ. . 2.xˡᵒᵍ ˣ⁻¹. Logx
4) ₓeˣ. ₓeˣ.eˣ(1/x + log x)
5) xˡᵒᵍˡᵒᵍˣ. xˡᵒᵍˡᵒᵍˣ. (1+ log(logx))/x
6) xˢᶦⁿˣ. xˢᶦⁿˣ(cosx. Logx + sinx/x)
7) (sinx)ˣ. sinx)ˣ.{log(sinx)+ x cotx}
8) (sinx)ˡᵒᵍ ˣ. (sinx)ˡᵒᵍ ˣ{1/x log(sinx) + log x. Cotx{
9) (log x)ˢᶦⁿˣ. (log x)ˢᶦⁿˣ{log (logx). Cosx + sinx/(x logx)}
10) ₓ cos⁻¹x. ₓ cos⁻¹x {cos⁻¹x/x - log x/√(1- x²}
11)
O)
1) x tanx/(sec x + tan x). (Sin x + x cos x + sin²x)/(1+ sinx)²
2) log sin(x² + a²). 2x cot(x²+a²)
3) (x- log x +1)³. 3(x- log x+1)²(2x - 1/x)
4) log{√(1-cosx)/(1+cosx)} 1/sinx
5) {√(x²+1)-x}/{√(x²+1)+x}. 2(2x - (2x² +1)/√(x²+1)}
6) {(√x +1)√x(x√x -1)}/(x√x + x +√x) x-1
7) y= [√log x+ √{log x+√(logx.....)}] 1/{x(2y-1)}
8) log(4x -7). 4/(4x-7)
9) log(ax² + bx +c) (2ax+b)/(ax² + bx +c)
10) log ⁵√(x²+a²). 2x/5(x²+a²)
11) log(a+bx)³. 3b/(a+bx)
12) ₑ4(x² - log x +1) ₑ4(x² - log x +1) 4(2x - 1/x)
13) ₃2(x³ -1) ₃2(x³ -1) 6x² log 3
14) √(3x² - 6x +1) 3(x-1)/√(3x² - 6x +1)
15) 1/³√(6x⁵ - 7x³+1) (7x²-10x⁴)/√(6x⁵ - 7x³ +1)⁴⁾³
16) log⁷√{x+√(x²+a²)}. 1/7√(x²+a²)
17) {x - √(x² + a²)}ⁿ. n{x - √(x² + a²)}ⁿ/√(x² + a²)
18) log {log(log x)}. 1/x{log x log(log x)}
19) log {(x²+x+1)/(x² - x+1)}. 2(1-x²)/{(x²+x+1)(x²-x+1)}
20) log(1+ cosx) -sinx/(1+cosx)
21) logₐ(sin x) cotx/log a
22) logₛᵢₙ ₓ x (log sinx - x cotx lig x)/x(log sinx)²
23) cos(sin x³) - 2x cosx² sin(sinx²)
24) 3/(2x²+5)². -24x/(2x²+5)³
25) x/√(a²- x²)⁵. (a²+4x²)/√(a²-x²)⁷
26) {√(x+1)+√(x-1)}/{√(x+1)-√(x-1)} 1+ x/√(x² -1)
27) x/{a- √(a²- x²)}. -{a(a+√(a²- x²))}/{x²√(a² - x²)}
28) {√(x²+a²)- √(x²- a²)} / {√(x²+a²)+√(x²- a²)}
29) √(ax² + bx+c). (2ax+b)/2√(ax² + bx +c)
30) (x²+4)²(2x³ -1)³. 2x(x²+4)(2x³-1)²(13x²+36x-2)
31) x²/√(4-x²). (8x-x³)/√(4-x²)³
32) (x-1)√(x² - 2x+2). (2x²-4x+3)/√(x²- 2x +2)
33) {(x³-1)/(2x³+1)}⁴. {36x²(x³-1)³/ (2x³+1)⁵
34) √{(a+x)/(a-x)}³. {x(3a²-x²)}/ √(a² - x²)³
35) √{(1-x)/(2+x)}. -3/{2√(1-x)√(2+x)³}
36) √{1+√x}. 1/{4√x+x√x}
37) ³√(1+x²)⁴. (8x/3) ³√(1+x²)
38) √(sin x³). (3x² cosx³)/2√(sinx³)
39) √(tan√x). (1/4√x) (sec²√x)/√(tan√x)
40) cos(sinx³). -2xcosx² sin(sinx²)
41) cos²x³. -3x² sin(2x³)
42) y=(u-1)/(u+1), u=√x. 1/{√x(1+√x)²
43) y= (u²-1)/(u²+1) and u= ³√{x² +2). 8x/{3u(u²+1)²}
Prove:
1) If y=x+1/x prove x²dy/dx - xy+2=0
2) If y=√x +1/√x prove 2xdy/dx +y=2√x
3) y=1/(a-z) show dz/dy =(z - a)²
4) y=1+x+x²/2! + x³/3! +... to ∞s showthat dy/dx = y
5) Given that y= (2x-1)² + (2x -1)³f find dy/dx and the point on the curvefor which dy/dx = 0
6) y = 5x/(1- x)²/₃ + cos²(2x+1) show that dy/dx =5/4 (1-x)⁻⁵/³(3-x) - 2 sin(4x+2)
7) If f(x) = √{(x-1)(x+1)} prove f′(x)= 1/{(x+1)√(x²-1)}
8) If (x-2)/(x+2) show that 2x dy/dx = 1 - y²
9) y= log tan(π/4 + x/2), show that dy/dx= secx
10) y=x/(x+a) show x dy/dx = y(1-y)
11) x√(1+y) + y√(1+x) =0 then show that dy/dx = - 1/(1+x)²
12) y=√{(1-x)/(1+x) then show x(1-x²)dy/dx+y=0
13) Given that y= (2x-1)² + (2x -1)³ find dy/dx and the point on the curve for which dy/dx = 0
14) find the cordinates of the point of the curve y=x/(1-x²) for which dy/dx=1.
15) If y log x= x - y Prove that dy/dx=( log x)/(1+ log x)²
16) x √(1+y) + y√(1+x)= 0 prove (1+x)² dy/dx +1 = 0
17) If siny= x sin(a+y), Prove that dy/dx= {sin²(a+y)}/sina
18) xy - log y = 1 then prove y²+ (xy-1)dy/dx = 0
19) If y log x= x+y, prove dy/dx= (log x -2)/(log x -1)²
20) If √(1-x²)+ √(1-y²)= k(x -y) show dy/dx= √{(1-y²)/(1-x²)}
21) eˣʸ= 4(1+xy) show dy/dx= -y/x
22) If tan(y/2)=√{(1-x)/(1+x)} prove dy)dx= -1/√(1-x²)
23) If y= - cot²(x/2) - 2 log sin(x/2) show that dy/dx= cot³(x/2)
24) If y= √[log x +√{logx+ √(logx+... undefined, prove that, dy/dx= 1/{x(2y-1)}
25) If y= (1- cosx)/(1+cosx) show that dy/dx = tan(x/2) sec²(x/2)
26) If y= {x + √(x² -1)}ᵐ , prove that (x² -1) (dy/dx)² = m²y²
27) If xᵐ yⁿ= (x+y)ᵐ⁺ⁿ prove that dy/dx= y/x
28) x⁹y⁸ = (x+y)¹⁷, show that dy/dx = y/x
29) If 2x = y¹⁾ᵐ + y ⁻¹⁾ᵐ prove that (x² -1) (dy/dx)² = m²y²
39) If x= 2t/(1+t²), y= (1-t²)/(1+t²), Prove that dy/dx + x/y = 0
30) If y= log √{2x+ √(4x²+a²)}, show that dy/dx= 1/√(4x² +a²)
31) If y= √[x+√{x+√(x+....)}], Show that dy/dx= 1/(2y-1)
32) If y= (1+tanx)/(1- tanx) then show that dy/dx= sec²(π/4 + x)
33) If y= √{(1+sinx)/(1-sinx)}, prove that dy/dx= (1/2) sec²(π/4 + x/2)
34) y= √{(secx -1)/(secx+1)}, prove that dy/dx= (1/2) sec²(x/2)
35) If y= √{(1+tanx)/(1-tanx)}, prove that dy/dx=(1/2) sec²(π/4 +x) √{(1- tanx)/(1+tanx)}
36) If y= log√{1+sinx)/(1-sinx)}, Prove that dy/dx= sec x
37) If y= (x-2)/(x+2), then show that 2x dy/dx = 1 - y²
38) If y= x + x³/3 + x⁵/5 +....., Show that dy/dx= 1/(1-x²)
39) If {cos(x-a)}/sinx then show that - cos a cosec²x
40) If y= 1+ x+ x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ..... xᵐ/n! , Prove dy/dx + xᵐ/n!= y
41) y=√(x/m) +√(m/x), show that 2xy dy/dx = x/m - m/x,
42) If f(x)= |x| + |x -1|, then find dy/ dx
43) If y= x⁵ show x dy/dx - 5y = 0
44) If f(x)= x|x|, show f'(x)= 2|x|
45) If f(x)= |x-2| +|x-4| show f'(3)=0
46)
************************************
DIFFERENTIATION (INVERSE)
ᵅ ˣ ᵉ ₑ ₓ ₀ ₁
Type -1
1) sin⁻¹ 3x. 3/√(1- 9x²)
2) tan⁻¹(√x). 1/{2(1+x)√x}
3) sec⁻¹(x)² 2/{|x|√(x⁴-1)}
4) (cos⁻¹x)². -(2cos⁻¹x)/√(1- x²)
5) log(tan⁻¹x). 1/{(x²+1)tan⁻¹x}
6) tan⁻¹(logx) 1/[x{(logx)²+1}]
7) x tan⁻¹x. tan⁻¹x + x/(1+x²)
8) tan(sin⁻¹x). 1/{√(1- x²){(sin⁻¹x)²}
9) (3 - 2x)sin⁻¹(2x). 2{(3 - 2x))√(1- 4x²) - sin⁻¹(2x)}
10) sin(2sin⁻¹x). 2 cos(2sin⁻¹x)/√(1- x²)
11)
Type- 2
1) tan⁻¹{(1- cosx)/sinx}. 1/2
2) cos⁻¹√{(1+ cosx)/2}. 1/2
3) cot⁻¹{(cosxec+ cotx(}. 1/2
4) tan⁻¹{(1+ cosx)/(1- cosx)}. 1/2
5) tan⁻¹{(acosx - b sinx)/(b cosx + asinx)}. -1
6) tan⁻¹{(2+x)/(1- 2x)}. -2
7) tan⁻¹{(1 + cos2x)/(1- cos2x)}. -1
8) tan⁻¹{(1- sinx)/(1+ sinx)}. -1/2
9) tan⁻¹{cos x/(1+ sinx)}. -1/2
10) tan⁻¹{(secx + tanx)}. 1/2
11) cos⁻¹{(3 cosx - 4 sinx)/5}. 1
12) tan⁻¹{2x/(1- x²)}. 2/(1+x²)
13) sin⁻¹{2x/(1+ x²)}. 2x/(1+x²)
14) cos⁻¹{(1- x²)/(1+ x²)}. 2x/(1+x²)
15) cos⁻¹{2x² -1)}. -2/(1-x²)
16) sin⁻¹{(3x- 4x³)}. 3/(1-x²)
17) sin⁻¹√{(1- x²)}. -1/(1-x²)
18) sec⁻¹√{x²+1}. 1/(1+x²)
19) tan⁻¹√{(1-x)/(1+x)}. -2/(1-x²)
20) sin⁻¹{(1-x²)/(1+ x²)}. -2/(1+x²)
21) tan⁻¹[x/{1+√(1- x²)}]. 1/2√(1+x²)
22) cos⁻¹{(x - 1/x)/(x+ 1/x)}. - 2/(1+x²)
23) tan⁻¹{√(1+ x²)+ x}. 1/2(1+x²)
24) sin(2tan⁻¹√{(1- x)/(1+ x)}. - x/(1- x²)
Type 3
1) ₛᵢₙcos⁻¹x. ₛᵢₙcos⁻¹x{cotx.cos⁻¹x - log(sinx)/√(1- x²)}
1) sin⁻¹{2x/(1+x²)} w.r.t tan⁻¹x. 2
2) tan⁻¹{2x/(1- x²)} w.r.t tan⁻¹x. 2
3) tan⁻¹{2x/(1-x²)} w.r.t sin⁻¹{2x/(1+ x²). 1
4) tan⁻¹{x/√(1- x²)} w.r.t sin⁻¹{2x √(1- x²). 2
Type
1) If (sin⁻¹x)/√(1- x²), prove (1- x²) dy/dx - xy = 1.
2) If y= x sin⁻¹x + √(1- x²) , Prove that dy/dx = sin⁻¹x.
3) If tan⁻¹[{√(1+ sinx)+ √(1- sinx}/{√(1+ sinx) - √(1- sinx)}], prove that dy/dx = -1/2.
4) If y= tan⁻¹[{√(1+ x²)+ √(1- x²}/{√(1+ x²) - √(1- x²)}], prove that dy/dx = -x/√(1- x⁴).
5) If y= cot⁻¹{(x+1)/(x-1)}+ tan⁻¹{(x -1)/(x +1)}, prove that dy/dx = 0.
6)
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