1) |x +2|= 2(3+ x).
2) |3x -2|+ x = 11.
3) |x| - |x -2|= 2.
4) Find the least integral value of x which satisfies the equation |x -3| + 2|x +1|= 4.
5) Find all a ∈ R for which the equation a³+ a² |a + x|+ |a²x +1|= 1 has not less than four different solutions which are integers.
SOLVE THE INEQUALITIES
6) |5 - 2x |< 1.
7) |3x - 2.5|≥ 2.
8) |x -2|≤ |x +4|.
9) |2x -4|< x -1.
10) 2|x +1|> x +4.
11) |x +2| - |x -1|< x - 3/2.
12) Solve the inequality |x +1| + |x + 4|> 7, indicating the least positive integer x satisfying the inequality.
13) Find the greatest integer x satisfying the inequality (2x +1)/3 - (3x -1)/2 > 1.
14) Find b if the roots of the equation 24x²+ bx +25=9 are positive and x₂ = 1.5x₁.
15) Find all solutions of the equation (|x|+ 1)²= 4 |x|+ 9 belonging to the domain of definition of the function y= √(5- 2x).
16) Find all solutions of the equation (3|x| -3)²= |x|+ 7 belonging to the domain of definition of y= √{x(x +3)}.
17) Find all solutions of the equation (2|x| -1)²= |x| belonging to the domain of definition of the function y= log(4x -1).
18) Find all solutions of the equation 9x²- 18 |x| +5=0 belonging to the domain of definition of the function y= log{(x +1) (x -2)}.
Find analytical and graphical solutions of the following equations:
19) |x²+ 4x +2|= (5x +16)/3.
20) |x² - 2x -1|= (5x +1)/3.
21) |x²- 4x +2|= (5x- 4)/3.
22) |x² - 6x +7|= (5x -9)/3.
Solve the following equations:
23) x²+ |x -1|= 1.
24) (x²+ x +1)+ (x²+ 2x +3)+ (x²+ 3x +5)+ ..... + (x²+ 20x +39)= 4500.
25) x|x -4|+ a =0.
26) For what values of a does the equation 9x²- 2x + a = 6 - ax possess equal roots?
27) Find the value of k for which the equation (k -1)x²+ (k +4)x + k +7=0 has equal roots.
28) Find the values of a for which the roots of the equation (2a -5)x² - 2(a -1)x +3=0 are equal.
29) For what values of m does the equation x²- x + m=0 possess no real roots?
30) For what values of m does the equation x²- x + m²=0 possess no real roots?
31) For what values of m does the equation mx² - (m +1)x + 2m -1=0 possess no real roots?
32) For what values of c does the equation (c -2)x² + 2(c -2)x + 2 =0 possess no real roots?
33) Find integral values of k for which the equation (k -12)x²+ 2(k -12)x +2= 0 possess no real roots.
34) For what values of a does the equation x² + 2a√(a²- 3x))+ 4=0 possess equal roots?
35) Find the values of the coefficient a for which the curve y= x²+ ax + 25 touches the O x-axis.
36) Find the value of k for which the curve y= x²+ kx +4 touches the O x-axis.
37) Form a quadratic equation whose roots are the numbers 1/(10 - √72) and 1/(10+ 6√2).
38) For what values of k is the inequality x² - (k -3)x - k + 6> 0 valid for all real x ?
39) For what values of a is the inequality ax²+ 2ax + 0.5> 0 valid throughout the entire number axis?
40) For what integral k is the inequality x² - 2(4k -1)x + 15k²- 2k -7> 0 valid for any real x ?
41) Find the least integeral value of k for which the equation x² - 2(k +2)x + 12 + k²=0 has two different real roots.
42) For what values of a is the sum of the roots of the equation x²+ (2 - a - a²)x - a²=0 equal to zero?
43) For what values of a does the equation x² - (2ᵃ -1)x - 3(4ᵃ⁻¹²ᵃ⁻²)= 0 possess real roots ?
44) For what values of a do the graphs of the functions y= 2ax +1 and y= (a -6)x²- 2 not intersect?
45) For what values of p does the vertex of the parabola y= x²+ 2px +13 lie at a distance of 5 from the origin?
46) Find the value of a for which one root of the equation x²+ (2a -1)x + a²+2=0 is twice as large as the other.
47) For what values of a is the ratio of the roots of the equation x²+ ax + a +2= 0 equation 1 to 2 ?
48) For what values of a is the ratio of the roots of the equation ax² - (a +3)x +3=0 equal to 1.5 ?
49) For what values of a do the roots x₁ and x₂ of the equation x² - (3a +2)x + a²= 0 satisfy the relation x₁ = 9x₂ ? Find the roots.
50) Find a such that one of the roots of the equation x² - 15x/4 + a = 0 is the square of the other.
51) The roots x₁ and x₂ of the equation x² + px +12=0 are such that x₂ - x₁= 1. Find p.
52) Find k in the equation 5x²- kx +1=0 such that the difference between the roots of the equation is unity.
53) For what value of a is the difference between the roots of the equation (a -2)x½ - (a -4)x -2=0 equal to 3 ?
54) Find b in the equation 5x²+ bx - 28=0 if the roots x₁ and x₂ of the equation are related as 5x₁ + 2x₂= 1 and b is an integer.
55) Find p in the equation 5x² -4x +p =0 if it is known that the sum of the squares of its roots is equal to 16.
56) For what values of a is the difference between the roots of the equation 2x² - (a +1)x + (a - 1)= 0 equal to their product ?
57) Find all values of a for which the sum of the roots of the equation x²- 2a(x -1) -1=0 is equal to the sum of the squares of its roots.
58) Find the coefficients of the equation x²+ px + q=0 such that its roots are equal to p and q.
59) For what values of a do the equation x²+ ax + 1=0 and x²+ x + a =0 have a root in common.
60) Given two equations x² - x + m =0 and x² - x + 3m =0, m≠ 0. Find the value of m for which one of the roots of the second equation is equal to double the root of the first equation.
61) The trinomial ax²+ bx + c =0 has no real roots, a+ n + c< 0. Find the sign of the number c.
62) Express x₁³+ x₂³ in terms of the coefficients of the equation x²+ px + q=0 , where x₁ and x₂ are roots of the equation 3x² - ax + 2a -1=0. Calculate x₁³ + x₂².
63) Assume that x₁, x₂ are the roots of the equation 3x²- ax + 2a -1=0. Calculate x₁³+ x₂³.
64) Without solving the equation 3x² - 5x -2 =0, find the sum of the cubes of its roots.
65) Calculate 1/x₁³. + 1/x₂³, where x₁ and x₂ are roots of the equation 2x² - 3ax -2 =0.
66) For what values of a does the equation (2- x) (x +1)= a possess real and positive roots?
67) Find all values of p for which the roots of the equation (p -3)x²- 2px + 5p=0 are real and positive.
68) Find all values of a for which the inequality (a +4)x² -2ax + 2a -6< 0 is satisfied for all x ∈ R.
69) Find all values of a for which the inequality (a - 3)x² -2ax + 3a -6 > 0 is satisfied for all values of x.
70) Find all values of a for which the inequality (a -1)x² - (a+1)x + a +1 < 0 is satisfied for all real x.
71) For what least integral k is the quadratic trinomial (k -2)x² + 8x + k + 4 positive for all values of x?
72) Solve the inequality x² + ax + a > 0.
73) Find all real values of m for which the inequalities mx²- 4x + 3m +1> 0 is satisfied for all positive x.
74) Find all values of a for which both roots of the equation x² -6ax + 2- 2a + 9a²= 0 are greater than 3.
75) Form a quadratic equation the product of whose roots x₁ and x₂ is equal to 4, and x₁/(x₁-1) + x₂/(x₂ -1)= (a²-7)/(a²-4).
76) Form a quadratic equation the sum of whose roots x₁ and x₂ is equal to 2, and (1- x₁)/(1+ x₂) + (1- x₂)/(1+ x₁) = 2(4a²+15)/(4a²-1).
77) For what values of a are the roots of the equation x²- 4ax+ 1= 0 real and satisfy the conditions x₁≥ a and x₂≥ 0 ?
78) For what value of a ∈R does the equation ax² + x+ a - 1= 0 possess two distinct real roots x₁ and x₂ satisfying the inequality |1/x₁ - 1/x₂|> 1?
79) For what values of a ∈R does the equation x²+1= x/a possess two distinct real roots x₁ and x₂ satisfying the inequality |x₁² - x₂²|> 1/a ?
80) Find all the values of a for which the inequality (x - 3a)(x - a -3)< 0 is satisfied for all x such that 1≤ x≤ 3.
81) Find all values of k for which any real x is solution of atleast one of the inequalities
x²+ 5k²+ 8k > 2(3kx +2) and
x²+ 4k²≥ k(4x +1).
82) For what real a do the roots of the equation x²- 2x - a²+ 1=0 lie between the roots of the equation x²- 2(a +1)x + a(a -1)=0?
83) For what values of a is every solution of the inequality x²- x -2< 0 larger than any solution of the inequality ax²- 4x - 1≥ 0?
Solve the following:
84) 3x²- 7x + 4 ≤ 0.
85) 3x²- 7x + 6 < 0.
86) 3x²- 7x - 6 < 0.
87) x²- 3x + 5> 0.
88) x²- 14x - 15> 0.
89) 2- x - x²≥ 0.
90) x²- 5|x| + 6< 0.
91) x²- |x| -2 ≥ 0.
92) |x²- 4x|< 5.
93) |x² + x| - 5 < 0.
94) |x² -5x| < 6.
95) |x² -2x| < x.
96) |x² - 2x -3| < 3x -3.
97) |x² - 3x| + x -2 < 0.
98) x² - 7x +12 < |x - 4|.
99) x² -|5x -3| - x < 2.
100) |x - 6| > x² -5x+ 9.
101) |x - 6|< x² - 5x + 9.
102) |x - 2| ≤ 2x² - 9x + 9.
103) 3x² - |x -3| > 9x -2.
104) x² + 4 ≥ |3x +2| - 7x.
105) x² - |5x² +8| > 0.
106) 3 |x -1|+ x²- 7 > 0.
107) |x - 6| > |x² -5x +9| .
108) (|x - 1| - 3)(|x +2| -5)< 0.
109) |x² -2x - 8| > 2x.
110) For what values of k does the equation kx² + 12x -3 = 0 possess a root equal to 1/5?
111) For what values of the parameter a is the inequality
(a³+ (1- √2)a² - (3+ √2)a +3√2)x²+ 2(a²-2)x + a > - √2 satisfied for any x > 0 ?
112) Find all numbers a for each of which the least value of the equation trinomial 4x² - 4ax + a² - 2a +2 on the interval 0≤ x ≤ 2 is equal to 3.
113) For what value of a do the roots of the equation 2x² + 6x + a= 0 satisfy the condition x₁/x₂ + x₂/x₁ < 2 ?
EQUATION OF HIGHER DEGREES, RATIONAL INEQUALITIES
1) Solve the equation (x - √3)⁴ - 5(x - √3)²+ 4= 0.
2) Find all solutions of the equation
{(2|x| -3)² - |x| - 6}/(4x +1)= 0.
Which belong to the domain of definition of the function y= (2x +1)/(x²- 36).
3) Show that if
z= ³√{a + √(a²+ b³)}= ³√{√(a²+ b²) - a}, then z³+ 3bz - 2a = 0.
Solve the following equations
4) (x -1)(x -2)(x -3)(x -4)= 15.
5) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a)= b⁴.
6) (2x -2)/(x²-36) - (x -2)/(x²- 6x) = (x -1)/(x²+ 6x).
7) (2x +1)/x + 4x/(2x +1) = 5.
8) (x²- 3.5x + 1.5)/(x²- x - 6)= 0.
9) (2x -3)/(x -1) + 1= (6x - x²-6)/(x -1).
10) Find all real values of a for each of which the equation √(x - a){x²+ +1+ 2a²)x + 2a²}= 0 has only two distinct roots. Write the roots.
11) Find all values of n ∈ N for which the equation (x -8)/(n -10)= n/x has no solutions.
12) Find the values of a for which the equation x⁴+ (1- 2a)x²+ a² -1= 0
a) has no solutions.
b) has one solution
c) has two solutions
d) has three solutions.
13) For what real values of a is the same of the roots of the equation 1/x + 1/a - 1/a² = 1/(-a²+ a + x) smaller than a³/10?
14) Solve the equation:
(2b²+ x²)/(b³ - x³) - 2x/(bx + b²+ x²) + 1.(x - b)= 0.
For what values of b is the solution of the equation unique?
15) Find all the values of a for which the inequality (x - 2a -3)/(x - a +2)< 0 is satisfied for all x belonging to the interval 1≤ x≤ 2.
16) Find the smallest integeral x satisfying the inequality (x -5)/(x²+ 5x -14)> 0.
17) Find integeral x's which satisfy the inequality x⁴ - 3x³ - x + 3 < 0.
* Find the largest integeral x which satisfies the following inequalities:
18) (x -2)/(x²-9) < 0.
19) 1/(x +1) - 2/(x²- x +1) < (1- 2x)/(x²+1).
20) (x +4)/(x²-9) - 2/(x +3) < 4x/(3x - x²).
21) (4x +19)/(x +5) < (4x -17)/(x -3).
22) (x +1)(x -3)²(x -5)(x - 4)²(x -2)< 0.
23) Find integeral values of x satisfying the inequality |2/(x -13)|> 8/9.
24) We call a a good number if the inequality (2x²+ 2x+ 3)/(x²+ x +1)≤ a is satisfied for any real x.
a) Show that 4 is a good number.
b) Find all good numbers.
25) For what values of m is the inequality (x²- mx -2)/(x²- 3x +4) > -1 satisfied for all x ∈ R ?
26) Find all values of k for which the inequality (x²+ k²)/{k(6+ x)} ≥ 1 is satisfied for all x such that -1< x <1.
RATIONAL INEQUALITIES
Solve the inequality:
1) 1/x < 1.
2) x/(x +2) ≤ 1/x.
3) x/+x -3) ≤ 1/x.
4) (x -1)²(x +1)³(x -4)< 0.
4) (x -1)²(x +1)³(x -4)< 0.
5) {(x -1)²(x +1)³}/{x⁴(x -2)}≤ 0.
6) (x -1)(3- x)(x -2)²> 0.
7) (6x -5)/(4x +1)< 0.
8) (2x -3)/(3x -7)> 0.
9) 0.5/(x - x² -1)< 0.
10) (x²- 5x +6)/(x²+ x +1)< 0.
11) (x² + 2x -3)/(x²+1)< 0.
12) (x - 1)(x +2)²/(-1-x)< 0.
13) (x² + 4x +4)/(2x²- x -1)> 0.
14) (x⁴- 5x²+ 4)< 0.
15) (x⁴- 2x² -63) ≤ 0.
16) 3/(x -2)< 1.
17) 1/(x -1) ≤ 2.
18) (4x +3)/(2x -5) < 6.
19) (5x -6)/(x +6)< 1.
20) (5x +8)/(4- x) < 2.
21) (x -1)/(x +3)> 2.
22) (7x -5)/(8x +3)> 4.
23) x/(x -5)> 1/2.
24) (5x -1)/(x²+3)<1.
25) (x -2)/(x²+1)< -1/2.
26) (x +1)/(x -1)² < 1.
27) (x²- 7x + 12)/(2x²+ 4x +5)> 0.
28) (x² + 6x -7)/(x²+1)≤ 2.
29) (x⁴+ x² +1)/(x²- 4x -5)< 0.
30) (1+ 3x²)/(2x² -21x + 40)< 0.
31) (1+ x²)/(x² -5x +6)< 0.
32) (x⁴+ x² +1)/(x²- 4x -5)> 0.
33) (1- 2x - 3x²)/(3x - x² -5) > 0.
34) (x²- 5x +7)/(-2x²+ 3x +2)> 0.
35) (2x²- 3x - 459)/(x²+1)> 0.
36) (x²- 1)/(x²+ x +1)< 1.
37) x/(x²- 3x -4)> 0.
38) (x² +7x +10)/(x + 2/3)> 0.
39) (3x² - 4x - 6)/(2x -5) < 0.
40) (17- 15x - 2x²)/(x +3)< 0.
41) (x²-9)/3x - x² -24)< 0.
42) (x+ 7)/(x -5) + (3x +1)/2 ≥ 0.
43) 2x² + 1/x > 0.
44) (x²- x - 6)/(x²+ 6x)≥ 0.
45) (x² - 5x+6)/(x² -11x +39)< 0.
46) (x²- 8x +7)/(4x² -4x +1)< 0.
47) (x²- 36)/(x²- 9x +18)< 0.
48) (x²- 6x +9)/(5- 4x - x²)≥ 0.
49) (x+1)/(x +1)< x.
50) 1/(x +2) < 3/(x -3).
51) 14x/(x +1) - (9x- 30)/(x -4)< 0.
52) (5x²- 2)/(4x²- x +3)< 1
53) (x²- 5x +12)/(x²- 4x +5) > 3.
54) (x²- 3x +24)/(x²-3x +3)< 4.
55) (x²- 1)/(2 x +5)< 3.
56) (x²+1)/(4x - 3) > 2.
57) (x²+2)/(x²- 1)< -2.
58) (3x -5)/(x²+ 4x -5)> 1/2.
59) (2x +3)/(x²+ x -12) ≤ 1/2.
60) (5- 2x)/(3x²- 2x -16)< 1.
61) (15- 4x)/(x²- x -12)< 4.
62) 1/( (x²- 5x +6)≥ 1/2.
63) (2- x²)(x -3)³/{x+1)(x²-3x -4) ≥ 0.
64) (5- 4x)/(3x²- x -4)< 4.
65) (19- 33x)/(7x²-11x +4)> 2.
66) (0.5x + 49)/ (10x²+ x -2)< 1/2.
67) {(x +2)(x²- 2x +1)}/(4+ 3x- x²)≥ 0.
68) 4/(1+ x) + 2/(1- x)< 1.
69) 2+ 3/(x +1) > 2/x.
70) 1+ 2/(x -1)> 6/x.
71) (x⁴- 3x³+ 2x²)/(x²- x -30)> 0.
72) (x -1)/x - (x +1)/(x -1)< 2.
73) 2(x -3)/{x(x -6) ≤ 1/(x -1).
74) 2(x -4)/{(x -1)(x -7)}≥ 1/(x -2).
75) 2x/(x²-9) ≤ 1/(x +2).
76) 1/(x -2) + 1/(x -1) > 1/x.
77) 7/{(x -2)(x -3)} + 9/(x -3) + 1< 0.
78) 20/{(x -3)(x -4)} + 10/(x -4) +1 > 0.
79) {(x -2)(x -4)(x-7)}/{(x +2)(x +4)(x+7)}> 1.
80) {(x -1)(x -2)(x-3)}/{(x +1)(x +2)(x+3)}> 1.
81) (x²+ 3x +1)/(x²+3x -3)≥ 5.
82) (x²- x -1)/(x²- x -7)< -5.
83) (x²- 2x)(2x -2) -9(2x -2)/(x²-2x)≤ 0.
84) (x² + 3x)(2x +3) - 16(2x +3)/(x²+3x)≥ 0.
85) (x²- 2x + |ᵃ|)/(x² - a²)> 0.
86) |x³ - 1|≥ 1- x.
87) (x²- 5x +6)/(|x|+ 7) < 0
88) (x²+ 6x -7)/|x +4| < 0.
89) |x -2|/(x -2)> 0.
90) |2/(x -4)|> 1.
91) |(2x -1)/(x -1)|> 2.
92) |(x²- 3x -1)/(x²+ x +1)| < 3.
93) {|(x²- 7|x| +10)}/(x²-6x +9)| < 0.
94) {|x+3| + x}/(x +2)> 1.
95) |x -1|/(x +2)< 1.
96) {|x+2| - x}/x < 2.
97) 1/(|x| -3) < 1/2.
98) |3x/(x²-4)| ≤ 1.
99) |(x²- 5x +4)/(x²-4)| ≤ 1.
100) |x -3/(x²- 5x +6)| ≥ 2.
101) (x²- |x| -12)/(x -3) ≥ 2x.
102) |x|< a/x.
103) 1+ 12/x² < 7/x.
104) x -17≥ 60/x.
105) (x²- 4x +5)/(x²+ 5x +6)≥ 0.
106) (x +1)/(x -1) ≥ (x +5)/(x +1).
107) x≤ 6/(x -5).
108) (x -1)/(x²- x -12) ≤ 0.
109) (30x -9)/(x -2) ≥ 25(x +2).
110) 1< (3x²- 7x +8)/(x²+1) ≤ 2.
111) f'(x)≥ g'(x), if f(x)= 5- 3x + 5x²/2 - x³/3, g(x)= 3x -7.
112) f'(x)≥ g'(x), if f(x)= 7x -13x²/ +10x³, g(x)= 11x³ - 15x² -3.
113) 4/(x +2) > 3- x.
114) 1/(x -2) - 1/x ≤ 2/(x +2).
IRRATIONAL EQUATIONS AND INEQUALITIES
Solve the following equations:
1) (x²-1) √(2x -1)= 0.
2) (x²-4) √(x +1)= 0.
3) (9 -x²) √(2- x)= 0.
4) (16 - x²) √(3 - x)= 0.
5) √(2x -3) - √(x +3) = 0.
6) ³√x + 2 ³√x² = 3.
7) ³√x² - ³√x - 6 = 0.
8) 4/(³√x + 2) + (³√x+ 3)/5 = 2.
9) 8/√(10- 2x) - √(10- 2x)= 2.
10) √(2- x) + 4/{√(2- x)+ 3} = 2.
11) 3/{√(x +1) +1} + 2√(x +1)= 5.
12) (x -4)/(√x +2) = x -8.
13) (x ³√x -1)/(³√x² -1) - (³√x² -1)/(³√x -1) = 4.
14) √(log₂x) + ³√(log₂x)= 2.
15) x √(x²+15) - √x ⁴√(x² +15)= 2.
16) √{(3- x)/(2+ x)} + 3 √{(2+ x)/(3- x)}= 4.
17) √{(2x +1)/(x -1)} - 2 √{(x -1)/(2x +1)}= 1.
18) √{(x +1)/(x -1)} - √{(x -1)/(x +1)}= 3/2.
19) √(12 - x) = x.
20) √(7 - x) = x - 1.
21) x - √(x +1) = 5.
22) 21 + √(2x -7) = x.
23) 1 - √(1+ 5x) = x.
24) 2 √(x +5) = x +2.
25) 4 √(x +6) = x +1.
26) √(4+ 2x - x²) = x - 2.
27) √(37 - x²) + 5 = x.
28) √(6 - 4x - x²) = x +4.
29) √(1+ 4x - x²) = x - 1.
30) √(5 - x²) = x - 1.
31) √(x² +8) = 2x +1.
32) 4+ √(26 - x²) = x.
33) 3x - √(18x +1) + 1 = 0.
34) √(6x - x²- 5) = 2x - 6.
35) √(5 - x²)/(x +1) = 1.
36) {1+ √(2x +1)}/(x +1)= 1.
37) √(13- x²)/(x +1) = 1.
38) {2+ √(19 - 2x)}/x= 1.
39) √(13 - 18 tan x) = 6 tan x -3.
40) x²- 4x +6= √(2x²- 8x +12).
41) 2x² + 3x - 5√(2x² + 3x +9)=0.
42) x² √(x² + 2x +8) = 12- 2x.
43) 2x²+ √(2x²- 4x +12)= 4x +8.
44) 3x² + 15x + 2√(20x² + 5x +1)= 2.
45) ³√(16 - x³)= 4- x.
46) √x - 4/√(2+ x) + √(2+ x)= 0
47) √(9- 5x)= √(3- x) + 6/√(3- x).
48) 4/{x + √(x²+ x)} - 1/{x - √(x²+ x)}= 3/x.
49) √(2x -3) + √(4x +1)= 4.
50) √(3x +1) +0- √(x +4)= 1.
51) √(2x + 6) - √(x +1)= 2.
52) √(x + 5) + √(x)= 1.
53) √(2x -4) + √(x +5)= 1.
54) √(2x +5) = 8 - √(x -1).
55) √(x + 3) + √(3x - 2)= 7.
56) √(3x +7) - √(x +1)= 2.
57) √(4- x) + √(5+ x)= 3.
58) √(3x²+ 6x +7) + √(5x²+ 10x +14)= 4 - 2x - x².
59) √(3x -5) = 3 - √(x -2).
60) √(x +2) + √(3- x)= 3.
61) √(4x +8) - √(3x -2)= 2.
62) √(2x +3) + √(3x +3)= 1.
63) √(x + 4) + √(2x +6)= 7.
64) √(3x -7) - √(x +1)= 2.
65) √(15- x) + √(3- x)= 6.
66) √(x +5) - √(x -3)= 2.
67) 2 √(x -1) + √(x +3)= 2.
68) √{x + (x +11)} + √{x - (x +11)}= 4.
69) ³√(12 - x) + ³√(14+ x)= 2.
70) {3(x -2) + 4√(2x²- 3x +1)}/2(x²-1)= 1.
71) 1/{1- √(1- x)} - 1/{1- √(1- x)}= √3/x.
72) (2- √x)/(2- x) = √{2/(2- x)}.
73) √{1+ x √(x²+ 24)}= x +1.
74) 1+ √{1+ x √(x²- 24)}= x.
75) √x + √{x - √(1- x²)}= 1.
76) √(2x +1) + √(x -3)= 2√x.
77) √(x +1) + √(4x +13)= √(3x +12).
78) √(x + 2) - √(2x - 3)= √(4x -7).
79) √x + √(x - 3)= √3(x -1).
80) √(x -2) + √(4 - x)= √(6 - x).
81) √(x +5) + √(2x -7)= 2√(x).
82) √(x +1) + √(4x +13)= √(3x +12).
83) √(3x +1) + √(x +4)= √(9 - x).
84) √(3x +4) + √(x -4)= 2√x.
85) √(2x +5) + √(5x +6)= √(12x +25).
86) √(x +1) + √(x - 1)= √(3x -1).
87) √(x +1) - 1= √{x - √(x +8)}.
88) √(x +3) - 1= √{x - √(x -2)}.
89) ⁹√(12+ x)/x + ⁷√(12+ x)/12= (64/3) ⁷√x.
90) √{(20+x)/x} + {(20 - x)/x} = √6.
91) {(5- x)√(5- x) + (x -3) √(x -3)}/{√(5- x) + √(x -3)} = 2.
92) √(x²+ x +4) + √(x²+ x +1)= √(2x²+ 2x +9).
93) √(x²- 4x +3) + √(- x²+ 3x -2)= √(x²- x).
94) √(x +3) + √(x +4)= √(x +2)+ √(x +7).
95) √{x - √(x -2)} + √x + √(x -2)}= 3.
96) √(x²- 2x +1) + √(x²+ 2x +1)= 2.
97) √(x²+ 2x +1) - √(x²- 4x +4)= 3.
98) √{x + 2√(x -1)}= √{x - √(x -1)} = 2.
99) √{x + 3 - 4 √(x -1)} + √{x + 8 - 6 √(x -1)}= 1.
100) x³+ 1 = 2 ³√(2x -1).
101) (2+ x)/{√2 + √(2 + x)} + (2- x)/{√2 - √(2+ x)}= 2√2.
102) x+ √(a + √x)= a.
103) x⅖ - √(a - x)= a.
104) a√x - √{x + 2ax √(x² +7a²)}= 0.
105) x² - 4x+ 32= 16 √x.
106) (a -2)/√(x +4)= 1.
107) √{(20+x)/x} - √{(20- x)/x}=√6.
108) √{2x/(x +1)} - √2(x +1)/x}= 1.
109) x/(x +1) - 2√{(x +1)/x}= 3.
110) √x/√(1+x)} +√{(1+ x)/x}= 5/2.
111) √{x + 8+ 2√(x +7)} + √{x +1 - √(x +7)}= 4.
112) √(3- x) + 6/√(3- x) = √(9 - 5x).
113) (5x/8) ⁵√x³ - (10/13) ³√{x √x¹¹}= 56.
114) √(x +5) + ⁴ √(x +5) - 12= 0.
115) √(5x - 5) + √(10x -5) = √(15x -10).
116) x - 1= √(x/2).
117) √(x² +8) = 2x +1.
118) √(x+4)/√(x -4) - 2√(x -4)/√(x +4) = 7/3.
119) How many roots does the equation √(x² +1) - 1/√(x² - 5/3)= x. Posser ? Find them.
120) Find the roots of the equation ¹⁰√512 √(15x -21) - √13 ⁵√(15 - 6x)= 0 which can be represented by the reduced fraction a/6, where a is an integer.
121) (x -1) √(x² - x - 2)≥ 0.
122) (x² -1) √(x² - x - 2)≥ 0.
123) √{(x -2)/(1- 2x)}> -1.
124) √{(3x-1)/(2 - x)} > 1.
125) √(x -3)/(x -2) > 0.
126) √(3x - 10) > √(6 - x).
127) √(x² + 2x - 3) < 1.
128) √{1- (x+2)/x²}< 2/3.
129) 3/√(2- x) - √(2- x) < 2.
130) √(2x² +15x - 17)/(10- x) ≥ 0.
131) (x²- 13x + 40)/√(-x² +19x - 78)≤ 0.
132) √x²< x +1.
133) 2√(x -1) < x.
134) √(x + 18)< 2- x.
135) x > √(24- 5x).
136) √(9x - 20) < x.
137) √(x +7)< x.
138) √(2x - 1)< x - 2.
139) √(x +78) < x +6.
140) √(5- 2x) < 6x - 1.
141) √(x + 61) < x +5.
142) √{(x -6)(1- x)}< 3+ 2x.
143) √(-x² +2x)< 5- x.
144) √(2x² - 3x - 5) < x -1.
145) √(x² + 3x +3) < 2x +1.
146) √(x² - 3x - 10) < 8- x.
147) x + 4 > 2√(4- x²).
148) √(- x² + 3x) < 4 - x.
149) 3- x > 3 √(1- x²).
150) 1/√(1+ x) > 1/(2- x).
151) 1- √(13+ 3x²) > 2x.
152) x < √(2- x).
153) x +3 √(x + 33).
154) √(x² - 1) > x .
155) √(2x +14)> x +3.
156) x -3 < √(x -2).
157) x +2 < √(x +14).
158) x -1 < √(7- x).
159) √(9x -29)> x.
160) √(11- 5x)> x -1.
161) √(x + 2)> x.
162) √(x² + 1)> x- 1.
163) √{(x +4)(x +)} > 6- x.
164) √{(x +3)(x -8)} > x+2.
165) 1- x < √(x²- 2x).
166) √(5 - x²)> x -1.
167) x - √(1- |x|) < 0.
168) 4 - x < √(x²- 2x).
169) x < √(x²+ x -2).
170) 4- x < √(2x - x²).
171) x - 3 < √(x² + 4x -5).
172) 2x + 3 < √(x² + 5x +6).
173) √(x² - 3x +2)> 2x -5.
174) √(x² + x)> 1- 2x.
175) √(8+ 2x -x²)> 6- 3x.
176) 2x +3 < √(-2 -3x - x²).
177) x + 4 < √(- x² - 8x -12).
178) √(- x² + 6x -5)> 8- 2x.
179) √(1/x² - 3/x)< 1/x - 1/2.
180) x²≥ x(2+ √(12- 2x - x²)).
181) √(4- x²)+ |x|/x ≥ 0.
182) √x - 3 ≤ 2/(√x -2).
183) x - 3 √(x - 3) -1 > 0.
184) √(a +4)/(1- a) - 1 > 0.
185) √(2x -1)/(x -2) < 1.
186) √(x +20)/x - 1 < 0.
187) √(2x²+ 7x -4)/(x +4) < 1/2.
188) {1- √(21- 4x - x²)}/(x +1) ≥ 0.
189) √{4- √(1- x)} - √(2- x)> 0.
190) √(1- x²) + 1< √(3- x²).
191) 3√x - √(x +3)> 1.
192) 3√x - √(5x +5)> 1.
193) √(x+3) + √(x +15)< 6.
194) 2- √(1- x²)< √(4- x²).
195) √(x+3) + √(x +2) - √(2x +4) > 9.
196) √(x -6) - √(10- x) ≥ 1.
197) √(x+3) - √(x -1) > √(2x -1).
198) √(x+3) < √(x -1) + √(x -2).
199) √(3x²+ 5x+7) - √(3x²+ 5x +2) > 1.
200) √{x +2 √(x -1)} + √{x - 2√(x -1) > 3/2.
201) √(5 + x) - √(- x -3)< 1+ √{(x +5)(-x -3).
202) {1- √(1- 4x²)}/x < 3.
203) √(x+ 1/x²) + √(x - 1/x²) > 2/x
204) a √(x +1) < 1.
205) (a+ 1) √(2- x)< 1.
206) (2/x) + 3≤ √(41- 16/x).
207) √(x² -4x) > x -3.
208) √(- x²+ x+2) + 2x +1> 0.
209) √(x -5)/{log√₂ (x -4) -1} ≥ 0.
210) {|x+2| - |x|)/√(4- x²) ≥ 0
211) (1/3)√⁽ˣ⁺²⁾ < 3⁻ˣ.
212) x + x/√(x²-1) > 35/12.
213) Find the midpoint of the interval in which the inequality 2x² - 7(√x)²≤ 4 is satisfied.
214) Find the least integral positive of x which satisfies the inequality √(x²+ 16x + 64)> 20.
215) Find the integral number which satisfies the inequality 2 √(2x +1) > 3 √(-x²- x +6).
SYSTEM OF EQUATIONS AND INEQUALITIES
SYSTEM OF INEQUALITIES IN ONE UNKNOWN:
1) Solve the system of inequalities
{ 2(3x -1)< 3(4x +1)+ 16,
4(2+ x)< 3x +8.
2) Find the greatest integral x which satisfies the system of inequalities
{ 0.5(2x -5) > (2x -1)/2 + 1,
0.2(3x -2) + 3 > 4x/3 - 0.5(x -1).
3) Find natural x which satisfy the system of inequalities
{ x + 3 < 4 + 2x,
5x - 3 < 4x -1.
4) Indicate the integeral part of the numbers x which satisfy the system of inequalities.
{ (x -1)/2 - (2x +3)/3 + x/6 < 2 - (x +5)/2,
1- (x +5)/8 + (4 - x)/2 < 3x - (x +1)/4.
5) Find all values of a for which the equation
cosx = (a - 1.5)/(2- 0.5a) possesses two solutions.
6) Find all values of α for which the system of inequalities
{x²+ 2x + α≤ 0,
x²- 4x - 6α≤ 0 has a unique solution.
7) Find a< 0 for which the inequalities 2√(ax) < 3a - x and x - √(x/a) > 6/a have solutions in common.
8) Find all values of k for which there is atleast one common solution of the inequalities x²+ 4kx + 3k²> 1+ 2k and x²+ 2kx ≤ 3k²- 8k +4.
9) Find all values of k for which every solution of the inequality x²+ 3k²- 1≥ 2k(2x -1) is a solution of the inequality x²- (2x -1)k + k²≥ 0.
Solve the following inequalities:
10) 0< (3x -1)/(2x +1)< 1.
11) 1≤ (2- x)/(x +1)≤ 2.
12) 1< (3x -1)/(2x +1)< 2.
13) { x²- x - 6≥ 0,
x²- 4x < 0.
14) { x² - 4 < 0,
x+ 1 > 0,
1/2 - x > 0.
15) { x/2 - 4/3 ≤ 4/x,
1/x> -1,
x²+ 3x +1 > 0.
16) { 1/3x < 1
x + 4/3≥ 4/3x,
9x²- 9x +1 < 0.
17) { |x| ≥ 1,
|x - 1|< 3.
18) { |x²- 4x| < 5,
|x+ 1| < 3.
19) { |x²+ 5x < 6,
|x+ 1| ≤ 1.
20) { |x²+ 5x < 6,
|x +1|< 2.
SYSTEM OF INEQUALITIES IN TWO UNKNOWNS:
THE DOMAIN OF DEFINITION AND THE RANGE OF A FUNCTION:
1) The domain of the function y= √(4- x²) is the set D= [-2,2], and the range is the set E= [0,2].
2) The domain of the function y= arc cosx2- x) is the set D= [1,3], i.e., a set of the values of x on which -1≤ 2 - x ≤ 1, and the range is the set E= [0,π].
3) The domain of the function y= 4 sinx - 3 cosx is the set R, and the range is the set E= [-5,5]. Indeed, setting sin α = 3/5, cosα= 4/5, where α= arctan(3/4), we reduce the given function to the form
y= 5{(4/5) sinx - (3/5) cosx}= 5 sin(x - α),
i.e., y= 5 sin(x - arctan(3/4)), and this function assumes all the values belonging to the interval [-5,5].
Find the domains of definition of the following functions:
1) y= √(2x - x²).
2) y= √(x - 1) √(x+1).
3) y= √(x - 1) + √(6 - x).
4) y= √(x² - 5x +6).
5) y= √{(x+3)/(5- x)}.
6) f(x)= √(2- x) + √(x+1).
7) y = √(-4x² +4x +3).
8) = √(-3x³ + 7x +6).
9) y= 1/(x -1) + √(2+x).
10) = √{1/(2x² - 5x -3)}.
11) f(x)= √(4x - x³).
12) f(x)= √(3x - x³).
13) y = 1/(x + x³- 2).
14) y= √(4- 3x - x²)/(x +4).
15) y= √(3x -7)/{⁴√(x +1)-2}.
16) f(x)= √(12+ x - x²)/x(x-2).
17) y= √{5- x - 6/x}.
18) f(x)= √(x²- x -20) + √(6-x).
19) f(x)= √(x²+ x -6)/(x²-4).
20) y= √(x +12- x²)/(x²-9).
21) y= (1/2)^√(4- x²) + 1/(x -1)
22) y= √{√(17-15x - 2x²)/(x+3)}.
23) y= √{(7-x)/√(4x²- 19x+12)}.
24) y= √{(x²- 7x +12)/(x²- 2x -3)}.
25) y= √{(x²- 5x +6)/(x²+ 6x +8)}.
26) y= √(x - x²) + √(3x - x² - 2).
27) y= √(x² - x -20) + 1/√(x² - 5x- 14).
28) y= 1/√(14+ 5x - x²) + √(x² - x- 20).
29) √[{(x⁴- 3x²+ x +7)/(x⁴- 2x²+ 1)} -1].
30) f(x)= 1/(sin⁴x + cos⁴x).
31) f(x)= arcsin3ˣ.
32) f(x)= √{(sinx + cosx)² -1}.
33) y= √(cosx - 1/2)/√(6+ 35x - 6x²).
34) y= log₃(x² +1)/(sin²x - sinx + 0.25).
35) y= 1/(3- log₃(x -3)).
36) y= √(x +5)/log(9- x).
37) f(x)= √{(3 log₆₄x -1)/³√(2x -11)}.
38) y= log₂{(x -2)/(x +2)}.
39) f(x)= log{(x +3)/(x +1)}.
40) y= √log(x +1).
41) y= log{(x² + 8x +7)/(x²+7)}.
42) y= √(1- x) + log(x +1).
43) y= √(x +1) + log(1- x).
44) y= log{(x²- 3x)(x +5)}.
45) y= √(4x - x²) - log₃(x -2).
46) y= √(x² + 4x -5) . log(x +1).
47) f(x)= log(5x² - 8x -4)+ √(x +1).
48) y= √(x² + 4x -5) . log(x +5).
49) y= (log(3- 2x - x²))/√x.
50) y= √[log{(3- x)/x}].
51) y = √[log{(1- 2x)/(x+3}].
51) y = √[log{(1- 2x)/(x+3}].
52) f(x)= ⁴√{x - |x|} + log(x +2).
53) y= √(x² -5x +6)/log(x +10)².
54) y= (logx)/√(x² -2x -63).
55) y= √[log{(5x - x²)/4}].
56) y= √{(x²- 3x -10) log²(x -3)}.
57) f(x)= log{(1- √(4- x²)}.
58) y= (5x² - 8x -4) + (x +3)⁻⁰·⁵.
59) y= √{(1- 5ˣ)/(7⁻ˣ -7)}.
60) y= √(4x - x²) + log(x² -1).
61) y= √(1- log(x -1))+ √{(4- x)/(x +2)}.
62) y= √[log₀.₃{(x -1)/(x+5)}]
63) y= √[log₀.₄(x - x²)].
64) y= √{log₀.₃(x² - 5x +7)}.
65) y= √{log₀.₅(x²-9) +4}.
66) y= √{log₀.₄{(x -1)/(x +5)}} . 1/(x²- 36).
67) f(x)= √{log₀.₅²²₀₃(-x²+ x +6)} + 1/(x²+ 2x).
68) y=√[{- log₀.₃(x-1)}/√(-x½+ 2x +8)].
69) f(x)= √(16- x⁵) + log₁/₂(x² -1).
70) y= √[log₁/₂{x/(x² -1)}].
71) f(x)= √[₄{3x²+ 18x +29)/(x +3) - 2⁶ˣ⁺¹⁷.]
72) y= √[log₀.₅(3x -8) - log₀.₅(x² +4)].
73) f(x)= √(4x - x³) + log(x² -1).
74) y= ⁴√[(1/2) log₄16 - log₈(x² - 4x +3)].
75) f(x)= log₄[2 - ⁴√x - (2√x +1)/(√x +2)].
76) y= √[(3ˣ - 4ˣ)/(2x²- x -8)].
77) f(x)= log₂{- log₁/₂(1+ 6/⁴√x) - 2}.
78) y= √(6x - x² -5)/(5ˣ⁻² -1).
79) y= x/√(x² - 5x +6).
80) √(-x² + 2x +3) + log₃(x -1).
81) y= log{x/(x -2)} - √(x -3).
82) f(x)= √(x²- 2x)/log₅(x -1).
83) f(x)= log₂ₓ₋₅(x² -3x -10).
84) f(x)= ⁶√{4ˣ + 8²/³⁽ˣ⁻²⁾ - 52 - 2²⁽ˣ⁻¹⁾}.
85) y= log₁.₇{(2- f'(x))/(x +1)}¹/², where
f(x)= x³/3 - 3x²/2 - 2x + 3/2.
86) y= √[{log₀.₃|x -2|}/|x|].
87) ⁶√(x + x² - 2x³).
88) y= √(x -4) - x/(x -5) + log(39- x).
89) y= log{1- log(x² - 5x +16)}.
90) y= log₀.₅[- log₂{(3x -1)/(3x +2)}].
91) y= √[log logx - log(4- logx) - log3].
92) y= √[logₓ₋₂(x² - 8x +15)].
93) y= log[(√8⁻²⁺ˡᵒᵍˣ) - ³√(4²⁻ˡᵒᵍˣ)].
94) y= log₁₀₀ₓ{(2 logx +1)/-x}.
95) y= log₂[- log₁/₂(1+ 1/⁴√x) -1].
96) y= log|ₓ| ₋₄2.
97) y= √sinx + √(16 - x²).
98) y= log(log²x - 5 logx +6).
99) y= √[log₁/₂{(x -1)/(3x +5)}].
100) y= log sin(x -3) - √(16 - x²).
101) y= (logx)/√(x²- 2x - 63).
102) y= arcsin{(x -3)/2} - log(4- x).
103) y= √(3- x) + arcsin{(3-2x)/5}.
104) y= (ₓ₊₀.₅)log₀₅₊ₓ{(x²+ 2x -3)/(4x²- 4x -3)}.
105) y= kog₁₀₀ₓ{(2logx +2)/-x}.
106) y= arccos{(2x +1)/2√(2x)}.
107) y= arccos{2/(2+ sinx)}.
108) y= √(3 sinx -1).
109) y= √{2 sin(x/2)}.
110) y= 1/√(4 cosx +1).
111) y= √(-2 cos²x + 3 cosx -1).
112) y= √(sin²x - sinx)..
Find the domain of definition and the ranges of the following functions:
113) y= x/|x|.
114) f(x)= √(x - x²).
115) y= √(3x² - 4x +5).
116) y= log(3x² - 4x +5).
117) y= log(5x²- 8x +4).
118) f(x)= √(x -1) + 2√(3- x).
119) f(x)= log₂{(sinx - cosx + 3 √2)/√2}.
120) f(x)= √(2- x) + √(1+ x).
121) Find the set of all x for which there are no functions
f(x)= log(ₓ₋₂)/(ₓ₊₃) 2 and g(x)= √(x² -9).
122) For what values of a does the range of the function
y= (x -1)/(a - x²+1) not contain any values belonging to the interval [-1, -1/3] ?
123) For what real values of a does the range of the function
y= (x +1)/(a+ x²) contain the interval [0,1]?
124) For what real values of a does the range of the function
y= (x -1)/(1- x² - a) not contain any value from the interval [-1,1]?
EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC EQUATIONS AND INEQUALITIES
The logarithm of a positive number X to the base a (a> 0, a ≠ 1) is a number equal to the power to which a must be raised in order to obtain x.
1) Fundamental identities: The identities used in solutions of exponential and logarithmic equations and inequalities (a> 0, a≠ 1) are as follows:
* aˣ = aʸ <=> x = y.
* aˣ. aʸ = aˣ⁺ʸ.
* a⁰ = 1.
* aˣ. bˣ = (a.b)ˣ, b > 0.
* (aˣ)ʸ= aˣʸ.
* ₐlogₐx = x, x> 0,
logₐ(xy)= logₐ|x| + logₐ|y|, xy> 0.
* logₐxᵅ = α. logₐx, x> 0.
* logₐx²ᵐ= 2m log|x|, x≠ 0, m ∈ N.
* logₐb= (logₓb)/(logₓa), x> 0, x≠ 1, b> 0.
* logₐv= 1/(logᵥa), v> 0, v≠ 1.
* logₐx= logₐk xᵏ, x> 0, k∈ R, k≠ 0.
* logₐkxᵐ= (m/k) logₐx, x> 0; m, k∈R, k≠ 0.
2) Exponential equations: If we have an equation of the form aᶠ⁽ˣ⁾ = b (a>0), then
1) x ∈ ∅ if b≤ 0;
2) f(x) = logₐb if b> 0, a≠ 1;
3) The equation is satisfied for all x ∈ D (f) if a= 1, b= 1(since) 1ᶠ⁽ˣ⁾ = 1 for all x ∈ D (f);
4) x ∈ ∅ if a=1, b ≠1.
1) ₃(x²-5x+6) ₌₁.
2) (3/7)³ˣ⁻⁷= (7/3)⁷ˣ⁻³.
3) (0.125) (4²ˣ⁻⁸)= (0.25)√2)⁻ˣ.
4) 5²ˣ⁻¹ + 5ˣ⁺¹ = 250.
5) 9ˣ + 6ˣ = 2.4ˣ.
6) 5ˣ⁺¹ - 5ˣ⁻¹ = 24.
7) 6ˣ + 6ˣ⁺¹ = 2ˣ + 2ˣ⁺¹ + 2ˣ⁺².
Exponential inequalities. When we solve exponential inequalities aᶠ⁽ˣ⁾ > b (a> 0), we have
1) x ∈ D (f) if b≤ 0,
2) If b> 0, then we have
f(x)> logₐb for a> 1,
f(x)< logₐb for 0< a < 1;
for a= 1 the inequality is equivalent to the numerical inequality 1< b.
8) 2ˣ⁺² > (1/4)¹⁾ˣ or 2ˣ⁺² > (2⁻²)¹⁾ˣ.
9) (1.25)¹⁻ˣ < (0.64)²⁽¹⁺√ˣ⁾.
10) log₃(5+ 4 log₃(x -1))= 2.
11) log₂(3- x)+ log₂(1- x)= 3.
12) log₂(9- 2ˣ)= 10ˡᵒᵍ⁽³⁻ˣ⁾.
13) (x +1)ˡᵒᵍ⁽ˣ⁺¹⁾= 1000(x +1).
14) (logx)² - logx³ + 2= 0.
15) 1+ log₂(x -1)= logₓ₋₁4.
Logarithmic Inequalities: When solving logarithmic Inequalities, it is necessary to remember that the function y= logₐx (a> 0, a≠ 1, x> 0) is decreasing if (0< a<1 and increasing if a> 1. Therefore, an inequality of the form
logₐ f(x)< logₐ ψ(x)
is equivalent to the system
{ f(x)= ψ(x),
ψ(x) > 0
for 0< a < 1, and to the system
{f(x)< ψ(x)
f(x)> 0
fot a> 1
16) log₁/₅{(4x +6)/x > 0.
17) log₂ₓ₊₃x² < log₂ₓ₊₃(2x +3).
18) log(ₓ₊₄)/₂ log₂{(2x -1)/(3+ x)< 0.
19) { 2ʸ⁻ˣ (x + y)= 1
(x + y)ˣ⁻ʸ = 2.
20) {log₃x + log₃y = 2+ log₃2,
lov₂₇(x + y)= 2/3.
Exponential Equation
1) (2ˣ⁻¹. 4ˣ⁺¹)/8ˣ⁻¹= 64.
2) (0.2ˣ⁺⁰·⁵)/√5 = (0.04)ˣ/25.
3) (5/3)ˣ⁺¹. (9/25)^(x²+2x -11) = (5/3)⁹.
4) 9⁽³ˣ⁻¹⁾ = 3⁽⁸ˣ⁻²⁾.
5) ₂{3/(log₂x)}= 1/64.
6) 4²/ˣ - 5. 4¹/ˣ + 4 = 0.
7) 5ˣ - 24 = 25/5ˣ.
8) 4ˣ - 10. 2ˣ⁻¹ = 24.
9) ₄(x²+2) - ₀.₂(x²+2) + 8= 0.
10) ₄{x - √(x²-5) - ₁₂. ₂{(x -1) - √(x²-5)}+ 8=0.
11) 64. 9ˣ - 84. 12ˣ + 27. 16ˣ = 0.
12) 4. 2²ˣ - 6ˣ = 18. 3²ˣ.
13) 7ˣ⁺² - (1/7) . 7ˣ⁺¹ - 14(7ˣ⁻¹) + 2(7ˣ)= 48.
14) 3²ˣ⁻³ - 9ˣ⁻¹ + 27²ˣ/³= 675.
15) 5²ˣ - 7ˣ - 5²ˣ. 35 + 7ˣ. 35= 0.
16) 5ˣ⁻¹ = 10ˣ. 2⁻ˣ. 5ˣ⁺¹.
17) 2ˣ⁺¹. 5ˣ = 200.
18) 3. 5²ˣ⁻¹ - 2. 5ˣ⁻¹ = 0.2.
19) 3²ˣ⁺¹ + 10(3ˣ)+ 3= 0.
20) 2²ˣ⁺¹ - 33(2ˣ⁻¹)+ 4 = 0.
21) 4⁻¹/ˣ + 6⁻¹/ˣ = 9⁻¹/ˣ.
22) {(⁵√27)ˣ/⁴ ⁻ √⁽ˣ/³⁾}ˣ/⁴ ⁺ √⁽ˣ/³⁾= √3⁷.
23) 2²ˣ⁻³ = 4^(x²-3x -1).
24) 4ˣ - 3ˣ⁻¹/² = 3ˣ⁺¹/² - 2²ˣ⁻¹.
25) 7.3ˣ⁺¹ - 5ˣ⁺² = 3ˣ⁺⁴ - 5ˣ⁺³.
26) 3. 16ˣ + 2. 81ˣ= 5. 36ˣ.
27) 64¹/ˣ - 2³⁺ ³/ˣ +12=0.
28) 2²⁺ˣ - 2²⁻ˣ= 15.
29) 9ˣ - 2ˣ⁺⁰·⁵ = 2ˣ⁺³·⁵ - 3²ˣ⁻¹.
30) (₃(x²- 7.2x + 3.9) - ₉√₃) (log(7-x)₌₀.
31) 3¹²ˣ⁻¹ - 9⁶ˣ⁻¹ - 27⁴ˣ⁻¹+ 81³ˣ⁺¹= 2192.
32) 5²ˣ = 3²ˣ + 2. 5ˣ + 2. 3ˣ.
33) x⁵ˢᶦⁿ³ˣ⁺² = 1/√x.
34) 2²ˡᵒᵍ⁴ˣ ⁻¹ - 7ˡᵒᵍ⁴ˣ = 7ˡᵒᵍ⁴ˣ⁻¹ - 3.4 ˡᵒᵍ⁴ˣ.
35) ⁷ˡᵒᵍˣ - 5ˡᵒᵍˣ⁺¹ = 3. 5ˡᵒᵍˣ⁻¹ - 13. 7ˡᵒᵍˣ⁻¹.
36) 15. 2ˣ⁺¹ + 15. 2⁻ˣ⁺² = 135.
37) ₄(x+√(x²-2)) ₋ ₅.₂{(x -1)+ √(x²-2)} ₌₆.
38) ((2)^(√x+3)^1/2√x) 2/(√x -1)= 4
39) 3²ˣ⁺5 = 3ˣ⁺² +2.
40) (4)^(1/x -2) = (log√10)/2.
41) √(7^(2x²- 5x -6) = )√2)³ˡᵒᵍ₂⁴⁹
42) 2^(x²-1) - 3^(x²) = 3^(x²-1) - 2^(x²+2).
43) 9^(x²-1) - 36. 3^(x²-3) +3= 0
44) 3⁴ˣ⁺⁸ - 4. 3²ˣ⁺⁵ + 28 = 2 log₂√2.
45) 2. 3ˣ⁺¹ - 6. 3ˣ⁻¹ - 3ˣ= 9.
46) 3ˡᵒᵍ ᵗᵃⁿˣ - 2. 3 ˡᵒᵍ ᶜᵒᵗˣ ⁺¹.
47) 3²ˣ⁺¹ = 3ˣ⁺² + √(1- 6. 3ˣ + 3²⁽ˣ⁺¹⁾).
48) (5/12)ˣ (6/5)ˣ⁻¹ = (0.3)⁻¹.
49) x². 2ˣ⁺¹ + 2|ˣ⁻³|⁺² = x². 2|ˣ⁻³|⁺⁴ + 2ˣ⁻¹.
50) 5ˣ. ˣ√8ˣ⁻¹ = 500.
51) x⁵/⁴ ⁻ ²ᶜᵒˢ³ˣ= ⁴√x.
52) (32)^{(x +5)/(x -7)} = 0.25(128)^{(x +17)/(x -3)}.
52) (32)^{(x +5)/(x -7)} = 0.25(128)^{(x +17)/(x -3)}.
53) (4/9)√ˣ = (2.25)√ˣ ⁻⁴.
54) 2ˣ. 5ˣ⁻¹ = 0.2(10²⁻ˣ.
55) 4³⁺²ᶜᵒˢ²ˣ - 7. (4) ¹⁺ᶜᵒˢ²ˣ - 4¹/² = 0.
56) [√{5+ √24}]ˣ + [√{5- √24}]ˣ= 10.
57) (2)^(x²-6) . (3)^(x²-6) = (1/6 ⁵) (6ˣ⁻¹)⁴.
58) ₃log₃2x + ₓlog₃x = 162.
59) (₀.₅)x². (2)²ˣ⁺² = 64⁻¹.
60) 9²ˣ⁺⁴ = 26(3²ˣ⁺³)+ 3.
61) (4/9)ˣ(27/8)ˣ⁻¹ = (log 4)/(log8).
62) 0.125(4²ˣ⁻³)= (√2)⁻ˣ.
63) ₂sin²x + ₄. ₂cos²x ₌₆.
64) ˣ⁻⁴√[(5)^{x/(√x +2)}. (0.2)^{4/(√x +2)}] = 125(0.04)^{(x -2)/(x -4)}.
65) 5¹⁺ˡᵒᵍ₄ˣ + 5ˡᵒᵍ₁/₄ˣ⁻¹ = 26/5.
66) 3(4)ˣ (1/3) (9ˣ⁺²)= 6(4ˣ⁺¹) - (1/2) (9ˣ⁺¹).
67) ˣ√64 - √(2³ˣ⁺³) + 12= 0.
68) 4ˡᵒᵍˣ ⁺¹ - 6ˡᵒᵍˣ - 2(3)^(logx²+2))= 0.
69) 4ˣ. 5ˣ⁺¹ = 5. 20²⁻ˣ.
70) 3ˣ⁺¹ + 18. 3⁻ˣ = 29.
71) 5ˡᵒᵍˣ - 3ˡᵒᵍˣ ⁻¹ = 3ˡᵒᵍˣ ⁺¹ - 5ˡᵒᵍˣ ⁻¹.
72) 5ˣ⁻¹ + 5(0.2)ˣ⁻² = 26.
73) 3.ˣ/² - 7. (2)ˣ/⁴= 20.
74) (x)^ (1- (1/3)logx²))= 1/³√100.
75) (√x)ˡᵒᵍˣ₂ ⁻¹ = 3.
76) x ˡᵒᵍˣ = 1000x².
77) (0.4)^(log²x+1) = (6.25)^(2- logx²).
78) (0.6)ˣ. (25/9)^(x²-12) = (27/125)³.
79) (6.9)¹/ˣ - 13(6)¹/ˣ + 6(4)¹/ˣ = 0.
80) +x)^ {(log x+ 5)/3}= (10)^(5+ logx).
81) (2)^(log₂x). (5)^(log₂x) = 400.
82) (9)^(1+ log₂x) - (3)^(1+ log₂x) - 210 = 0.
83) For what value of p does the equation p. 2ˣ + 2⁻ˣ= 5 possess a unique solution?
EXPONENTIAL INEQUALITIES
Solve the following Inequalities:
84) 2³⁻⁶ˣ > 1.
84) 16ˣ > 0.125.
86) (0.3)^(2x²- 3x +6) < 0.00243.
87) (1/3)^√(x +2)> 3⁻ˣ.
88) (0.1)^(4x²- 2x -2≤ (0.1)²ˣ⁻³.
89) ˣ⁺¹√3> 9.
90) (8)^(√8ˣ) > 4096.
91) (2/5)^{(6- 5x)/(2+ 5x)} < 25/4.
92) 2ˣ + 2⁻ˣ⁺¹ -3< 0.
93) (4ˣ + 2x -4)/(x -1) ≤ 2.
94) 4⁻ˣ⁺⁰·⁵ - 7(2)⁻ˣ - 4< 0.
95) x². 5ˣ - 5²⁺ˣ< 0.
96) 4ˣ⁺¹ - 16ˣ < 2 log₄8.
97) (2ˣ⁻¹ -1)/(2ˣ⁺¹ +1)< 2.
98) (2¹⁻ˣ - 2ˣ +1)/(2ˣ -1)≤ 0.
99) 4ˣ - 2²⁽ˣ⁻¹⁾ + (8)²⁽ˣ⁻²⁾/³> 52.
100) (0.3)²⁻⁴⁺⁶····⁺²ˣ > (0.3)⁷², x∈ N.
101) 2²ˣ⁺¹ - 21 (1/2)²ˣ⁺³ + 2≥ 0.
102) 3⁴⁻³ˣ - 35 (1/3)²⁻³ˣ + 6≥ 0.
103) (x)^ (log²x - 3 logx +1) > 1000.
104) 2ˣ⁺² - 2ˣ⁺¹ + 2ˣ⁻¹ - 2ˣ⁻² ≤ 9.
105) 5²ˣ⁺¹> 5ˣ+ 4.
106) 2ˣ⁺² - 2ˣ⁺³ - 2ˣ⁺⁴ > 5ˣ⁺¹ - 5ˣ⁺².
107) 3⁷² (1/3)ˣ. (1/3)√ˣ > 1.
108) 4ˣ - 2. (5)²ˣ - 10ˣ > 0.
109) 24⁻ˣ - 5⁻ˣ⁺¹ ≥ 50.
110) 3ˡᵒᵍˣ⁺² < (3)^ (logx²+5) -2.
111) √(9ˣ- 3ˣ⁺²)> 3ˣ -9.
112) 9(4)⁻¹/ˣ + 5(6)⁻¹/ˣ < 4(9)⁻¹/ˣ.
113) 8(3ˣ⁻²)/(3ˣ - 2ˣ)> 1+ (2/3)ˣ.
114) (1/2)^(log₂(x²-1) > 1.
115) (1/3)^{(|x +2)/(2- |x|)} > 9.
116) x² . 2²ˣ + 9(x +2)2ˣ+ 8x² ≤ (x +2)2²ˣ + 9x² 2ˣ + 8x + 16.
117) (1/3)^(log₁/₃(3. (1/2)ˣ + 5)) < 2¹⁺ˣ.
118) 4ˣ - 3≤ 2ˣ⁺¹.
119) (1/3) ˣ⁺ ¹/²⁻²/ˣ > 1/√27.
120) √(9ˣ + 3ˣ -2)≥ 9 - 3ˣ.
121) 3^√ˣ > 2ᵅ.
122) 2ˣ+ 2|ˣ| ≥ 2√2.
123) (0.2)^{(2x -3)/(x -2)} > 5.
124) (1/5)^{(2x +1)/(1- x)} > (1/5)⁻³.
Logarithmic Equations
Solve the following equations:
125) logₓ₋₁3= 2.
126) log₄(2 log₃(1+ log₂(1+ 3 log₃x)))= 1/2.
127) log₃(1+ log₃(2ˣ -7))= 1.
128) log₃(3ˣ -8)= 2- x.
129) {log₂(9- 2ˣ)}/(3- x)= 1.
130) log₅₋ₓ(x²- 2x + 65)= 2
131) log₃(log₉x + 1/2 + 9ˣ).
132) log₃(x +1) + log₃(x +3)= 1.
133) log₇(2ˣ -1) + log₇(2ˣ -7)= 1.
134) log5 + log(x +10) -1= log(21x -20) - log(2x -1).
135) 1- log5 = (1/3) (log(1/2) + logx + (1/3) log5).
136) logx - (1/2) log(x - 1/2)= log(x + 1/2) - (1/2) log(x + 1/8).
137) 3ˡᵒᵍ₃ log√ˣ - logx + log²x -3=0.
138) (x -2)^{log²(x -2)+ log(x -2)⁵ -12} = 10² log(x -2).
139) 9ˡᵒᵍ₃⁽¹⁻²ˣ⁾ = 5x²- 5.
140) x¹⁺ ˡᵒᵍˣ= 10x.
141) x²ˡᵒᵍˣ - 10x².
142) (x)^{(logx +5)/3} = 10⁵⁺ˡᵒᵍˣ.
143) x ˡᵒᵍ₃ˣ = 9.
144) (√x)ˡᵒᵍ₃ˣ ⁻¹ = 5.
145) xˡᵒᵍˣ⁺¹ = 10⁶
146) (x)^{(logx +7)/4} = 10ˡᵒᵍˣ⁺¹.
147) ₓlog√ₓ⁽ˣ⁻²⁾ = 9.
148) {(logx)/2}^{log²x + logx²-2} = log√x.
149) 3√(log₂x) - log₂8x +1=0.
150) log²x - 3 logx = log(x²) - 4.
151) log₁/₃x - 3√(log₁/₃x) +2)= 0.
152) 2(logₓ √5)² - 3logₓ√5 + 1= 0.
153) log₂²x + 2 log₂√x. -2=0.
154) (ₐlogᵥx)² - 5(yˡᵒᵍᵥa)+ 6 = 0.
155) log²(100x) + log²(10x)= 14 + log(1/x).
156) log₄(x +3) - log₄(x -1)= 2 - log₄8.
157) log₄(x² -1) - log₄(x -1)²= log₄√(4- x)².
158) 2 log₃{(x -3)/(x -7)} +1 = log₃{(x -3)/(x -1)}.
159) 2 log₄(4- x)= 4 - log₂(-2- x).
160) 3+ 2 logₓ₊₁3 = 2 log₃(x +1).
161) logₓ(9x²) . log₃²x= 4.
162) log²₁/₂ (4x) + log₂(x²/8)= 8.
163) log₀₅x² - 14 log₁₆ₓx³ + 40 log₄ₓ√x= 0.
164) 6 - (1+ 4. (9)⁴⁻²ˡᵒᵍ√₃³). log₇x = logₓ7, x∈ Q.
165) log₃(4. (3)ˣ -1)= 2x +1.
166) log₃(3ˣ- 6)= x -1.
167) log₃(4ˣ -3) + log₃(4ˣ -1)= 1.
168) log₃(log₁/₂²x - 2 log₁/₂ x +5)= 2.
169) log₅{(2+ x)/10}= log₅{(2/(x +1)}.
170) 1+ 2 logₓ₊₂5= log₅(x +2).
171) log₄2⁴^ˣ = 2ˡᵒᵍ₂⁴.
172) log₂(x/4)= 15/{log₂(x/8) -1}.
173) (1- 2(logx²))/(logx - 2(logx)²)= 1.
174) log₂(4. 3ˣ - 6) - log₂(9ˣ - 6)= 1.
175) (1/2) log(5x -4) + log√(x +1)= 2 + log(0.18).
177) log₄(2. (4)ˣ⁻²- 1)+ 4= 2x.
178) logₓ√5 + logₓ(5x) - 2(25) = (logₓ√5)².
179) log₃x - 2 log₁/₃x = 6.
180) (2 logx)/log(5x -4)= 1.
181) 2 log₈(2x)+ log₈(x² + 1 - 2x)= 4/3.
182) (1/6) log₂(x -2) -1/3 = log₁/₈ √(3x -5).
183) 2 log₃(x -2) + log₃(x -4)²= 0.
184) √[log₂(2x²). log₄(16x)]= log₄x³.
185) (3 logx +19)/(3 log x -1) = 2 log x +1.
186) [log{√(x +1) +1}/log³√x - 40)]= 3.
187) log₃²6 - kog₃²2 = (log²x -2) log₃12.
188) 1- (1/2) log(2x -1)= (1/2) log(x -9).
189) [=log√(x +7) - log2}/(log8 - log(x -5)) = -1.
190) log(3x²+7)= log(3x -2)= 1.
191) (1/3) log(x²- 16x +20) - log³√7= (1/3) log(8- x).
192) log₆2²ˣ⁺³ - log₆(3ˣ -2)= x.
193) (1+ 1.2x) log3 + log2= log(27 - ˣ√3).
194) log(5ˣ⁻² +1) = x + log 13 - 2 log5 + (1- x) log2.
195) (1/2) logx + 3 log√(2+ x) = log√{x(x +2)} +2.
196) log₂(4ˣ +1)= x + log₂(2ˣ⁺³ -6).
197) 1/log₆(x +3) + {2log₀.₂₅(4- x)}/log(3+ x) = 1.
198) log₃(9ˣ+9)= x + log₃(28 - 2.(3ˣ)).
199) log(logx) + log(logx³ -2)= 0.
200) log√₅(4ˣ -6) - log√₅ (2ˣ -2)= 2.
201) log₂(4ˣ +4) = log₂2ˣ + log₂(2ˣ⁺¹ -3).
202) log√₅ x. √[logₓ5√5 + log√₅5√5]= - √6.
203) log(3ˣ - 2⁴⁻ˣ)= 2 + (1/4) log16 - (x log4)/2.
204) (1/5)^(log²x - logx) = (1/125). 5ˡᵒᵍˣ ⁻¹.
205) (x)^(3 log²x - (2.3) logx) = 100 ³√10.
206) kog₂(25ˣ⁺³ -1) = 2+ log₂(5ˣ⁺³+ 1).
207) log₃√[130 - 7ˡᵒᵍₓ⁽⁶⁻ˣ⁾]= 2.
208) log2 + log(4ˣ⁻²+ 9)= 1+ log(2ˣ⁻² +1).
209) log₂(4ˣ⁺¹+ 4) log₂(4ˣ+1)= log₁/√₂ √(1/8).
210) log₂(2x²) log₂(16x)= (9/2) log₂²x.
211) log₄x + (1+ 1/2x) log3= log(ˣ√3 +27).
212) log(x³ +27) - 0.5 log(x² + 6x +9)= 3 log³√7.
213) 5ˡᵒᵍˣ = 50 - xˡᵒᵍ⁵.
214) |x -1|^(log²x - logx²)= |x -1|³.
215) (x)^(3 logx - 1/logx) = ³√10.
216) |x - 10| log₂(x -3)= 2(x -10).
217) log₄log₂x+ log₂log₄x = 2.
218) (6x -5) |log(2x + 2.3|= 8 log(2x + 2.3).
219) √[log₉(9x⁸) log₃(3x)]= log₃x³.
220) log²(100x) - log²(10x)+ log²x = 6.
221) (9)^(log₁/₃(x+4))= (5)^(log₁/₅(2x²+1).
222) log²(4- x)+ log(4- x) log(x + 1/2)= 2 log²(x + 1/2).
223) 2 log₂{(x -7)/(x -1)} + log₂{(x -1)/(x +1)}= 1.
224) log₃ₓ₊₇(9+ 12x + 4x²)+ log₂ₓ₊₃(6x²+ 23x +21)= 4.
225) log√(1+ x) + 3 log√(1- x)= log√(1- x²).
226) {log(35- x³)/log(5- x)}= 3.
227) logₓ2 - log₄x + 7/6= 0.
228) log(6. 5ˣ + 25. 20ˣ)= x + log25.
229) √log₂x - 0.5 = log₂√x.
230) log₁/₃(2(1/2)ˣ -1)= log₁/₃((1/4)ˣ -4).
231) log₆√(x -2) + (1/2) log₆(x -11)= 1.
232) log₃(3)^(x²-13x +28) + (2/9))= log₅0.2.
233) log₇2+ log₄₉x = log₁/₇√3.
234) (logₛᵢₙₓ2). (Logₛᵢₙ²ₓ a)+ 1= 0.
235) log√ₓa . logₐ²{(a²-4)/(2a - x)}= 1.
236) √{(log₀.₀₄x)+1} + √{(log₀.₂x)+ 3}= 1.
237) log₃ₓ(3/x) + log₃²x = 1.
238) {logₓ(2a - x)}/logₓ2 + logₐx/logₐ2 = 1/(log(ₐ²₋₁)².
239) (logₐ²√xᵃ)/log₂ₓa + logₐₓa . log₁/ₐ2x = 0.
240) lig₄(x + 12) logₓ2= 1.
241) (2)^√(log₂x -2) + (2)^-√(log₂x -2)= 1.
242) log₀.₁sin2x + log cosx - log 7= 0.
243) log₂(3- x) - log₂{sin(3π/4)/(5- x)}= 1/2 + log₂(x +7).
244) log₄{2+ √(x +3)}= 2 cos(5π/3).
245) log₁/₅(2x +5) = log₁/₅(16- x²) + tan(5π/4).
246) log₁/₃√(x²- 2x)= sun(11π/6).
247) log₁₆x + log₄x + log₂x = 7.
248) log10 + (1/3) log3²√ˣ + 271)= 2.
249) 2 log₃x + log₃(x²-3) = log₃0.5+ (5)^(log₃log₃8).
250) log₅(3ˣ + 10) + 7. 1⁰= log₅(9ˣ+ 56).
251) (log₄x -2) log₄x = (3/2) (log₄x -1).
252) log₅x + log₂₅x = log₁/₅√3.
253) log(64²⁴√(2^(x²-40x))= 0.
254) log₂(9- 2ˣ)= 3- x.
255) 2(log 2 -1) + log(5√ˣ +1)= log(5¹⁻√ˣ +5).
256) logₓ3+ log₃x = log√ₓ3+ log₃√x + 1/2.
257) 3√logx + 2log √x⁻¹= 2.
258) x + log(1+ 2ˣ)= x log5+ log6.
259) logₓ(125x) log₂₅²x = 1.
260) log₂₋₂ₓ² (2- x²- x⁴)= 2 - 1/(log₄/₃(2- 2x²)).
261) log₃₋₄ₓ² (9- 16x⁴)+ 2+ 1/(log₂(3- 4x²)).
262) For what value of a does the equation 2 log₃²x - |log₃x|+ a= 0 possess four solutions?
LOGARITHMIC INEQUALITIES
263) log₁/₃(5x -1)> 0.
264) log₅(3x -1)< 1.
265) log₀.₅(1+ 2x)> -1.
266) log₀.₅(x²- 5x +6)> -1.
267) log₈(x² - 4x +3)≤ 1.
268) log(x² -5x +7)< 0.
269) log₇{(2x -6)/(2x -1)}> 0.
270) log₁.₅{(2x -8)/(x -2)< 0.
271) log₃{(1- 2x)/x}≤ 0.
272) log₁/₃{(2- 3x)/x} ≥ -1.
273) log₁/₄{(35- x²)/x}≥ -1/2.
274) log₃|3- 4x|> 2.
275) log₀.₅² x + log₀.₅x - 2≤ 0.
276) |log₃x| - log₃x - 3< 0.
277) log₂x ≤ 2/(log₂x -1).
278) (log²x - 3 logx +3)/(logx -1)< 1.
279) 1/(1+ logx) + 1/(1- logx) > 2.
280) log₁/₄(2- x)> log₁/₄{2/(x +1).
281) (x -1)/{log₃(9- 3ˣ) - 3} ≤ 1.
282) 1/[log₄{(x+1)/(x+2)}] < 1/(log₄(x+3)).
283) log₃ₓ₊₅ (9x² + 8x +8)> 2.
284) [log₅(x² - 4x +11)² - log₁₁(x² - 4x -11)³]/√(2- 5x - 3x²) ≥ 0.
285) log₃{(1+ 2x)/(1+ x)}< 1.
286) 3ˡᵒᵍ₃√⁽ˣ⁻¹⁾ < 3ˡᵒᵍ₃⁽ˣ⁻⁶⁾+ 3.
287) log₀₂(x² - x -2) > log₀₂(-x²+ 2x +3).
288) log₁/₆(x² - 3x +2)+ 1< 0.
289) log₂(x² -2x) -3> 0.
290) log₁/₃(3x +4)> log₁/₃(x² +2).
291) (1/2)^(log₂(x²-1))> 1.
292) {log₂(x +1)}/(x -1)> 0.
293) log₀.₅√{(x -4)/(x +3) < log₀.₅2.
294) log₀.₅(x² -3x +4) - log₀.₅(x -1)< -1.
295) log₀.₅(3x -4)< log₀.₅(x -2).
296) log₀.₅(4- x)≥ log₀.₅2 - log₀.₅(x -1.
297) log₀.₁(x² + x -2)> log₀.₁(x +3).
298) 1+ log₂(x -2) > log₂(x² - 3x +2).
299) log₁/₃ (2ˣ⁺² - 4ˣ)≥ 2.
300) log₁/√₅ (6ˣ⁺¹ - 36ˣ)≥ -2.
301) log₁/₃ (log₄(x² -5))> 0.
302) log₀.₅[log₆{(x²+ x)/(x +4)}]< 0.
303) log₀.₁[log₂{(x²+1)/((|x -1|)}]< 0.
304) logₓ[log₉(3ˣ-9)]< 1.
305) log₀.₅ [log₈{(x² -2x)/(x -3)}]< 0.
306) [1- log₀.₅(-x)]/√(2- 6x)< 0.
307) (1- log₀.₅ (-x))/√(-2-6x)< 0.
308) {(x - 0.5)(3- x)}/log₂|x -1|> 0.
309) (x² -4)/log₁/₂(x² -1)< 0.
310) log₃(|x² - 4x|)+ 3)/{x² + |x -5|}≥ 0.
311) logₓ² {(4x -5)/|x -2|}≥ 1/2.
312) {log₂(3. 2ˣ⁻¹ -1)}/x ≥ 1.
313) log₁/₃(x +1)> log₃(2- x).
314) log₁/₅(x² - 6x + 18) + 2 log₅(x -4)< 0.
315) log₁/₃ x > logₓ3 - 5/2.
316) log₂(2ˣ -1) log₁/₂ (2ˣ⁺¹ -2)> -2.
317) log₄(18 - 2ˣ) log₂{(18 - 2ˣ)/8}≤ -1.
318) log₅(x -3) +(1/2) (log₅3)< (1/2) log₅(2x² - 6x +7).
319) log₂(2x -1)> log₁/√₂ 2.
320) log₄/₃ {√(x +3) - √x} + log₄/₉(2/3}≥ 0.
321) 2 log₅x - logₓ125 < 1.
322) log₅ √(3x +4) . logₓ5 > 1.
323) log₃x + log√₃ x + log₁/₃ x < 6.
324) (1/3)^{log₁/₉(x² - 10x/2 +1) ≤ 1.
325) log²₀.₅x + 6≥ 5 log₀.₅x.
326) (1/10)^(logₓ₋₃(x² - 4x +3)≥ 1.
327) log²₂{(4x -3)/(4- 3x)}> -1/2.
328) log₂ₓ(x² - 5x +6)< 1.
329) logₓ(x²)< 1.
330) log₂ₓ₊₃x²< 1.
331) logₓ₋₃ {2(x² -10x +24)≥ logₓ₋₋₃(x²-9).
332) logₓ₋√₂ {(x +7)/(x -2)} ≤ logₓ₋ √₂ 2x.
333) logₓ₋ ₄.₅{(x +4)/(2x -6) ≤ logₓ₋₄.₅ (x -5).
334) log|ₓ|{√(9- x²) - x -1}> 1.
335) logₓ2x ≤ √(logₓ(2x²)).
336) log base ₗₒg₂(o.5x) (x² - 10x +22}> 0.
337) log(ₓ₊₆)/₃ (log₂{(x -1)/(2+ x)}> 0.
338) log(base){3x/(x²+1)} (x² - 2.5x +1)≥ 0.
339) log (base x²) (2+ x)< 1.
340) log(base 9x²) (6+ 2x - x²)≤ 1/2.
341) log₁/ₓ(2. 5x -1)≥ -2.
342) log (base π) (x +27) - log(base π) (16 -2x)< log(base π) x.
343) (1/2)^(log₂(x²-1)) > 1.
344) (2/5)^(log₀.₂₅ (x²+ 5x +8)) ≤ 2.5.
345) (2)^(log₂₋ₓ(x²+ 8x +15) < 1.
346) (0.5)ˡᵒᵍ₅ˡᵒᵍ₀.₃⁽ˣ⁻⁰·⁷⁾ < 1.
347) (0.5)^(log₁/₃ {(x +5)/(x²+3)}> 1.
348) (0.5)^(log₃log₁/₅(x²- 4/5) < 1.
349) log₂(sin (x/2))< -1.
350) log₄(3ˣ -1) log₁/₄{(3ˣ -1)/16}≤ 3/4.
351) log₅x + logₓ(x/3)< {log₅(2- log₃x)/log₃x}.
352) log₁/₂x + log₃x > 1.
353) (1- log₄x)/(1+ log₂x) ≤ 1/2.
354) √{log²₁/₂x + 4 log₃√x}< √2(4- log₁₆x⁴).
355) log{base (x +3)/(x -3)} 4 < {log₁/₂(x -3) - log₂/√₂ √(x +3)}.
356) √[log₂{(3- 2x)/(1- x)}]< 1.
357) √{x^(log √x)}≥ 2.
358) log√₂(5ˣ -1) log√₂{2√2/(5ˣ -1)}> 2.
359) log₃{2ˣ -5)/27} log₁/₃(2ˣ -5)< 2.
360) (x/100)ˡᵒᵍˣ ⁻² < 100.
361) 1/{log₃(x +1)} < 1/{2 log₉ √(x² + 6x +9)}.
362) (log10)^(x²+21) > 1+ logx.
363) logₐ(x -1)+ logₐx > 2.
364) (3 logₐx +6)/(log²ₐx +2) > 1.
365) 2 log₅(x - 3d +2) - log√₅ (x + 2 d -8)≤ 4.
366) 1/(5- logₐx) + 1/(1+ logₐx) < 1.
367) log⁴x - 13 log²x + 36 > 0.
368) log₁/₂ log₂{x/(1+ x)}> 0.
369) log₂x² + log√₂ (x -1)< log√₂ log√₂ 2.
370) log²x ≥ logx +2.
371) log₁/₃ x + 2 log₁/₉ (x -1) ≤ log₁/₃ 6.
372) {1+ logₓ₊₁ (x -3)}/logₓ₊₁ 3 < log₃ (2x -3).
373) logₐ(1- 8a⁻ˣ)≥ 2(1- x) (a ∈R).
374) 2 log₁/₂ (x -1) ≤ 1/3 - 1/log{base (x²- x} 8.
375) log₂(4ˣ - 5. 2ˣ +2)> 2.
376) log{base (x²+ 2x -3)} (|x +4| - |x|)/(x -1)> 0.
377) (log₁/₂)² - log₁/₂ x² > (log₁/₂ 3)² -1.
378) log₂(x +14) + 2 log₄(x +2)< 2 log₁/₂ (1/8).
379) log₁/₄ (x +2) ≥ 2 log₁/₁₆ 2 + log₁/₄ (x² + 3x +8) .
380) log₁/₂ log₃{(x +1)/(x -1) ≥ 0.
381) log₀.₅ log₅ (x² -4) > log₀.₅ > 1.
382) log₁/₄ x² + 1/logₓ₋₁ (1/2) ≥ log₁/₂ 2.
383) log₂{3x -1)/(2- x)} < 1.
384) log₀.₅ (x +5)² > log₁/₂ (3x -1)².
385) The Inequality logₐ (x² - x -2) > logₐ (-x² + 2x +3) is known to be satisfied for x= 4/9. Find all solutions of this inequality.
SYSTEM OF EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC EQUATIONS
² ˣ⁺ʸ ³ˣ⁻ ²ʸ⁻³ ⁽ˣ⁻ʸ⁾²⁻¹ˣ⁺ʸ²ˣʸˣ²ʸˣʸ₄₂²²ˣʸˣʸˣˣˣʸ⁽⁵ʸ⁻ˣ⁾ʸˣʸ₃₄ₓ₃ʸ¹²ˡᵒᵍ ʸ₂₂²⁴₃₃₃²ˣ⁻²ʸˣ⁻²ʸ₂₂³₂₂₂²²²²₂₂²²²₃₁₃²ˣ⁻ʸ⁽²ˣ⁻ʸ⁾²₅₂ʸ³ₓ₅ᵧ₇²²²²²ˣ⁻ʸ₉₃³⁻ ˡᵒᵍ⁽ˣ⁻ʸ⁾₄₂²²₅₅₇₅₂₂₅₂₂₂₄₁₂₄₂ᵧₓ₂ʸʸ₂₂ʸ⁺¹ᵧₓ₂₂₂₂ˣʸ₃₂₁₃₁₂²
ₐₐₐᵅαₐₐ
ααααααα
∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈ ∈
Transformation of Trigonometric Expressions, Inverse Trigonometric Functions
The Fundamental Formula
* sin²α + cos²α= 1
* tan²α + 1= 1/cos²α, α ≠ π/2 + nπ, n ∈Z.
* cot²α + 1= 1/sin²α, α ≠ nπ, n ∈Z.
* sin(α+ β)= sinα cosβ + cosα sinβ.
* sin(α- β)= sinα cosβ - cosα sinβ.
* cos(α+ β)= cosα cosβ - sinα sinβ.
* sin(α- β)= cosα cosβ + sinα sinβ.
* tan(α+ β)= (tanα + tanβ)/(1- tanα tanβ).
α, β, α + β ≠ π/2 + nπ, n ∈Z.
* tan(α- β)= (tanα - tanβ)/(1+ tanα tanβ).
α, β, α - β ≠ π/2 + nπ, n ∈Z.
* sin2α = 2 sinα cosα.
* cos2α = cos²α - sin²α.
= 2 cos²α - 1
= 1- 2 sin²α.
* tan2α = 2tanα/(1- tan²α).
α, 2α ≠ π/2 + nπ, n ∈Z.
* sin3α = 3sinα - 4 sin³α.
* cosα = 4 cos³α - 3 cosα.
* sinα+ sinβ = 2 sin{(α +β)/2} cos{(α -β)/2}.
* sinα- sinβ = 2 sin{(α -β)/2} cos{(α +β)/2}.
* cosα+ cosβ = 2 cos{(α +β)/2} cos{(α -β)/2}.
* cosα - cosβ = - 2 cos{(α - β)/2} sin{(α + β)/2}.
* sinα cosβ = (1/2) {sin(α -β)+ sin(α + β)}
* sinα sinβ = (1/2) {cos(α -β) - cos(α + β)}.
* sinα cosβ = (1/2) {cos(α -β) + cos(α + β)}.
* 1+ cosα = 2 cos²α.
* 1- cos2α = 2 sin²α.
* cos²α = (1+ cos2α)/2.
* sin²α = (1- cos2α)/2.
* |sin(α/2)| = √{(1- cosα)/2}.
* |cos(α/2)| = √{(1+ cosα)/2}.
* * |tan(α/2)| = √{(1- cos2α)/(1+ cosα), α ≠ π + 2nπ, n ∈ Z.
* sinα = 2 tan(α/2)/(1+ tan²(α/2). α ≠ π + 2nπ, n ∈ Z
* cosα = (1- tan(α/2)/(1+ tan²(α/2). α ≠ π + nπ, n ∈ Z
* tan(α/2) = sinα/(1+ cosα). α ≠ 2nπ, n ∈ Z
= (1- cosα)/sinα. α ≠ nπ, n ∈ Z
* | tanα| = |tanα|/√(1+ tan²α). α ≠ nπ + π/2, n ∈ Z
* | sinα| = 1/√(1+ cot²α). α ≠ nπ , n ∈ Z
* | cosα| = 1/√(1+ tan²α). α ≠ nπ + π/2, n ∈ Z
* | tanα| = |cot α|/√(1+ cot²α). α ≠ nπ, n ∈ Z
* a cosx + b sinx =√(a²+ b²) sin(x + α), a²+ b²≠ 0
Where
sinα = a/√(a²+ b²), cosα = b/√(a²+ b²)
Prove the following:
1) (1+ sinα)/(1+ cos α) . (1+ secα)/(1+ cosecα) = tanα.
2) (sinx + cosx)/cos³x = tan³x+ tan²x + tanx +1.
3) (1/2) (cos t + √3 sin t)= cos(π/3 -t).
4) (sin⁴α+ 2 sinα cosα - cos⁴α)/(tan2α -1) = cos2σ.
5) (1- 2 sin²σ)/(1+ sin2σ) = (1- tanσ)/(1+ tanα).
6) {cos²β(tan²α - tan²β)}/sec²α = sin(α+ β) sin(α - β).
7) tan(π/4 + α)= (1+ sin2α)/cos2α.
8) sin²(α+ β) - sin²α - sin²β = 2 sinα sinβ cos(α+ β).
9) (1+ tanβ tan2β) sin2β = tan2β.
10) sinα - sin2α + sin3α = 4 cos(3α/2) cosα sin(α/2).
11) sin²4α/(2 cosα + cos3α + cos5α) = 2 sinα sin2α.
12) sinα + 2 sin3α + sin5α = 4 sin3α cos²α.
13) sin2α + sin4α - sin6α = 4 sinα sin2α sin3α.
14) (sinα + sin3α + sin5α)/(cosα + cos3α + cos5α) = tan3α.
15) sin²(45°+ α) - sin²(30° - α) - sin 15° cos(15°+ 2α)= sin2α.
16) {(sin2α - sin6α)+ (cos2α - cos6α)}/(sin4α - cos4α).
17) [[tan²{α -π)/4} -1]/[tan²{ α -π)/4} +1]+ cos( α/2). cot4α] sec(9α/2)= cosec4α.
18) cos²α - sin²2α = cos²α cos2α - 2 sin²α cos²α.
19) (sin2x - sin3x + sin4x)/(cos2x - cos3x + cos4x)= tan3x.
20) 1- cos(2x -π) - cos(4x +π)+ cos(6x -2π)= 4 cosx . cos2x cos3x.
21) (tan2x tanx)/(tan2x - tanx)= sin2x.
22) (sin⁴α - cos⁴α+ cos²α)/2(1- cosα) = cos²(α/2).
23) sin(π- α)/(sinα - cosα tan(α/2)) + cos(π - α)= 1.
24) cosα/(cot²(α/2) - tan²(α/2)). = (1/4) Sin²α.
25) 1/(4sin²α cos²α) - (1- tan²α)²/4tan²α = 1.
26) (√2/2) (cosα + sinα)= cos(π/4 - α).
27) (1- sin2α)/(1+ sin2α) = cot²(π/4+ α).
28) (sinα + sin5α)/(cosα + cos5α)= tan3α.
29) {tanx - π/2) cos(3π/2 + x) - sin³(7π/2 - x)}/{cos(x - π/2) tan(3π/2 + x)} = sin²x.
30) sin⁶α+ cos⁶α+ 3 sin²α cos²α= 1.
31) (1- 2 cos²α)/{tan(α- π/4) sin²(π/4+ α)} = 1.
32) sin²(π/8+ α) - sin²(π/8 - α)= (sin2α)/√2.
33) (cotα + tanα)/(1+ tan2α tanα)= 2 cot2α.
34) (cotα - tanα)/(2sinα + cos(90°+ 3α)+ sin5α) = cosecα cosec4α.
35) (tan3α)/(tanα) = (3- tan²α)/(1- 3 tan²α).
36) cos4α - sin4α cot2α = cos2α - 2 cos²α.
37) 1+ 2 cos 7a = (sin10. 5a)/sin 3. 5a).
38) (sinα - sinβ)(sinα + sinβ)= sin(α - β) sin( α+ β).
39) cotα - tanα - 2 tan2α - 4 tan4α = 8 cot8α.
40) (cos4α tan2α - sin4α)/(cos4α cot2α + sin4α) = - tan²2α.
41) (1- cos2α + sin2α)/(1+ cos2α + sin2α) = tanα.
42) (sinα + cosα)/(cosα - sinα) . tan(π/4+ α) +1= cosec²(π/4- α).
43) 3- 4 cos2α + cos4α = 8 sin⁴α.
44) (sin²2α+ 4 sin⁴α - 4 sin²α cos²α)/(4- sin²2α - 4 sin²α)= tan⁴α.
45) (sin²2α+ 4 sin²α- 1)/(1- 8 sin²α - cos4α) = (1/2) cot⁴α.
46) {√(1+ cosα) + √(1- cosα)}/{√1+ cosα) - √(1- cosα)}= cot(α/2 + π/4), π<α<2π.
47) 1- sin4α + cot(3π/4 - 2α) cos4α= 0.
48) (sinx + cosx)/(sinx - cosx) - (sec²x + 2)/(tan²x -1)= 2/(tanx +1).
49) {2 sin²(π/4- α)}/cos2α = cot(π/4+ α).
50) cos2α - cos3α - cos4α + cos5α = - 4 sin(α/2) sinα cos(7α/2).
51) (1+ tan⁴α)/(tan²α+ cot²α)= tan²α.
52) (3- 4 cos2α + cos4α)/(3+ 4 cos2α + cos4α) = tan⁴α.
53) cos⁶α- sin⁶α) = cos2α(3 + cos²2α)/4 .
54) 2(sin⁶α + cos⁶α) - 3(sin⁴α + cos⁴α)+ 1= 0.
55) (cotα + cot(270°+ α))/(cotα - cot(270° + α)) - 2 cos(135°+ α) cos(315° - α)= 2 cos2α.
56) (1+ tanα + tan²α)/(1+ cotα + cot²α) = tan²α.
57) (√2 - sinα - cosα)/(sinα - cosα) = tan(α/2 - π/8).
58) (1+ sin2α)/(sinα + cosα) - (1- tan²(α/2))/(1+ tan²(α/2))= sinα.
59) (2 cos²2α + √3 sin4α -1)/(2sin²2α + √3 sin4α -1) = sin(4α +30°)/sin(4α - 30°).
60) 1- sin⁴α - cos⁴α = (1/2) sin²2α.
Simplify the following expressions:
61) {tan(180° - α) cos(180° - α) tan(90° - α)}/{sin(90°+ α) cot(90° - α) tan(90° + α).
62) {2 (sin2α + 2 cos²α -1)}/{cosα - sinα - cos3α + sin3α).
63) 3 cos²x - 4 sinx cosx - sin²x -1.
64) 4 cos(2α -3π/2) + cos(2α- π)+ sin(5π/2 - 6α).
65) (1+ sin2x)/(sinx + cosx)².
66) (tanα + sinα)/2cos²(α/2).
67) (1- cos4α)/(sec²2α -1) + (1+ cos4α)/(cosec²2α -1).
68) (sin3α + sin5α + sin7α)/(cos3α + cos5α + cos7α).
69) 4 cos⁴α - 2 cos2α - (1/2) cos4α.
70) cos 0 + cos(π/7) +cos(2π/7)+ cos(3π/7) +cos(4π/7) + cos(5π/7) +cos(6π/7).
71) {cos(2α - π/2)+ sin(3π- 4α) - cos(5π/2 + 6α)}/{4 sin(5π - 3α) cos(α - 2π)}.
72) cos2α/(cos⁴α - sin⁴α) - (cos⁴α+ sin⁴α)/(1- (1/2) sin²2α).
73) (1+ sin4α - cos4α)/(1+ cos4α + sin4α).
74) (2cos²α-1)/(4 tan(π/4 - α) sin²(π/4 +α)).
75) (cos4α +1)/(cot α - tanα).
76) (1+ cosα)/(1- cosα) . tan²(α/2) - cos²α.
77) tan(α/2 +π/4) . (1- sinα)/Cosα.
78) sin²α(1+ 1/sinα + cotα) (1- 1/sinα + cotα).
79) cos2α/{sin²2α(cot²α- tan²α).
Calculating without resorting to tables:
80) cos67° 30' and cos75°.
81) 4(cos24°+ cos48° - cos84° - cos12°).
82) (96 sin80° sin65° sin35°)/(sin20°+ sin50°+ sin110°).
83) 128 sin²20° sin²40° sin²60° sin²80.
84) tan20° tan40° tan80°.
85) (cot15°+1)/2cot15°.
86) cos10° cos50° cos70°.
87) sin160° cos110°+ sin250° cos340°+ tan110° tan340°.
88) tan9°- tan63°+ tan81° - tan27°.
89) 96 √3 sin(π/48) cos(π/48) cos(π/24) cos(π/12) cos(π/6).
90) sin(7π/2 - 2α) cos(6π/2 - α) sinα for α = 3π/16.
91) (sin110° sin250°+ cos540° cos290° cos430°)/cos²1260°.
92) Verify that equality: 1/cos290° + 1/√3sin250° = 4/√3.
93) Verify: cos (π/7) cos (4π/7) cos (5π/7) = 1/8.
94) Verify: cos20° + 2 sin²55° = 1+ √2 sin65°.
95) Calculate (sin4α + 2 sin2α) cosα, if sinα = 1/4.
96) Given: 20 sin²α + 21 cosα - 24 =0, 7π/4<α< 2π. Find cot(α/2).
97) 5/(6+ 7 sin2α) if tanα = 0.2.
98) sin2α if sin(α/2)+ cos(α/2)= -1/2 and α belongs to the fourth quarter.
99) tan(π/4 - 2α) if tanα = a.
100) tan(α- π/4) if cosα = -9/41, π<α< 3π/2.
101) cos(α/2) if sinα= -12/13, π< α< 3π/2.
102) sin(α/2) if sinα = -5/13 and π<α< 3π/2.
103) sin(α/2) if sinα = 0.8 and 0< α< π/2.
104) sinα/(sin³α+ 3 cos³α) if tanα = 2.
105) sin⁶α+ cos⁶α if sinα + cosα = m.
Transform the following expressions into a product
106) secα - cosα + sec60° cos2α sin3α - sin5α.
107) sinα+ sin60 + sin(α+60).
108) sin(5α+β)+ sin(3α+β)+ sin2α.
109) sin(5α/2) cos(α/2) - sin3α cos(π/3) - 1/4.
110) 4 cos11α+ (sin8α - sin10α- sin12α+ sin14α) cosecα cosec2α.
111) tan²α - tan²β - (1/2) sin(α- β) sec²α sec²β.
112) (tanα + tanβ)/(cotα + cotβ) + [cos(α-β) sec(α+ β) +1]⁻¹.
INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
⁻¹
TRIGONOMETRIC EQUATIONS, INEQUALITIES AND SYSTEM OF EQUATIONS
Solve the following equations:
1) 2 cosx cos2x = cosx. π/2+ πn, ± π/6+πk, (n, ∈ Z.
2) 3 cos²x - 10 cosx +3=0. ± arccos(1/3)+2πn (n∈ Z)
3) cos3x + sin3x = 0. -π/12+ πn/3 (n ∈ Z).
4) 6 sin²x - sinx cosx - cos²x = 3. -π/4+ πn, 4/4+ πk (n, k ∈Z)
5) sinx + cosx =√2. π/4+ 2πn (n ∈Z)
6) (√3/2) cosx + (1/2) sinx =1. π/6+ 2πn (n ∈Z)
7) cos3x + sin2x - sin4x =0. π/6 + πn/3. (n ∈Z)
8) sin5x cos3x = sin6x cos2x. π/6+πk/3 (n, k ∈Z)
9) sin²x + sin²2x = 1. π/6 + πn/3. (n ∈Z)
10) cosx - 2 sin²(x/2)= 0. ±π/3 + 2πn. (n ∈Z)
11) sinx = √2 cosx. π/2 + πn, (-1)ᵏ(π/4)+ πk. (n, k∈Z)
12) 2 sin(x/2) cos½x - 2 sin(x/2) sin²x = cos²x - sin²x. π/4 + πn/2, (-1)ᵏ(π/3)+ 2πk. (n, k∈Z).
13) sinx + cosx = 1+ sinx cosx. π/2 + 2πn, 2πn, n ∈Z
14) 3 cosx + 4 sinx = 5. 2 arctan(1/2)+ 2πn, (n ∈Z)
15) sin⁴2x + cos⁴2x = sin2x cos2x. π/8 + πn/2 (n ∈Z)
16) √(1- cosx)= sinx , x∈[π,3πZ]. 2π, 5π/2
17) (cos(x/4) - 2 sinx) sinx + (1+ sin(x/4) - 2 cosx) cosx = 0. 2π + 8πm, m∈Z
18) {since cos y= 1/4
3 tanx = tany
Solve the following equations:
1) sinx = 1/2.
2) sinx = -1/3.
3) sinx= 0.
4) sinx = 1.
5) cosx= 1/2.
6) cosx= -1.
7) cosx =0.
8) tanx =√3.
9) cotx = -1.
10) sinx=√3/2.
11) sinx =-√3/2.
12) sinx = -1/2.
13) cosx=1.
14) cos2x = 1.
15) cosx=√3.
16) tanx = - 1.
17) tan(x -1)= 7.
18) tan(2x +3)= √3.
19) cot(π/4 - x/3)=√3/3.
20) sin(3x -2)= -1.
21) √2 cos²7x - cos7x = 0.
22) 2 sinx + tanx =0.
23) (2sinx - cosx)(1+ cosx)= sin²x.
24) 4 cos³x - 4 cos²x - cos(π + x)- 1= 0.
25) 1+ sinx cos2x = sinx + cos2x.
26) tan³x - 1+ 1/cos²x - 3 cot(π/2 - x)= 3.
27) tan2x sinx + √3(sinx - √3 tan2x)= 3√3.
28) sin⁴x = 1- cos⁴x.
29) √3 sinx - tanx + tanx sinx - √3= 0.
30) cos2x + 3 sinx = 2.
31) cosx + secx = 2.
32) 1+ cosx + cos2x = 0.
33) 6 cos²x + 5 sinx - 7=0.
34) cosx + 2 cos2x = 1.
35) 2 cos²x + 4 cosx = 3 sin²x.
36) 4 sin⁴x + 12 cos²x = 7.
37) 5 tan⁴x - sec⁴x = 29.
38) cos4x + 2 cos²x = 0.
39) sin⁴x + cos⁴x = cos4x.
40) sinx + cosx = 0.
41) cos²x - 3 sinx cosx = sin(3x/2).
42) ²²²²²²²²²²²⁴⁴⁴⁴⁴⁴²²²²²²²²²²²²²²²²²²⁴⁴²²²²²²³³³⁴⁴³³²²²²²²²²²²²⁴⁴²²²²²²⁴⁴⁴²²²²²³²²⁶⁶²⁴²²²²²⁴²²²²⁴²²²²²⁶⁶²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²³²²²³³²²²²³ᶜᵒᵗ³ˣ⁺ ˣᶜᵒᵗˣ²²²¹²²⁶⁶³²²⁴⁴²²³³²²²²²⁶²²²²⁴²²²²₁₂²³²²₂²²²²²³²²²²²²²²²²³³²⁴⁴³⁴²²²
∈
₁₂₅₃₂₉ₙ²ₙₙ²²⁴⁶²ˣ⁻²⁸₁₂₃₁₃₂₃₇₁₂₇₃₆₁₂¹⁺ˣ¹⁻ˣˣ⁻ˣₙⁿₙ₄₆₂₅₁²²²²₁₂₃₂₃²²₁₁₁²₁ⁿ⁻¹₁²³lim ₓ→₀²₂ˣ₄¹⁻ˣ₀₂₅
⁴³³²⁰ⁿⁿⁿⁿ³³⁴ⁿ²ⁿ³ⁿ³ᵐ⁺¹³ᵏ⁺¹²²²²²²₁₂²₁₂²₁²₂²₁₂₁₂₁₂₁₂ₙ₁₂ₙ₁₂₁₂₁₂ₙ₁₂ₙⁿⁿ₁₂₁₂ₙₙⁿₙ₋₁ⁿ⁻¹₁₀ₙₙⁿₙ₋₁ⁿ⁻¹₁₀ₙₙ₋₁₁₀ₙₙ
αα
∈
²²²²²ⁿ⁻¹ₙ₋₁²²²²²²ⁿ⁻¹ⁿ²ⁿⁿⁿ²²³⁶² ⁴³²² ³⁵²⁵²²²²²²²²²²³³⁴²³⁴⁵³⁵ᵐⁿ²ⁿ²²³³⁴³²³²⁻¹²⁻¹²³⁻¹⁴³⁻¹³³⁻¹⁻¹²²²³²²²²²³⁵²²²ˣ₀∫
lim ₙ→∞ lim ₓ→∞ ₁ ₋₂ ₀ ₋₃ ₋₁ ₆ ₅₄₋₈₉₁₆₉
MATHEMATICAL INDUCTION
1) Show that for x > -1 the inequality (1+ x)ⁿ ≥ 1+ nx.
2) Show that the Inequality 2ⁿ> 2n +1.
3) Show that
a) n³+ 3n²+ 5n + 3 is divisible by 3 for any natural n.
b) 4ⁿ + 15n -1 is a multiple of 9 for any natural n.
c) 2ⁿ > n² for any natural n ≥ 5.
d) n³- n is divisible by 24 for any odd n.
e) 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 + ....+ 1/√n > √n for an arbitrary natural n ≥ 2.
f) (1- 4/1) (1- 4/9) (1- 4/25) ....(1- 4/(2n -1)²)= (1+ 2n)/(1- 2n) Holds true for any natural n.
g) 1/(n +1) + 1/(n +2) + ....+ 1/(n + n)> 13/24 holds true for any natural n > 1.
h) |sin mα|≤ | sinα| for any natural m and any α ∈ R.
i) 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ is divisible by 133 for any integeral non-negative n.
i) (2n)!/(n!)²> 4n/(n +1) for any natural n> 1.
COMBINATORICS
Pₙ = 1.2.3......n or n!
Aⁿₘ = n/(n - m)!
Aⁿₘ = n(n -1)......(n - m +1).
Aⁿₘ = Cⁿₘ . Oⁿₘ or Cⁿₘ = n!/{m!(n - m)!}
Cⁿₘ = {n(n -1)(n -2)....(n - m +1)}/(1.2...m).
Cⁿₘ = Cⁿₙ₋ₘ
By INDUCTION
Cⁿ₀ + Cⁿ₁ + Cⁿ₂ + ....+ Cⁿₙ = 2ⁿ.
Cⁿₘ + Cⁿₘ₊₁ = Cⁿ₀ⁿ⁺¹ₘ₊₁
1) C²ˣₓ₊₁/C²ˣ⁺¹ₓ₋₁ = 2/3, x∈ N.
2) Aˣ⁻¹₂ - Cˣ₁ = 79; x ∈ N.
3) 3Cˣ⁺¹₂ = 2Aˣ₂ = x, x ∈ N.
4) Cˣ⁺¹₂/Cˣ₃ = 4/5, x ∈ N..
5) 12Cˣ₁ + Cˣ⁺⁴₂ = 162, x ∈ N..
6) Aˣ⁺¹₃ + Cˣ⁺¹ₓ₋₁ = 14(x +1), x ∈ N..
7) Aˣ₃ + Cˣₓ₋₂ = 14x, x ∈ N.
8) Cˣ⁺¹ₓ₋₄ = (7/15) Aˣ⁺¹₃, x ∈ N.
9) Cˣ⁺¹₃ : Cˣ₄ = 6:5, x ∈ N.
10) C ˣ⁺¹₂ . Aˣ₂ - 4x³ = (A¹₂ₓ)², x ∈ N.
11) 3Cˣ⁺¹₂ + P₂ . x = 4 A²ₓ, x ∈ N.
12) Cⁿ⁺¹ₘ₊₁ : Cⁿ⁺¹ₘ : Cⁿ⁺¹ₘ ₋₁ = 5:5:3.
13) Pₓ₊₃/(Aˣ₅. Pₓ₋₅)= 720, x ∈ N.
14) Aˣ⁺³₂ = Cˣ⁺²₃ + 20, x ∈ N.
15) Cˣ₃ + Cˣ₄ = 11. Cˣ⁺¹₂, x ∈ N.
16) 11Cˣ₃ = 24Cˣ⁺¹₂.
17) Simplify the expression
Cⁿ₀ + 2Cⁿ₁ + 3Cⁿ₂ + ....+ (n +1) Cⁿₙ, n ∈ N.
Eliminating Cⁿₖ (k= 0,1,.....n).
18) Solve the following Inequalities
a) C¹³ₘ < C¹³ₘ₊₂, m ∈ N.
b) C¹⁸ₘ₋₂ > C¹⁸ₘ, m∈ N.
c) Cⁿ₆ < Cⁿ₄, n∈ N.
d) 5Cⁿ₃ < Cⁿ⁺²₄. n∈ N.
e) Cˣ⁻¹₄ - Cˣ⁻¹₃ - (5/4) Aˣ⁻²₂ < 0, x∈ N.
f) Cˣ⁺¹ₓ₋₁ > 3/2, x∈ N.
g) Xˣ⁺¹ₓ₋₁ < 21, x∈ N.
h) 2Cⁿ₅ > 11Cⁿ⁻²₃, n ∈ N.
i) Cⁿ⁺¹ₙ₋₂ - Cⁿ⁺¹ₙ₋₁ ≤ 100. n∈ N.
j) Aⁿ⁺¹₄/Cⁿ⁻¹ₙ₋₃ = 14P₃, n∈ N.
k) How many negative terms are there in the sequence (xₙ), where xₙ = Xⁿ⁺⁵₄ - (143/96) . Pₙ₊₅/Pₙ₊₃, n∈ N.
l) How many positive terms are there in the sequence (xₙ) if xₙ= 195/4Pₙ. - Aⁿ⁺³₃/Pₙ₊₁, n∈ N.
m) Find the negative terms of the sequence xₙ = Aⁿ⁺⁴₄ - 143/4Pₙ, x ∈ N.
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