LIMITS - XI

Type-1)

1) lim ₓ→₀ (7x²-5x+1).                   1

2) limₓ→₀ (2x³+3x+4)/(x²+3x+2). 2

3) limₓ→₃√(2x+3)/(x+3).             1/2

4) limₓ→₁ √(x+8)/√x.                     3 

5) lim ₓ→₁(x²+1)/(x+1).                 1

6) lim ₓ→ₐ (√a+√x)/(a+x).        1/√a

7) limₓ→₁{1+(x-1)²}/(1+x²).         1/2

8) lim ₓ→₂ (3x²-x+1)/(x-1).            11

9) limₓ→₁ (4-x).                               3

10) lim ₓ→₀(ax²+b)/(cx+d).     b/d 

11) limₓ→_₁(x³ - 3x +1)/(x-1)       -3/2

12) limₓ→₀ (3x+1)/(x+3).          1/3

Type: 2.                                                  *******

1) lim ₓ→₁ (x²-1)/(x-1).                   2

2) limₓ→₋₅ (2x²+9x-5)/(x+5).       -11

3) limₓ→₃(x²-4x+3)/(x²-2x-3).     1/2

4) limₓ→₄ (x²-16)/(√x -2).          32

5) limₓ→₀ {(a+x)³-a³}/x.              3a²

6) lim ₓ→₁(x-1)/(2x²-7x+5).         -1/3

7) lim ₓ→₁ (x²-√x)/(√x-1).               3

8) limₓ→₃(x²-9)/{1/(x-3)+1/(x+3)}. 6

9) limₓ→₁ (x-1)/(2x²-7x+5).       -1/3

10) limₓ→₃ (x²-7x+12)/(x²-9).    -1/6

11) limₓ→₂ (7x²-11x-6)/(3x²-x-10).  17/11

12) limₓ→₂ (x³-8)/(x-2).                  12

13) limₓ→_₁(2x²+5x+3)/(x³+1).  1/3

14) limₓ→₂ x²(x²-4)/(x-2).             16

15) limₓ→₂{(x⁸-16)/(x⁴-4)+(x²-9)/(x-3)}.                                                 25

16) limₓ→₂ (x-2)/(√x -√2).      2√2

17) limₓ→₀ {(1+x)²-(1-x)²}/2x.      2

18) limₓ→₁ (x²+5x-6)/(x²-3x+2).   -7

19) lim ₓ→₁/₂{(8x-3)/(2x-1) - (4x²+1)/(4x²-1)}.                           7/2

20) limₓ→₃(x²+x-12)/(x-3).           7

21) limₓ→₁(x²+4x-5)/(x-1).           6

22) limₓ→₀ {(1+x)²-1}/x.              2

23) limₓ→₂(x²-5x+6)/(x²-3x+2).  -1

24) limₓ→₂(x²+x-6)/(x²-x-2).        5/3

25) limₓ→₂(x²-5x+6)/(x²-7x+10)  1/3

26) limₓ→₃(x²+2x-15)/(x²-2x-3).   2

27) limₓ→₁(x³-1)/(x²-1).              3/2

28) limₓ→₂{1/(x-2) - 1/(x²-3x+2)}.  1

29) limₓ→₁(x²-3x+2)/(x³-4x+3).      1

30) limₓ→₀{(4+3x)³-8x²}/{4(4-x)²}.1

31) limₓ→₂(2x²-3x+7)/(x³+5x+1) 9/19

32) limₓ→_₁(2x²+5x+3)/(x³+1).  1/3

33) limₓ→₁(2x⁴-3x+1)/(x³-5x²+4x).  -5/3

34) limₓ→₃(x³-8x²+45))(2x²-3x-9). -7/3

35) limₓ→₃(x³-6x-9)/(x⁴-81).     7/36

36) limₓ→√₂ (x⁴-4)/(x²+3x√2-8). 8/5

37) limₓ→₁(x⁴-3x³+2)/(x³-5x²+3x+1) 5/4

38) limₓ→₁{(2x-3)(√x -1)}/(2x²+x-3) -1/10

39) limₓ→₃(x²-9){1/(x+3) + 1/(x-3)} 6

40) limₓ→₂(x³-6x²+11x-6)/(x²-6x+8)  1/2

41) limₓ→₁/₂ (8x³-1)/(16x⁴-1)   3/4

42)limₓ→₄(x²-x-12)¹⁸/(x³-8x²+16x)⁹                     7¹⁸/4⁹

43) limₓ→₁{1/(x²+x-2) - x/(x³-1)}. -1/9

44) limₓ_₃(x³-7x²+15x-9)/ (x⁴-5x³+27x-27)             2/9

45) limₓ→√₂. (x⁹- 3x⁸+ x⁶- 9x⁴- 4x²- 16x+84)/(x⁵-3x⁴-4x+12).            (8√2-31)/(√2-3)

46) limₓ→₃ (x⁴- 81)/(x²-9).           18

47) limₓ→₃(x²-x-6)/(x³-3x²+x-3).  1/2

48)  limₓ→₋₂  (x³+x²+4x+12)/ (x³-3x+2).                   4/3

49) limₓ→₁(x³+3x²-6x+2)/ (x³+3x³-3x-1).                1/2

50) limₓ→₁(x⁴-3x³+2)/(x³-5x²+3x+1)  5/4

51) limₓ→₂ (x³+3x²-8x-2)/(x³-x-6).  15/11

52) limₓ→₂  (x⁴ -16)/(x-2).          32

53) limₓ→₁{(x-2)/(x²-x) - 1/(x³ -3x²+2x)}.             2

54) limₓ→₂ {1/(x-2) - 2(2x-3)/(x³- 3x² +2x)}.              -1/2

55) lim ₕ→₀  {f(1+h)-f(1)}/h, when f(x)= 1/x.                        -1

Continue.........

Type: 3.                                                  ------------

1) limₙ→₀{√(x+n) -√(x)}/n.     1/2√x

2)limₓ→₀ {√(1+x) - √(1+x²)}/x.   1/2

3) ltₓ→₀{√(1+x) -√(1+x²}/{√(1-x²)-√(1-x)}.           1

4) limₓ→ₐ{√(a+2x)-√(3x)}/ {√(3a+x) -2√(x)}, a≠ 0.                2/3√3

5) limₙ→₀ 1/n{1/√(x+n) - 1/√(x)}. -1/(2x√x)

6) limₓ→₀ {√(1+x) - 1}/x.            1/2

7) limₓ→ₐ{√(x) - √(a)}/(x-a).    1/2√a

8) limₓ→₄ {3 -√(5+x)}/(x-4).      -1/6

9) limₓ→₀{√(x+2) - √(2)}/x.      1/2√2

10) limₓ→₀ x/{√(1-x)- 1}.               2

11) limₓ→₀ {√(1+x) -√(1-x)}/2x.   1/2

12) 

13) limₓ→₀ {√(1+x+x²) -1 }/x.      1/2

14) limₓ→₀{√(1-x³) -√(1+x³)}/x².     0

15) limₓ→₄ {3-√(5+x)}/{3-√(5-x). 1/3

16) limₓ→₃{3-√(6+x)}/{√3 -√(6-x). -1/√3

17) limₓ→₀{√(1+x) -√(1+x²)}/{√(1-x²) - √(1-x)}.               1

18) limₓ→₂(x²-4)/{√(3x-2)-√(x+2)}. 8

19) limₓ→₃{√(3x+7)-√(7x-5)}/{√(5x-6) - √(2x+3)}.           - 1

20) limₓ→₁{√(x+8)-√(8x+1)}/{√(5-x)- √(7x-3)}.              7/12

21) limₓ→₁ {³√(x+7)- ³√(7x+1)}/(x-1)            1 - ³√7

22) limₓ→₂{2-√(2+x)}/{³√2- ³√(4-x)}  - 3/³√16

23) limₓ→₀  x/{√(a+x)-√(a-x)}.    √a

24) limₓ→₄ (x²-16)/{√(x²+9) -5}  10 

25) limₓ→ₐ{√(a+2x)-√(3x)}/{√(3a+x)- 2√x}            2/3√3

26) limₓ→₁{(2x-3)(√x -1)}/(2x²+x-3)  -1/10

27) limₓ→√₁₀  {√(7-2x)-(√5-√2)}/(x²-10).         (√5+√2)/6√10

28) limₓ→₂  {√(x²+1)-√5}/(x-2)   2/√5

29)  limₓ→₂ (2-√x)/(4-x).           1/4

30) limₓ→ₐ (x-a)/(√x - √a).      2√a

31) limₓ→₂  (x-2)/(√x-√2).        2√2

32) limₓ→₃ {√(x-3)+√x -√3}/√(x² -9)  -1

Continue.......

Type : 4

1) limₓ→₂(x¹⁰ - 1024)/(x-2).    5120

2) limₓ→₁ (xᵐ -1)/(x-1)                m 

3) limₓ→₃ (x⁵-243)/(x²-9).       135/2 

4)limₓ→ₐ(x⁵-a⁵)/(x³-a³).            5a²/3

5) limₓ→₅  (x⁴-625)/(x³-125).   20/3

6) limₓ→₂ (x¹⁰ -1024)/(x⁵ -32).   64

7) limₓ→₉ (x³/² -27)/(x-9).          9/2 

8) limₓ→ₐ(x³/⁵-a³/⁵)/(x¹/³-a¹/³).   9/

a⁴/¹⁵/5

10) limₓ→₁(xᵐ -1)/(xⁿ -1)         m/n

11) limₓ→ₐ (x√x- a√a)/(x-a)    3√a/2

12) limₓ→₂ (x⁷-2⁷)/(x³-2³).      112/3

13) limₓ→₀ {(1+x)ⁿ -1}/x.           - n 

14)limₓ→¹ {(1+x)⁶ -1}/{(1+x)² -1}.  3

15) lim ₓ→ₐ(x²⁾⁷- a²⁾⁷)/(x-a)   2/7a⁵⁾⁷

16) lim ₓ→₋₁/₂  (8x³+1)/(2x+1).     3

17) limₓ→ₐ{(x+2)⁵/² -(a+2)⁵/²}/(x-a)       5/2 √(a+2)³

18) lim ₓ→₂ (x-2)/(³√x - ³√2).  3(2²⁾³)

19) If lim ₓ→₂ (xⁿ - 2ⁿ)/(x-2)= 80 and n∈ ℕ find n                                    5

20) If lim ₓ→₁(x⁴-1)/((x-1)= lim ₓ→k (x³ - k³)/(x² - k²). Find k              8/3

21) If limₓ→_ₐ (x⁹+a⁹)/(x+a) = 9, then find the value of a.                ±1

22) limₓ→³ (xⁿ-3ⁿ)/(x-3) =108 and if  n is positive integer find n.             4 

Continue........

Type : 5

1)lim→₀ (e⁻ˣ -1)/x.                       -1

2) limₓ→₀ (eᵃˣ-1)/ax.                    1

3) limₓ→₀ (eᵃˣ-1)/mx.               a/m 

4) limₓ→₀ (e⁵ˣ -1)/3x.                 5/3

5) limₓ→₀ (eᵃˣ - eᵇˣ)/x.               a-b

6) limₓ→₀ (e⁷ˣ - e³ˣ -e⁴ˣ +1)/x².    12
                            
7) limₙ→₀{ ₑ(x+n)²   - ₑx²)}/n.      2x

8) lim ₓ→⁰ (eˣ- e)/(x-1).                  e 

9) limₓ→₀ (ₑlog x ₋ ₁)/ₑˣ⁻¹ ₋ ₁)        1

10) lim ₓ→₀ (eˣ - e²)/(x-2).            e²

11) limₓ→₀ (e⁷ˣ - 1)/9x                 7/9

12) lim ₓ→₀ (eˣ - e⁻ˣ)/x.                   2

13) limₓ→₀ (e¹⁵ˣ - e⁷ˣ)/x.                8

14) limₓ→₀ (e⁷ˣ + e⁵ˣ -2)/x.          12 

Type : 6

1) limₓ→₀ (3⁵ˣ - 1)/x.            5 log 3

2) limₓ→₀ (2³ˣ -1)/x.             3 log 2

3) limₓ→₀ (2ᵃˣ - 3 ᵇˣ)/x.   alog 2-b log 3

4) limₓ→₀ (12ˣ -3ˣ- 4ˣ +1)/x²  log 3. Log 4

5) limₓ→₀(aˣ - bˣ)/x.         log(a/b)

6) limₓ→₀ (10ˣ -2ˣ- 5ˣ +1)/x².   log 5. log 2

Continue......

Type : 7

1) lim ₓ→₀ {log(1+7x)}/x.               7

2) limₓ→₁ (log x)/(x-1).                   1

3) limₓ→₀ {log(6+x)- log(6)}/x.   1/6

4) limₓ→₂ {log(x) - log(2)}/(x-2).  1/2

5) limₓ→ₑ (logx  -1)/(x-e).           1/e

6) limₓ→₁(x²- x log x+ log x -1)/(x-1)   6

7) limₓ→₀ x{log(x+a) - log x}.       a 

8) limₓ→⁰ x{log(x+5) - log x}.       5 

9) limₓ→₄  (x⁷/²- 4⁷/²)/{ log(x-3)} 112

Continue.......

Type: 8

1) limₓ→∞ (4x-3)/(2x+7).            2

2) limₓ→∞(3x²+2x-5)/(x²+5x+1).  3

3) limₓ→∞ (x³+6x²+1)/(x⁴+3).      0

4) limₓ→∞(3x³+x²-1)/(x²-x+7).    ∞

5) limₓ→∞ (5x-6)/√(4x²+9).     5/2

6) limₓ→∞{√(3x²-1)-√(2x²-1)}/ (4x+3).                          (√3-√2)/4

7) limₓ→∞{√x √(x+c) -√x).        c/2

8) limₓ→∞{√(x²+x+1) - √(x²+1)}.   1/2

9) limₓ→∞{(x+1)(2x+3)}/{(x+2)(3x+4)}.             2/3

10) limₓ→∞ {x - √(x² - x)}.        1/2

11) limₓ→∞{√(x²+5x+4)- √(x²-3x+4)}.                                   4

12) limₓ→∞ 2x{√(x²+1)-x}.           1

13)  limₓ→∞{√(x²+1)-³√(x²-1)}/{ ⁴√(x⁴+1)- ⁵√(x⁴+1)}.                        1

14) limₓ→∞(5x³-3x+1)/(7x³+2x²-2). 5/7

15) limₓ→_∞(5-6x²)/(1++2x-3x²)  2

16) limₓ→∞(x√x+√x -1)/(5√x+1)  ∞

17) limₓ→∞ {(x+1)(2x+1)(3x+1)}/ {(x²+1)(5x-3)}.                             6/5

18) limₓ→∞{1²+2²+...+x²}/{(x-2)(x+3)(x-4)}.                             1/3

19) limₓ→∞{1+ 1/2 + 1/2²+.... to n terms}.                                         2

20) limₓ→∞{1+3+5+... to n terms}/(n² -1).                               1

21) limₓ→∞{2+5+8... to(2n+1)}/{1+2+3+.... to n terms}      12

22) limₓ→∞(1.2+2.3+3.4+...to n terms)/{(3-n)(n+1)(n+2).          -1/3

23) limₓ→∞{√(x²-2x+1) - √(x²-5x-3)}.              3/2

24) limₓ→∞ [³√x²{³√(x+1)- ³√x}]   1/3

25) limₓ→∞{(2x-1)³(x²+1)}²/{(x³-2x+1)(3x+1)}.                   8/3

26) limₓ→∞{(2x³-x+1)²(x²-1)³}/ {(3x+1)⁴(2x⁴-3x+1)²}.               1/81

27) limₙ→∞ (1+3+....+n)/n².   Or limₙ→∞ ∑n/n²                          1/2

28) limₙ→∞ ∑n³/n⁴                      1/4

Type: 9

1) lim ₓ→₀ sinx/x                           1

2) lim ₓ→₀ sinxº/x.                π/180 

3) lim ₓ→₀ (Sin px)/(sin qx)        p/q

4)  lim ₓ→₀ (1-cosx)/2x².             1/4

5) lim ₓ→₀ (1- cos2x)/3tan²x.     2/3

6) lim ₓ→₀(1- cos4x)/(1-cos2x).  4

7) limₓ→₀ (tanx - sin x)/x³.           1/2

8) limₓ₋₀ x tanx/(1-cos2x).           1/2

9) limₓ₋₀ (sin3x + 7x)/(4x +sin2x). 5/3

10)limₓ₋₀(sin4x+sin3x)/ (sin5x- sin4x).                                               7

11) limₓ₋₀{cos(a-x)-cos(a+x)}/x.       2sin a

12) limₓ₋₀(1-√cosx)/x².                1/4

13) limₓ₋₀sinlog(1+x)/log(1+sinx)  1

14) limₓ₋₀{(sin4x)/x}³.                64

15) limₓ₋₀ tan 4x . cosec2x.        2

16) limₓ₋₀xsinx/(1-cos2x).         1/2

17) limₓ₋₀x(sin2x - cos2x)/sin³x. 5/2

18) limₓ₋₀(cosax - cosbx)/x².  1/2(b²-a²)

19) limₓ₋₀(1-cosx)/sin²x.             1/2

20) limₓ₋₀ x(cos2x + cosx)/sin x    2

21) limₓ₋₀ (xsina - a sinx)/(x-a)    sin a - a cos a

22)limₓ₋₀ (cos5x-cos3x)/(cos3x - cosx).                              2

23) limₓ₋₀{√(1+sinx)-√(1-sinx)}/x    1

24) limₓ₋₀{cos(x+h)-cosx}/x.    - sinx

25) limₓ₋₀{tan(x+h)-tanx}/h     sec²x

26) limₓ₋₀sin(x/2)/x.                     1/2

27) limₓ₋₀ sin²x/x².                         1

28) limₓ₋₀sin(x²)/x

29) limₓ₋₀ sin3x/tan 5x.              3/5

30) limₓ₋₀ x sin(1/x).                     0

31) limₓ₋₀ {x² cos(1/x)}/sinx

32) limₓ₋₀ (1- cos²x)/{x(1+cosx)}

33) limₓ₋₀ (sinx - sina)/(x-a)

34) limₓ₋₀(sin2x-2sinx)/x

35) limₓ₋₀(3sinx -sin3x)/x³

36) limₓ₋₀ (1-cos2x)/cos²x

37) limₓ₋₀ {1-cos√(cos2x)}/x².   1/2

38) limₓ₋₀ x cot 2x. 

39) limₓ₋₀ sin²x/2x

40) limₓ₋₀ (1-cosx)/sin³x

41) limₓ₋₀(cosec²x -2)/(cotx -1)

42) limₓ₋₀ (1-cosx)/x²

43) limₓ₋₀(tan2x - sin2x)/x³

44) limₓ₋₀ x³cotx/(1-cosx)

45) limₓ₋₀(cotx - cosecx)/x

46) limₓ₋₀(sin5x - sin3x)/sinx

47) limₓ₋₀ (cos5x- cos3x)/x²

48) limₓ₋₀ (tan3x -x)/(5x - sinx)

49) limₓ₋₀ (x²- tan2x)/tanx

50)limₓ₋₀(5xcosx-3sinx)/ (2x²+tan2x)

51) limₓ₋₀(1-co2x+tan²x)/(xsin²x)

52) limₓ₋₀(sinax+bx)/(ax+sinbx)

53) limₓ₋₀(1-cosnx)/(1-cosnx)

54) limₓ₋π  sinx/(π-x)

55) limₓ₋π  sin(π-x)/π(π-x)

56) limₓ₋π/₂ (π/2 - x)tan x

57) limₓ₋π/₂ cotx/(π/2 -x)

58) limₓ₋π  sin3x/sinx

59) limₓ₋π/₂(1+cos2x)/(π-2x)²

60) limₓ₋π/₄  (cosx -sinx)/(x-π/4).   - √2

61) limₓ₋π/₂  (1-sinx)/(π/2 -x)

62) limₓ₋π/₆ (2-√3 cosx -sinx)/(6x-π)²

63) limₓ₋π   cosx/(2x -π).            -1/2

64)limₓ₋π/₃(tan²x-3tanx)/ cos(x+π/6)

65) limₓ₋π/₆(√3 sinx - cosx)/(x-π/6)

66) limₓ₋₁ (cosπx/2)/(1-x)

67) limₓ₋₁ (1-x) tan(πx/2).          2/π

68) limₓ₋π/₂ (secx - tanx)

69) limₓ₋π/₂(cos3x+3cosx)/(π/2 -x)³

70) limₓ₋π (sin3x -3sinx)/(π -x)³

71) limₓ₋π (1+cos³x)/sin²x.      3/2

72) limₓ₋π/₄(2- cosec²x)/(1 - cotx)

73) limₓ₋₀ x cos(1/x)

74) limₓ₋ᵥ  (x-v) sin {1/(x+v)}

75) limₓ₋π/₄  (sin³x - cos³x)/(x- π/4)

76) limₓ₋π/₂{√(2-sinx) -1}/(π/2 -x)²

77) limₓ₋π/₂ (2x -π)/cosx

78) limₓ₋π/₄ (1-tanx)/(1 - cotx)

79) limₓ₋₂  (tanπx)/(x+2)

80) limₓ₋π  (1+sec²x)/tan²x

81) limₓ₋ₐ  (sinx - sina)/(√x - √a)

82) limₓ₋π/₂ {√2 - √(1+sinx)}/cos²x

83) limₓ₋π/₄ (1- tanx)/(1- √2 sinx)

84) limₓ₋₀ {√2 - √(1+cosx)}/sin²x

85)limₓ₋π/₄{√2-cosx -sinx)}/(4x -π)²

86) limₓ₋₀ {(1+x)⁶-1}/{(1+x)⁵ -1}

87) limₓ₋ₐ {(x+2)⁵/³ -(a+2)⁵/³}/(x-a)

88) limₓ₋₀ {√(2x) -2}/(x-2).            1

MIXED PROBLEMS

1) limₓ₋₂ (x²-x-2)/{(x²-2x)+sin(x-2)}

2) limₓ₋₀ {tan log(1+x)}/x

3) limₓ₋₀  (eˣ +sinx -1)/log(1+x)

4) limₓ₋₀ log(cosx)/sin²x

5) limₓ₋₀  (aˣ - bˣ)/sinx

6) limₓ₋₀ (1- e⁻ˣ)/sinx

7) limₓ₋₀ {log(1+ax)}/ sin bx

8) limₓ₋₀ {⁵√(x+a) -⁵√(x)}/a

9) limₓ₋∞ √{(x -sinx)/(x+cos²x)}.   1

10) limₓ₋π/₄{4√2-(cosx+sinx)⁵}/(1-sin2x)                                             5√2

11) limₓ₋₀ (eˢⁱⁿˣ - 1)/x.                   1

12) limₓ₋₀  sin(x²+4x)/(x³-5x²+2x).  2

13) limₓ₋₀ sinlog(1+x)/log(1+sinx)

14) limᵥ₋₀{(x+v)sec(x+v) - xsecx}/v

15) limₓ₋₀ (10ˣ - 5ˣ - 2ˣ+1)/(xsinx)

16) limₓ₋₀ (15ˣ- 3ˣ - 5ˣ+1)/(xsinx)