EXERCISE - A
A) Prove by property :
1) 13 33 55
11 31 53 = 0
16 36 58
2) 7 3 4
5 2 3 =0
4 3 1
3) 19 25 26
20 25 27 = 0
21 25 28
4) 91 92 93
94 95 96 = 0
97 98 99
5) 265 240 219
240 225 198 = 0
219 198 181
) 43 1 6
35 7 4 = 0
17 3 2
6) a - b b - c c - a
b - c c - a a - b = 0
c - a a - b b - c
7) x+1 x+2 x+a
x+2 x+3 x+b = 0
x+3 x+4 x+c
Where a, b, c are in A. P
8) 0 x - y x - z
y - x 0 y - z = 0
z - x z - y 0
9) 1 x y+z
1 y z+x = 0
1 z x+y
10) 1 bc a(b+c)
1 ca b(c+a) = 0
1 ab c(a+b)
11) x+a x+b x+c
y+a y+b y+c = 0
z+a z+b z+c
12) a+2b a+4b a+6b
a+3b a+5b a+7b = 0
a+5b a+7b a+9b
13) 0 (a - b)³ (a - c)³
(b -a)³ 0 (b - c)³ = 0
(c - a)³ (c - b)³ 0
14) z 0 y
0 - z x = 0
- x - y 0
15) b² - ab b- c bc - ca
ab - a² a - b b² - ab = 0
bc - ac c- a ab - a²
16) 1 bc a(b+c)
1 ca b(c+a) = 0
1 ab c(a+b)
17) 1 bc bc(b+c)
1 ca ca(c+a) = 0
1 ab ab(a+b)
18) b²c² bc b+c
c²a² ca c+a = 0
a²b² ab a+b
19) a) If x+y+z= 0 then show that
x y z
x² y² z² = 0
y+z z+x x+y
b) 1 1 1
x y z =0
x³ y³ z³
20) 1 a a²- bc
1 b b²- ca = 0
1 c c²- ab
21) cosA sinA sin(A+D)
cosB sinB sin(B+D) = 0
cosC sinC sin(C+D)
22) y+x y-x y-x
y-x y+x y-x =0
y-x y-x y+x
EXERCISE - B
1) 13 3 23
30 7 53 =1
39 9 70
2) 1² 2² 3²
2² 3² 4² = - 8
3² 4² 5²
3) 1! 2! 3!
2! 3! 4! = 24
3! 4! 5!
4) 2 3 - 4
1 3 - 1 = 51
3 1 4
5) 1 374 1893
1 372 1892 = 1
1 371 1891
6) 3 21 4
15 292 14
16 193 17 = 241
38 398 38
EXERCISE - C
1) 1 1 1
1 1+x 1 = xy
1 1 1+y
2) 3x+y 2x x
4x+3y 3x 3x = x³
5x+6y 4x 6x
3) - x² xy xz
xy - y² yz = (2xyz)²
xz yz - z²
4) a+b a a
5a+4b 4a 2a = a³
10a+8b 8a 3a
5) a+d a+d+k a+d+c
c c+b c = abcEXERCISE - D
1) 1 + a b c
a 1 + b c = 1+a+b+c
a b 1 +c
2) a b 0
0 a b = a³+b³
b 0 a
3) b+c a+b a
c+a b+c b = a³+b³+c³
a+b c+a c
4) a² 2ab b²
b² a² 2ab = (a³ + b³)²
2ab b² a²
5)1+a b c
a 1+b c = = 1+a+b+c
a b 1+c
6) a²+1 ab ac
ab b²+1 bc. =1 + a² + b² + c²
ac bc c²+1
EXERCISE --E
1) a+b+2c a b
c b+c+2a b = 2(a+b+c)³
c a c+a+2b
2) x+y+2z x y
z y+z+2x y = 2(x+y+z)³
z x z+x+2y
5) (y+z)² x² x²
y² (z+x)² y² = 2xyz(x+y+z)³
z² z² (x+y)²
2) a(1+x) b c
a b(1+x) c = abcx²(x+3)
a b c(1+x)
3) (b+c)² b² c²
a² (c+a)² c². = 2abc(a+b+c)³
a² b² (a+b)²
4) x+4 x x
x x+4 x = 16(3x +4)
x x x+4
5) b+c a b
c+a c a = (a+b+c)(a - c)²
a+b b c
6) a+b+2c a b
c b+c+2a b. = 2(a+b+c)³
c a c+a+2b
7) a²+x ab ac
ab b²+x bc =x²(x+ a²+b² + c²)
ac bc c²+x
8) a-b-c 2a 2a
2b b-c-a 2b = (a+b+c)³
2c 2c c-a-b
EXERCISE -F
1) 1 a bc
1 b ca = (a - b)(b - c)(c - a)
1 c ab
2) 1 1 1
a b c = (a - b)(b - c)(c - a)
a² b² c²
3) 1 1 1
a a² a³ = ab(a - 1)(b - 1)(b-a)
b b² b³
4)1 x x³
1 y y³. = (x - y)(y - z)(z - x)(x+y+z)
1 z z³
5) a b - c c - b
a - c b c - a
a - b b - a c
= (a+b - c)(b+c - a)(c +a - b)
6) a a² b+c
b b² c+a
c c² a+b
= (b - c)(c - a)(a - b)(a+b+c)
7) ) 1 1 1
a b c. = (a-b)(b-c)(c-a)
a² b² c²
8) a b c
a² b² c² = abc(a - b)(b - c)(c - a)
a³ b³ c³
9) 1 x x³
1 y y³= = (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)
1 z z³
10) 1 a bc
1 b ca. = (a-b)(b- c)(c - a)
1 c ab
11) 1 b+c b²+ c²
1 c+a c²+a². = (a - b)(b - c)(c -a)
1 a+b a²+b²
12) a+b+ c - c - b
- c a+b+c - a
- b - a a+b+c
= 2(a+b)(b+c)(c+a).
13) bc a a²
ca b b²
ab c c²
= (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)
14) a² bc. (b+c)²
b² ca. (c+a)²
c² ab. (a+b)²
=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)(a²+b²+c²)
15) x y- z z -y
x-z y z-x
x- y y-x z
= (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)
16) a+x x x
x b+x x
x x c+x
= abc(1 + x/a + x/b + x/c)
17) sin²A sinA cos²A
sin²B sinB cos²B
sin²C sinC cos²C
= - (sinA-sinB)(sinB- sinC)(sinC- sinA)
18) b+c a b
c+a c a =(a+b+c)(a-c)²
a+b b c
19)
EXERCISE - G
17) bc a² a² bc ab ca
b² ca b² = ab ca bc
c² c² ab ca bc ab
2) bc a a² 1 a² a³
ca b b² = 1 b² b³
ab c c² 1 c² c³
3) 1 a a² 1 a bc
1 b b² = 1 b ca
1 c c² 1 c ab
4) x - y 1 x x 1 y
y - z 1 y = y 1 z
z - x 1 z z 1 x
5) b+c a b a b c
q+r p q = p q r
y+z x y x y z
6) b+c c+a a+b a b c
q+r r+q p+q = 2 p q r
m+n n+l l+m l m n
7) x - y 1 x x 1 y
y - z 1 y = y 1 z
z - x 1 z z 1 x
8) a -b+c a+b-c a-b-c a c b
b-c+a b+c-a b-c-a = 4. b a c
c -a+b c+a-b c-a-b c b a
9) x y z 1 1 1
x² y² z² = x² y² z²
yz zx xy x³ y³ z³
= (x-y)(y-z)(z-x)(xy +yz+ zx)
9)1 2 3 1 2 3
2 3 4 = 1 1 1
3 4 5 1 0 -1
10) a₁x+b₁y+c₁z b₁ c₁ a₁ b₁ c₃
a₂x+b₂y+c₂z b₂ c₂ = x a₂ b₂ c₂
a₃x+b₃y+c₃z b₃ c₃ a₃ b₃ c₃
21) b+c c+a a+b a b c
q+r r+p p+q = 2 p q r
m+n n+l l+m l m n
22) a b+c a-b a b c
b c+a b-c = b c a
c a+b c-a c a b
23)
EXERCISE - H
1) 1 a a²
a² 1 a = (a³ - 1)²
a a² 1
2). a² 2ab b²
b² a² 2ab
2ab b² a²
is a perfect square quantity
3) a² 2a 1
1 a² 2a
2a 1 a²
is a perfect square.
4) a b c
b c d = ax+b bx+c
1 -x x² bx+c cx+d
5) 1+a² - b² 2ab -2b
2ab 1-a²+b² 2a
2b -2a 1-a²- b²
= (1+ a² + b²)³
6) (1+ 1/a+ 1/b+ 1/c) is a factor of
1+a 1 1
1 1+b 1
1 1 1+c
7) (a - b) is a factor of
1 1 1
a b c
a² b² c²
8) (a+b+c) is a factor of
a b c
b c a
c a b
9) x³ is a factor of
x+y x x
6x+4y 2x 4x
7x+6y 3x 8x
10) (a - 1)² is a factor of
a+1 2 2
3 a+2 3
4 4 a+3
11) a b c
b c a
c a b
= (a+b+c)(ab+ bc+ ca - a² - b² - c²)
11) b+c a - b a
c+a b - c b = 3abc - a³ - b³ - c³
a+b c - a c
EXERCISE -I
1) If a+b+c= s, prove
s+c a b
c s+a b = 2s³
c a s+b
2) If p²= a²+b²+c² and q²= ab+ bc + ca, then show that
p² q² q²
q² p² q² = (a³+b³+ c³ - 3abc)²
q² q² p²
3) If x≠ y≠ z and x x² 1+x³
y y² 1+y³ = 0
z z² 1+z³
Prove that xyz = - 1
4) If a ≠ b ≠ c and a a³ a⁴ -1
b b³ b⁴ -1 = 0
c c³ c⁴ -1
Then show that a b+ c= abc(ab+bc+ca).
5) If a≠ b≠ c and a a² a³ - 1
b b² b³- 1 = 0
c c² c³ - 1
Show that abc = 1
6) If x³= 1 show that a b c
b c a
c a b
= (a+ bx+ cx²) 1 b c
x² c a
x a b
7) a² a b
b² b ca
c² c ab
= (ab + bc+ ca) a² a 1
b² b 1
c² c 1
EXERCISE - J
A) Show the the determinant is independent of x:
1) x+1 x+2 x+4
x+3 x+5 x+8
x+7 x+10 x+14
2) x² (x - 1)² (x - 2)²
(x -1)² (x - 2)² (x - 3)²
(x -2)² (x - 3)² (x - 4)²
3) x,y,z are different show 1+xyz=0
x x² 1+x³
y y² 1+y³ = 0
z z² 1+z³
4) if a≠b≠c and a a³ a⁴-1
b b³ b⁴-1 =0
c c³ c⁴ -1 show a+b+c = abc(ab+bc+ca)
5) (b+c)² b² c²
a² (c+a)² c² =2abc(a+b+c)³
a² b² (a+b)²
26) ˣC₁ ˣC₂ ˣC₃
ʸC₁ ʸC₂ ʸC₃ evaluate
ᶻC₁ ᶻC₂ ᶻC₃
EXERCISE - K
SOLVE FOR X:
1) x a b
a x b = 0
a b x
2) x 1 1
1 x 1 = 0
1 1 x
3) x+1 2 3
3 x+2 1 = 0
1 2 x+3
4) a - x c b
c b - x a = 0
b a c - x
5) x² x 1
a² a 1 = 0 . (a ≠ b)
b² b 1
6) 15 - x 11 10
11 - 3x 17 16 = 0
7 - x 14 13
7) 3 - 2x 2 6
4 - x 4 12 = 0
1 - x 1 4
8) x+a b
a x +b = 0
9) 1 1 1
p x p = 0
q q x
10) 1 - 5x 2 3
4x-2 1 2 = 0
2x-1 3 1
11) x+a b c
c x+b a =0
a b x+c
12)
EXERCISE - L
Solve with the help of Cramer's Rule:
Type-1
1) 3x+y =5, x+2y =3.
2) ax+ by=c, a²x +b²y =c²
3) 3/x - 5/y =1 , 2/x +3/y = 7
4) a/x -b/y =a , a/y - b/x =b
5) x cosβ - y sin β = cosθ ; x sin β+ y cos β = sinθ
6) (a+b)x - (a-b)y= 4ab;
(a-b)x + (a+b)y = 2(a² -b²)
7)
Type -2
1) x+y+z=4, 2x-y+2z=5 , x-2y-z=-3
2) 2x +3y - z=1; x + 2y +z= 4 , x - y + z = 5
3) 2y-3z=0, x+3y= -4, 3x+4y =3
4) x+y-6z=0, -3x+y+2z=0, x-y+2z=0
5) 1/x +2/y+ 3/z=2 ,
2/x +4/y +5/z =3 ,
3/x +5/y+6/z= 4
6) 2/x +3/y +2=0,
5/y - 2/z -4 =0 ,
3/z +4/x +7=0
EXERCISE- M
** determine whether each system is consistent :
1) 2x - 3y + z =1
x+2y - z =1
3x - y +2z =6
2) 2x - y + z = 2
3x + 2y - 4z =1
x - 4y +6z = 3
3) x +y = 2
2x - z =1
2y -3z =1
4) 4x - 3y +1=0 , 7x-8y+10=0,x+y=5
** Find k if:
1) 2x-y+3=0, kx-y+1=0, 5x-y-3=0 are consistent.
2) 2x+3y+4=0, 3x+4y+6=0,
4x+5y-k=0 are consistent.
3) x+y-3=0, (1+k)x +(2+k)y -8 =0
kx -(1 +k)y +2 =0
4) Find the relation that must exist between a,b,c, if the are consistent
ax+by+c=0, bx+cy+a=0, cx+ay+b=0
5) If the following equatiin are consistent, prove that a=b=c,
(x-y)(y-b)=ab,
(x-b)(y-c)=bc,
(x-c)(y-a)=ca.
6) Obtain the condition of consistency in the form of,
2x+3y-8=0, 7x-5y+3=0, 4x - 6y+β=0 and hence find the value of β.
7) If the equations are consistence and have more than one solution, find the values of β.
u+v = -(βv +1),
u+2v= -β(v-1) +1
3u +8v = β +2
Mg. A- R.1
** Find the value of:
1) 23 17 16
27 20 78
54 40 157
a) 0 b) 1 c) -1 d) 132 e) 12
2) 29 26 22
25 31 27
63 54 46
a) 0 b) 1 c) -1 d) 132 e) 12
3) a h g
h b f
g f c
a) 0 b) 1 c) -1 d) 132 e) none
4) b+ c a - b a
c+a b - c b
a+ b c- a c
a) 0 b) 1 c) -1 d) 132 e) none
5) 1 1 1
-a -b -c
b+ c c+ a a+ b
a) 0 b) 1 c) -1 d) 132 e) 12
6) a⁻¹ a bc
b⁻¹ b ca
c⁻¹ c ab
a) 0 b) 1 c) -1 d) 132 e) 12
7) x x+ a x+ 2a
x+ 2a x x+ a
x+ a x+ 2a x
a) 0 b) 1 c) -1 d) 13 e) none
Mg. A- R.2
1) (x+1)(x+2) x+2 1
(x+2)(x+3) x+3 1
(x+3)(x+4) x+4 1
a) 9 b) 9a² c) a+ x d) 9a²(a+ x) e) -2
2) a a+ b a+ b + c
2a 3a+ 2b 4a+ 3b + 2c
3a 6a+ 3b 10a+ 6b + 3c
a) a b) a² c) a³ d) -a e) -a²
3) 2a - b- c 3b 3c
3a 2b - c - a 3c
3a 3 b 2c - a - b
a) (a+ b+c) b) (a+ b+c)² c) (a+ b+c)³ d) none
4) If x+ y+ z=0, then 1 1 1
x y z
x³ y³ z³ is
a) 0 b) 1 c) -1 d) xyz e) none
5) y+ z x x
y z+x y
z z x+ y
a) xyz b) -xyz c) 2xyz d) -2xyz e) 4xyz
6) b²+ c² a² a²
b² c²+ a² b²
c² c² a²+ b²
a) abc b) a²b²c² c) 2a²b²c² d) 4a²b²c²
7) solve : x 3 7
2 x 2 = 0
7 6 x
a) -9 b) 2 c) 7 d) all of these
8) x+ a b c
a x+ b c = 0 . Solve for x
a b x+ c
a) 0,0,(a+b+c) b) 0,1, a c) 0, 1 b d) 0,0,- (a+b+c)
Mg. A- R.3
1) solve by Cramer's Rule: 3x+ 4y =5, x - y = -3.
2) a+1 a a(a²+1)
b+1 b b(b²+1)
c+1 c c(c²+1)
= (a- b)(b - c)(c- a)(a+ b+ c)
3) (b+c)² a² a²
b² (c+a)² b²
c² c² (a+b)²
= 2abc(a+ b+ c)³
4) 1- x a a²
a a²- x a³
a² a³ a⁴ - x
= x²(1+ a²+ a⁴) - x³.
5) Solve for x :. x³- a³ x² x
b³- a³ b² b = 0
c³- a³ c² c
b, c, a³/bc
6) x c+ x b+ x
c+ x x a+ x = 0
b+ x a+ x x
2abc/(a²+b²+c²- 2bc-2ca-2ab)
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