INTEGRATION By Partial Fraction

TYPE -1

1) ∫ (2x+1)/{(x+1)(x-2)}.                 1/3 log|x+1|+ 5/3 log|x- 2|

2) ∫ 5x/{(2x+1)(3x+ 2)}.                10/3 log|3x+2|- 5/2 log|2x+ 1|

3) ∫(5x -2)/{(x- 2)(x- 3)}.                   13 log|x - 3|- 8 log|x- 2| 

4) ∫(2x-1)/(x²- 3x+2).       3 log|x- 2| -  log|x- 1|

5) ∫(x-1)/{(x- 3)(x+2)}.      3/5 log|x+2|+ 2/5 log|x- 3|

6) ∫1/{x(x -4)(x-2)}.         1/8 log|x(x-4)/(x-2)²|

7) ∫x²/{(x-1)(x-2)(x-3)}.      1/2 log|x-1| - 4 log|x- 2| + 9/2 log|x - 3|

8) ∫5x/{(x+1)(x²-4)}.               5/6 log|{(x+1)²(x-2)}/(x+2)³|

9) ∫(2x -3)/{(2x+3)(x²- 1)}.             5/2 log|x+1|- 1/10 log|x- 1| - 12/5 log |2x +3|

10) ∫(2x - 1)/{(x -1)(x+2)(x -3)}.       1/2 log|(x- 3)| - 1/6 log |x -1| - 1/3 log |x+2|

11) ∫(2x -3)/{(x²-1)(2x+3)}.                5/2 log|x+1| - 1/10 log|x- 1|- 12/5 log|2x+ 3|

12) ∫(5x² -1)/{x(x -1)(x+1)}.         log|x(x² -1)²| 

13) ∫(x²+ 6x -8)/(x³ -4x).                log|{x²(x -2)/(x+ 2)²}|

14) ∫(x² +1)/{(2x+ 1)(x² - 1)}.                -5/6 log|2x+1| + 1/3  log|x- 1|+ log|x+ |

15) ∫(ax²+ bx + c)/{(x-a)(x+b)(x - c)}.                (a³+ ab+ c)/{(a- b)(a - c)} log|x - a| + (ab²+ b²+c)/{(b - a)(b - c)}  log|x- b| + (ac²+ bc+ c)/{(c - a)(c - b)} log|x - c|

16) ∫(3x +2)/{(x-1)(x-2)(x - 3)}. 

17) ∫(x -1)/{(x+1)(x-2)}.                2/3 log|x+1| + 1/3 log|x- 2|

18) ∫(2x -1)/{(x-1)(x+2)(x - 3)}.                -1/6 log|x-1| - 1/3 log|x+ 2|+ 1/2 log|x - 3|

TYPE -2

1) ∫(x² +x-1)/(x²+x-6)      x- log|x+3| +  log|x- 2|

2) ∫(3+ 4x- x²)/{(x-1)(x+2)}.      -x + 3 log|x+2|+ 2 log|x- 1|

3) ∫(x²+1)/(x²-1).                        x+  log|(x+1)/(x+1|

4) ∫x³/{(x-1)(x-2)(x - 3)}.             x+ 1/2 log|x-1|- 8 log|x- 2|+ 27/2 log|x - 3|

5) ∫(x³+x +1)/(x²-1)               x²/2 + log|x² - 1| + 1/2 log|(x- 1)/(x+1)| 

6) ∫(x³- 6x²+ 10x -2)/{(x-1)(x²- 5x+ 6).         

      

7)∫ x³/{(x-1)(x-2)}.                x²/2 + 3x -  log|x- 1| + 8 log|x- 2|

8) ∫{(x-1)(x-2)(x -3)}/{(x-4)(x-5)(x - 6)}.                x + 3 log|x - 4| - 24 log|x- 5| + 30 log|x - 6|

9) ∫x(x²+1)/{x(x²-1)}.        log|(x²-1)/x|

10) ∫{(x -1)(x -5){/{(x-2)(x-4)}.       x+ 3/2 log|(x-2)/(x -4)|

11) ∫(x²+ x-1)/(x²+ x -6).         x - log|x + 3| + log|x - 2|

12) ∫(3+ 4x - x²)/{(x + 2)(x-1)}.       3 log|(x + 2)| + 2 log |x - 1| - x

TYPE -3

1) ∫ dx/{x(x+1)².                  1/(x+1) + log|x/(x+1)|

2) ∫ x² dx/{(x+1)(x+2)².    4/(x+2) + log|x+1|

3) ∫dx/{x²(x -1)².    (1- 2x)/{x(x-1)} + 2 log|x/(x-1)|

4) ∫dx/{x - a)²(x - b).    1/{(b-a)(x-a( + 1/(b -a)² log|(x-b)/(x-a)|

5) ∫dx/{x(a+ bxⁿ)²}.     1/na² log|xⁿ)(a + bxⁿ)| + 1/{na(a+ bxⁿ)

6) ∫ (3x+1)dx/{(x+2)(x-2)².    5/16 log|x -2| - 7/4(x-2) - 5/16 log|x+2|

7) ∫ (x² +1)dx/{(x-1)²(x+3).         3/8 log|x-1| - 1/2(x-1) + 5/8 log|x+3|

8) ∫ (x² +x+1)/dx/(x-1)³.       log|x-1| - 3/(x -1) - 3/2(x-1)²

9) ∫ x² dx/{(x-1)³(x+1).    1/8 log|(x-1)/(x+1)| - 3/4(x -1) - 1/4(x-1)²

10)∫ (3x -2) dx/{(x+1)²(x+3).    

11) ∫ (2x +1) dx/{(x-3)²(x+2).

12) ∫ (x² +1) dx/{(x-2)²(x+3).

13) ∫ x dx/{(x-1)²(x+2).

14) ∫ x² dx/{(x+1)²(x-1).

15) ∫ (x²+ x -1) dx/{(x+1)²(x+2)}.

16) ∫ (2x²+ 7x -3) dx/{x²(2x+1)}.

17) ∫ (5x²+ 2ox +6) dx/(x³+ 2x²+ x).

TYPE-4

1) ∫ 2x/{(x²+1)(x²+3)}.

2) ∫ dx/{x(xⁿ -1)}.

3) ∫ 18/{(x+2)(x²+ 4)}.

4) ∫ 5/{(x²+1)(x+2)}.

5) ∫x/{(x²+1)(x+1)}.

6) ∫ 1/(1+x+ x²+x³).

7) ∫ dx/(x+1)²(x²+1).

8) ∫2x/(x³ -1).

9) ∫ dx/{(x²+1)(x²+4)}.

10) ∫ x²/{(x²+1)(3x²+4)}.

11) ∫ {(x²+1)(x²+2)}/{(x²+3)(x²+4)}.

12) ∫ (x³-1)/(x³+x).

13)  ∫ (4x⁴+3)/{(x²+2)(x²+3)(x²+4)}

14)  ∫ dx/{x(x⁴+1)}.

15) ∫ dx/{x(x⁵+1)}.

16) ∫ 3/{(1- x)(1+ x²).

17) ∫ x/{(x²+1)(x+1)}.

18) ∫ x⁴/{(x-1)(x²+1)}.

19) ∫ (2x -1)/{(x+1)(x²+2)}.      

20) ∫ (2x -3)/{(x-1)(x²+1)²}.

21) 

MISCELLANEOUS 

1) Sin 2x/{(1+ sin x)(2+ sin x). log|{(2+ sin x)⁴/(1+ sin x)²|

2) 1/{x log x (2+ log x)}.          1/2 log|log x/log(x+2)|

3) 1/(sin 2x+ sin x).        1/6 log|(1- cosx)| + 1/2 log|(1+ cos x)| - 2/3 log|1+ 2 cos x|

4) 1/{cosx(5 -  4 sin x).     1/18 log|(1+ sin x)- 1/2 log|(1- sin x)| + 4/9 log|5 - 4 sin x|

5) 1/{sin x(3+ 2 cos x).      -1/2 log|1+ cos x)+  1/10 log|(1- cos x)| + 2/5 log|3+ 2 cos x|

6) 1/[x{6(log x)}² + 7 log x +2}].                log|2 log x +1| -  log|3 log x + 2| 

7) Cos x/{(2+ sin x)(3+ 4 sin x).     -1/5 log|2+ sin x| + 1/5 log |3+ 4 sin x|

8) (1- cos x)/{cos x(1+ sin x).                  log|sec x + tan x| - 2 tan (x/2)

9) (tan x + tan³x)/(1+ tan³x).        -1/3 log|1+ tan x| + 1/6 log|tan² x - tan x +1|

10) sin x/sin 4x.                    -1/8 log|(1+ sin x)/(1- sin x)| + 1/4√2 log|1+ √2 sin x)/(1- √2 sin x)|

11) dx/(sin x- sin 2x).       1/2 log|(1- cosx)| - 1/6 log|(1+ cos x)| + 2/3 log|1- 2 cos x|+ c

12) (1- cos x)/{cos x(1+ cos x)}.   Log|sec x + tan x|- 2 tan(x/2)+ c

13) cos x/{(1- sin x)³(2+ sin x).

14) cos x/{(1- sin x)(2- sin x)