SUM AND PRODUCT
+ X + x + x
FORMULAE USED FOR SUM
+++++++++++++++++++++
* Sin C+ sin D= 2sin(C+ D)/2. Cos (C- D)/2
* Sin C- sin D= 2cos(C+ D)/2. Sin (C- D)/2
* Cos C+ cos D= 2cos(C+ D)/2. Cos (C- D)/2
* Cos C- cos D= -2sin(C+ D)/2. Sin (C- D)/2
EXERCISE-1
**************
1) Express as a product:
A) sin 50+ sin 40. 2sin 45 cos 5
B) cos 36- cos 76. 2sin 56 sin 20
C) sin 75 - sin25. 2 cos50 sin25
D) sin36 + sin 54.
E) cos85 - cos 15.
F) sin110+ cos40.
G) cos 2x - sin 2x.
H) sin 5x+ sin 3x. 2 sin 4x cosx
I) cos 7x - cos 4x. -2sin 11x/2 sin 3x/2
J) sin 7x- sinx. 2cos 4x sin 3x
K) cos105+ cos35. 2cos70 cos35
L) 1+ 2 sin20. 4 sin25 cos 5
2) PROVE:
A) sin 43+sin 17= cos 13
B) cos 25 - cos 35 = sin 5
C) sin 2x + sin 4x = 2sin 3x cos x
D) sin 8x- sin4x =2cos6x sin 2x
E) cos 6x+ cos 4x= 2cos 5x cos x
F) cos 3x/2 - cos 9x/2= 2 sin3x sin 3x/2.
G) sin 42 - sin18= √3 sin 12
H) sin 10 + sin50 - sin 70 = 0
I) cos 40 +cos 80+ cos 160= 0
J) cos 10 + cos 110+ cos130= 0
K) sin 20 + sin40 - sin 80 = 0
L) sin 105 + cos105 + cosπ/4 = √2
M) cos 55 + cos65 + cos175 = 0
N) cos(120+α)+cosα+cos(120-α) =0
O) sinα +sin(α-120)+sin(α+120) =0
P) sinx+sin2x+sin3x=sin2x(1+2 cosx).
Q) cosx + cos2x+cos3x=cos2x(1+ 2cosx).
R) cos20+cos100 +cos220 = 0
S) cos20+cos220 +cos260 = 0
T) √2 cos20= sin65+ cos65
U) cos10+cos20 +cos40+ cos50 = √3(cos10+cos20).
V) sin25+sin35+sin45= 2 cos 20 cos25.
W) sin10+ sin20 + sin40 + sin 50= sin 70 + sin80.
X) sin19+ sin41 + sin83 = sin 23 + sin37+ sin79.
Y) cos306+ cos234 + cos162+ cos 18= 0
3) PROVE:
A) (Sin5x+ sin3x)/(cos3x- cos5x)= cotx
B) (cos10 - sin10)/(cos10+sin10)= tan35
C) (cosx+cosy)/(cosy -cosx) = cot (x+y)/2 cot (x-y)/2
D) (sin7α+ sin9α)/(cos7α - cos9α) = cotα
E) (sin42+cos12)/(cos42+sin12)= √3
F) (sin2A- sin2B)/+sin2A + sin2B)=
Tan(A- B)/ tan(A- B)
G) (sinA+ sin3A)/(cosA + cos3A)= Tan 2A
H) (sin4x-sin2x)/(cos4x- cos2x) = - cot 3x
I) (sin75- sin15)/(cos75+ cos15) = 1/√3
J) 1+ (cos 465+ cos 165)/(sin 105 + sin15)= 0
K) (sin4α +sin6α +sin5α)/(cos4α +cos6α +cos5α) = tan 5α
L) {cos(3α-2β) - cos(3α+2β)} /{sin(3α+2β) - sin(3α -2β)} = tan3α
M) (sin2x+ sin3x+ Sin5x)/(cosx + cos³x + cos3x)= tan 3x.
N) (cosx +cos3x+cos5x+cos7x )/ (sinx+sin3x+sin5x +sin7x) = cot4x
O) (sin2α + sin5α -sinα)/(cos2α + cos5α +cosα) = tan 2α
P) (cos7α+cos3α-cos5α-cosα)/ (sin7α-sin3α-sin5α+sinα) =cot2α
Q) (sinα+sin2α+sin4α+cos5α)/ (cosα+cos2α+cos4α+cos5α)=tan3α
R) sinA+sinB+sinC- sin(A+B+C)= 4sin(A+B)/2. sin(B+C)/2. sin(C+A)/2.
S) (cos7α+cos5α+cos3α+cosα)/ (sin7α+sin5α + sin3α+sinα) = cot 4α
T) (Cos3A+ 2cos5A+ cos7A)/(cosA + 2 cos3A + cos 5A)= cos2A - sin2A tan3A
U) sin(α+β) - 2sinα+sin(α-β)}/ {cos(α+β) - 2cosα +cos(α-β)=tanα
V) tan 55 - tan 35= 2 tan 20
W) tan 70= tan 20+ 2 tan 40+ 4 tan 10
X) cos85+ cos 35= 1/√2 (cos 20+ sin20)
EXERCISE-2
xxxxxxxxxx
FORMULAE USED
xxxxxxxxxxxxxxxxx
* 2 sinA cosB= sin(A+B)+ sin(A-B)
* 2 sinA sinB= cos(A-B)- scos(A+B)
* 2 cosA cosB= cos(A+B)+ cos(A-B)
* 2 cosA sinB= sin(A+B)- sin(A-B)
XxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxX
1) Express as sum or difference:
A) 2 sin36 cos54.
B) sin 40 sin60
C) cos(π+x) cos(π-x).
D) sin(3π/4 +x) sin(3π/4-x).
E) sin 50 cos 30. 1/2(sin80 + sin20)
F) cos40 cos 20. 1/2(cos60+ cos20)
G) sin55 sin40. 1/2(cos95-cos15)
H) 2 sin 7x cos 3x. Sin10x+ sin4x
I) sin 60 sin30. 1/2(cos30-cos90)
2) PROVE:
A) 2sin2x cos 3x = sin 5x- sin x
B) sin3α/2 cosα/2 = ½ (sin2α + sinα)
C) 4 sin80 sin40= 2(cos40- cos120)
D) sin(30+α) cos(30-α) =½(√3/2 +sin2α)
E) Cos20. Cos40. Cos80= 1/8
F) cos40 cos100 cos160=⅛
G) Sin 20 sin 40 sin 80 =√3/8
H) sin20 sin40 sin60 sin80 =√3/8
I) sin10 sin30 sin50 sin70 = 1/16
J) sin36 sin72 sin108 sin144=5/16
K) Sin20 sin 40 sin 60 sin 80=3/16
L) Cos20 cos 40 cos 60 cos 80= 1/16
M) Sin π/16 sin3π/16 sin 5π/16 sin 7π/16=√2
N) 4 sin x sin(60-x) sin(60+x)= sin 3x
O) Tan20 tan 40 tan 80=√3
P) Tan20 tan 40 tan 60 tan 80=3
Q) Cot 20 cot 40 cot 60 cot 80= 1/3
EXERCISE-3
***********
1) PROVE:
A) (cosα - cosβ)²+(sinα - sinβ)²= 4sin²(α - β)/2
B) (cosα+cosβ)²+(sinα + sinβ)²
= 4cos²(α - β)/2
C) sin 3α cos α + cos 4α sin2α)= sin5α cosα
D) sin 3α cos α + cos 4α sin 2α)= sin 5α + cos α.
E) sin α sin(α + 2x) - sin x sin(x+2α) = sin(α+x) sin(α - x).
F) cos 10 cos 20+ sin 45 cos 145 + sin 55 cos 245= 0
G) cos 55 cos 65+ cos 65 cos 175 + cos 175 cos 55 = 0
H) sin 10 sin 50+ sin 50 sin 250 + sin 250 sin 10= -3/4.
I) (sinA sin2A + sin2A sin5A)/(sinA cos2A + sin2A cos5A)= tan 4A
J) (sin10 sin20 + sin20 sin50)/(sin10 cos20 + sin20 cos50) = tan 40
K) (Sin 11x sin x + sin 7x sin 3x)/(cos 11x sin x + cos 7x sin 3x)= tan 8x.
L) cos2θ cos(θ/2)-cos3θ cos(9θ/2) = sin5θ sin(5θ/2)
M) 1+16cos12 cos24 cos48 cos96 = 0
N) 2cos(π/13) cos(9π/13) + cos(3π/13) +cos(5π/13)= 0
O) sin(11θ/4)sin(θ/4) +sin(7θ/4) sin(3θ/4) = sin2θ sinθ
P) cos(120+θ) cos(120-θ) + cos(120+θ) cosθ+cosθcos(120-θ) = - ¾
Q) sec(π/4 +x) sec(π/4 -x)=2 sec2x
R) tan(60+x) tan(60-x)= (2cos 2x+1)/(2cos 2x -1).
EXERCISE -4
*****************
1) If sinA= n sin (A+2B), Prove, tan(A+ B)= {(1+n)/(1-n)}. Tan A
2) if a cos (x+y)= b cos(x- y), show that (a +b)tan x = (a-b) cot y.
3) If α is devided into two parts x and y such that cos x :cos y = 1:k prove Tan(x-y)/2 ={(k-1)/(k+1)}cot α/2
4) If Cos(A+2B) = m CosA show cotB= (1+m)/(1-m) tan (A+B)
5) b sinA= a sin(A+2B), show (b+a) tanB= (b-a) tan(A+B).
6) If Sin A=mSin B prove Tan(A-B)/2= (m-1)/(m+1) tan (A+B)/2
7) x cosA+ y sinA= x cosB + y sinB, show y= x tan(A+B)/2.
8) If sin2A= 4 sin2B, show 5 tan(A-B) = 3 tan(A-B)
9) If cosx= n cos(x+2y), show tan(x+y)= {(n-1)/(n+1)} cot y
10) If sinA= 1/√2 and sinB= 1/√3, find the value of tan(A+B)/2 cot(A+B)/2. 5 +2√6
11) If CosA+ CosB=⅓, SinA+SinB=¼ then Prove tan(A+B)/2 = ¾.
12) If cosA + cosB= cos 3π/7 and sinA + sinB= sin 3π/7, then find the value of cos²(A-- B)/2. 1/4
13) If sinx + sinB= 2/3 & cosx + cosy = 5/6, show tan(x+y)/2= 4/5.
14) If cosx/cosy= a/b, show a tanx + b tan y= (a+b) tan(x+y)/2.
15) If A,B,C be in A.P, show (sinA - sinC)/(cosC - cos A)= cot B.
16) If Sinθ + Sinα =x & cos θ+ cos α= y prove :
a) tan (Θ+α)/2 = x/y
b) cos(θ - α)/2= 1/2√(x²+y²)
c) cos(θ+α)/2 = y/√(x²+y²)
d) tan(θ-α)/2 = √{(4 - x²-y²)/(x²+y²)}
17) If sinα - sinβ= x, cosα - cosβ = y. Prove
a)cot(α+β)/2= -x/y.
b) sin(α - β)/2 = √(x²+y²)/2
c) sin(α+ β)/2 = y/√(x²+y²)
d) cot(α - β)/2=√{(4- x² -y²)/(x²+y²)}
18) If CosecA + SecA= CosecB+secB. Show TanA+ TanB= Cot(A+B)/2
19) If secA - cosecA= cosecB - secB then show tanA tanB= tan(A+B)/2
20) If A+B=C, prove cos²A +cos²B+ cos²C =1+2cosA cosB cosC
21) If α+β+θ=π then prove sin²α+sin²β+sin²θ= 2sinαsinβsinθ.
22) If A+B+C=90 shows Sin²A+sin²B+sin²C=1-2sinA sinB sinC
23) If A+B+C=π a8 sin(A+ C/2)= n sinC/2, show tanA/2 tanB/2={(n-1)/(n+1)}.
24)** {(cosα+cosβ)/(sinα- sinβ)}ⁿ +{(sinα+sinβ)/(cosα - cosβ)}ⁿ = 2cotⁿ(α-β)/2 or zero, according as n is even or odd.
MISCELLANEOUS
1) Prove:
A) (1+ Cos π/8)(1+cos3π/8) (1+cos5π/8)(1+cos7π/8 = ⅛
B) sinA + sinB + sin C - sin(A+B+C) = 4 sin (A+B)/2 . Sin(B+C)/2. Sin(C+A)/2.
C) sin2A + sin2B + sin2C - sin2(A+B+C) = 4 sin (B+C). Sin(A+C). Sin(A+B)
D) cosA + cosB + cos(A+B+C) = 4. Cos (A+B)/2 . Cos(B+C)/2. Cos(C+A)/2.
2) If tan(A-B)= sin2B/(5 - cos2B), find the value of tanA/tanB. 3/2
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