1) ˡᵒᵍ²₀∫eˣ/(1+ eˣ) dx
2) ¹₀∫ dx/{(1+x)(2+x)
3) ∫ cost dt/{(3+sint)(4+sint)}
at (π/2,0)
4) ¹₀∫ x³√(1+3x⁴) dx
5) ¹₀∫ ₓₑx² dx
6) (2+3sin x)/cos²x dx at (π/3,0)
7) ∫ √(1 +sin x) dx at (π,0)
8) ∫ sin² x cos x dx at (π/2,0)
9) ¹₀∫ x tan⁻¹x dx
10) ∫ dx/{x(1+log x)²} at (e²,1)
11) ³₂∫ x⁵ dx/(x⁴ -1)
12) ¹₀∫ xlog(1+2x) dx
13) ³₀∫ xdx/{√(x+1) + √(5x +1)}
14) ¹⁵₈∫ dx/{(x-3)√(x+1)}
15) ³₀∫{√(x+1) -1}/{√(x+1) +1}
16) ¹₀∫ √{(1-x²)/(1+x²)} dx
17) ∫ xsin⁻¹x/√(1-x²) dx at(1/2,0)
18) ∫ x²/√(1-x²) dx at(1√2 , 0)
19) ᵃ₀∫ dx/(a² + x²)³/²
20) dx/(a²sin²x + b² cos² x)
at(π/2,0)
21) ¹⁶₀∫x¹/⁴/(1+x¹/⁴) dx
22) ˡᵒᵍ ²₀∫ eˣ dx/(e²ˣ +3eˣ +2)
23) ²₀∫ x²dx/{(x+1)(x+2)²}
24) ∫ dx/(2+3 cosx) dx at (π/2,0)
25) ∫ sinxdx/(cos²x+3cosx+2)
at(π/2,0)
26) ³₂ ∫ √{(x-2)(3-x)} dx
27) ∫sin⁴ x dx at (π/2,0)
28) ∫ √(1+cosx) dx at (π/2,0)
29) ∫ √(1 - cos 2x) dx at (π/2,0)
30) ∫ (sin x + cos x) dx at (π/2,0)
31) ∫ √(1+sin 2x) dx at (π/4,0)
32) ∫ cos x cos2x dx at (π/6,0)
33) ∫ sin3x sin 2x dx at (π/4,0)
34) ∫ dx/(1+cosx) at (π/2, π/4)
35) ∫ √(2 - x²) dx at (√2 , 0)
36) ¹₀ ∫ dx/√(4 - x²)
37) ²₋₁ ∫ x dx/(x² +1)²
38) ³₋₁ ∫ √(3x +7) dx
39) ²₁ ∫ √(3t - 2) dt
40) ¹₀ ∫ x³√(1+3x⁴) dx
41) ∫ dx/(xlog x) at (e²,e)
42) ∫ eˣ/(1 + eˣ) dx at ( log2, 0)
43)π/²₀∫cosx dx/{(sinx +1)(sinx +2)
44) ∫ √(cos x) sin³x dx at (π/2,2)
45) ∫ cos x/(1+ sin²x) dx at (π/2,0)
46) ¹₀∫ √(tan⁻¹x)/(1+x²) dx
47) ∫ xlogx at ( √e , 1)
48) ¹₀∫ sin⁻¹x dx
49) ¹₀ ∫ sin⁻¹{2x/(1+x²)} dx
50) ∫ sin 2x tan⁻¹(sin x) dx at(π/2,0)
51) ¹₀ ∫ (cos⁻¹x)² dx
52) ⁵₁ ∫(x² - x)/√(2x +1) dx
53) ∫ {1/logx - 1/(log x)²} at (e², e)
54) ¹₀ ∫ x²/(3x +2)² dx
55) Prove)
1) ²₁ ∫ dx/√(x² + x -2) dx = logₑ3
2) π/⁴₀ ∫sin2x/(sin⁴x+cos⁴x)dx= π/4
3) ²³₇∫ dx/{(x-2)√(x+2)}dx=
(1/2)log(15/7)
4) ∫ dx/(1 +sinx) at (π,0) = 2
5) ∫ dx/(3+2cosx) at (π/2,0) =
(2√5)tan⁻¹(1/√5)
6) π/²₀∫ dx/(2cosx+ 4sinx) =
(1√5) log{(3+√5)/3}
SOLVE WITH DEFINITE PROPERTY
1) π₀ ∫ x sim³x dx
2) π₀ ∫ x sin x dx/(1+ cos²x)
3) ¹₀ ∫ log(1/x - 1) dx
4) ∫ sin 2x log tan x dx at (π/2,0)
5) ∫ sin xdx/(sinx + cosx) at (π/2,0)
6) π₀ ∫ x/(1+sinx) dx
7)π/²₀∫√(secx)/
{√(secx)+√(cosecx)}
8) π₀∫ x cos² x dx
9) ∫ log(cot x)dx at (π/2,0)
10) ∫ dx/(1+ tan²x) dx at (π/2,0)
11) π₀ ∫ x dx /(a² cos²x + b²sin²x)
12) ¹₀ ∫ log(1+ x)/(1+ x²)
PROVE::::
1) π/²₀ ∫ log(tan x) dx=0
2) π/²₀∫ √(sinx)/{√(sinx)+√(cosx)}
=π/4
3) π/²₀ ∫ (2log sinx - log sin 2x) dx
= (π/2) log(1/2)
4) π/²₀ ∫ sinⁿx/(sinⁿx + cosⁿ x)= π/2
5) π/²₀ ∫ dx/(1+tan³x) dx= π/2
6) π/²₀ ∫(sinx -cosx)/
(1+sinxcosx)= 0
7) π/²₀ x/(sinx + cos x)
= (π√(2)/log(√2 +1)
8) π/²₀ ∫sin²x/(sinx+ cosx)
= (1/√2) log(√2 +1)
9) ²₀ ∫ √(x)/(√(x) +√(2 - x) dx= 1
10) π₀∫ x sin x cos⁴x dx = π/5
11) π₀∫ x tanx dx/(sec x + tan x)
= (π/2)(π - 2)
12) ¹₀∫ cot⁻¹(1 - x +x²)dx
=(π//2)- log2
13) π/²₀ ∫ log(sinx) dx
= (π/2) log1/2
14)π/⁴₀∫ log(1+ tanx)dx =(π/8)log 2
15) π/²₀ ∫ log(cos x) dx= (π/2)log 2
16) π/²₀∫sin²xdx/(1+sinx cos x)
=π/(3√3)
17) π₀ ∫ (a²cos²x+ b² sin²x) dx
=π/4 (a² +b²)
18) π₀∫ xdx/(a²cos²x + b² sin²x)²
= π(a² +b²)/4a³b³
19) π/²₀ ∫ x dx/(sec x+ cosecx)
= π/4{1+ log(√2 +1)}
20) π₀ ∫x tan xdx/(secx + cos x)
= (π²/4)
21) π₀ ∫ x cos⁴x dx = 3π²/16
22) π₀ ∫x sin x cos⁴ x dx = π/5
23) π₀ ∫ x sin²x cos⁴x dx= π²/32
24) π₀ ∫ x sin⁶x cos⁴x dx = 3π²/512
25) π₀ ∫ cos⁵ x dx = 0
26) π₀ ∫ sin³x cos⁷x dx= 0
27) ᵃ₀ ∫ √(a² - x²) dx πa²/4, a> 0
28) ᵃ₀ ∫ dx/{x +√(a² - x²)} = π/4
29) ⁺ᵃ₋ₐ ∫ ₓₑ2/(1+x²) dx = 0
30)⁺¹/²₋₁/₂∫ cosx log{(1+x)/(1-x)}=0
31) ∫ sin⁷x dx at ( π/2, -π/2) =0
32) ∫x³ sin⁴x dx at(π/4, -π/4)= 0
33) ∫sin²xdx at(π/4,- π/4)=π/4 -1/2
34) If f(x) = f(2a -x), then prove that ²ᵃ₀∫ f(x) dx = 2∫ᵃ₀ f(x) dx
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