* ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + c, n≠-1 where c is constant.
** ∫ dx/x = log x + c
***∫ eˣ dx= eˣ + c
**** ∫ eⁿˣdx = eⁿˣ/n + c
*****∫ aˣ dx= aˣ/ log a + c
****** ∫ aⁿˣ dx= aⁿˣ/n log a + c
EXERCISE --1
----------------
1) ∫ x⁶ dx. x⁷/7+ c
2) ∫ 5x⁵ dx. 5x⁶/6
3) ∫ x⁴ dx. x⁵/5
4) ∫ x⁹. x¹⁰/10
5) ∫ 8x⁷. x⁸
6) ∫ 1/x⁷. -1/6x⁶
7) ∫ x⁻¹. logx
8) ∫ x⁵⁾³. 3/8 x⁸⁾³
9) ∫ x⁻⁵⁾⁴ -4x⁻¹⁾⁴
10) ∫ x⁵⁾⁴. 4/9 ⁴√x⁹
11) ∫ x⁻²⁾³. 3x¹⁾³
12) ∫ 1/x⁵. -1/4x⁴
13) ∫ 2/x². -2/x
14) ∫ 1/x³⁾². -2/√x
15) ∫ 3x √x + 4 √x+5. 6/5 √x⁵ +8/3 √x³+ 5x
16) ∫ (x³+ 5x² -4+ 7/x + 2/√x). x⁴/4 +5x³/3 - 4x + 7 log x+ 4√x
17) ∫ 6x⁵-2/x⁴ -7x+ 3/x - 5.
18) ∫ 8 - x + 2x³ - 6x³+ 2x⁻⁵+ 5x⁻¹. 8x -x²/2+ x⁴/2- 3x⁴/2 -1/2x⁴+ 5 logx
19) ∫ x/a+ a/x. x²/2a + a logx
20) ∫ 5x³ + 2/x⁵-7x +1/√x+ 5/x. 5x⁴/4 -1/2x⁴ - 7x²/2 + 2√x+ 5 log x
21) ∫ (1-x)√x. 2/3 √x³- 2/5 √x⁵
22) ∫ √x(ax²+ bx + c). 2a/7 √x⁷+ 2b/5 √x⁵ + 2c/3 √x³.
23) ∫ (√x +³√x²)²/x. x+12⁶√x⁷/7 +3 ³√x⁴/4
24) ∫ (3x⁴ +7x-11)/x³. 3x²/2 - 7/x + 11/2x²
25) ∫ (2-3x)(3+2x)(1-2x). 3x⁴+4x³/3 - 17x²/2 +6x
26) ∫ (√x - 1/√x)³ dx. 2√x⁵/5 - 2√x³ + 6√x + 2/√x
27) ∫ (3x+4)² dx. 3x³+12x²+16x
28) ∫ dx/x². -1/x
29) ∫ (x - 1/x)²dx. x³/3 -1/x -2x
30) ∫ √x - 1/√x. 2√x³/3 -2√x
31) ∫(1+x)³/√x. 2√x+ 2√x³+ 6/5 √x⁵ + 2/7 √x⁷
32) ∫√x(x³ - 2/x). 2/9 √x⁹- 4 √x
33) ∫ (√x+ ³√x²)/x 2√x+3 ³√x²/2
34) ∫ (2x³+3x-7)/³√x². 3³√x¹⁰/5 + 9³√x⁴/4 - 21³√x.
35) ∫ 1/√x(1+ 1/x). 2√x - 2/√x
36) ∫ (x⁶+1)/(x²+1). x⁵/5- x³/3+ x
37) ∫ (4x+3)². 16x³/3 +12x²+ 9x
38) ∫ dx/x³. -1/2x²
39) ∫ (x² + 1/x²)³. x⁷/7 -1/5x⁵+ x³ -3/x
40) ∫ (1+x)²/√x. 2√x +4/3 √x³ + 2/5 √x⁵
41) ∫ (1/³√x +√x+2)/³√x. 3 ³√x + 6/7 ⁶√x⁷+ 3 ³√x².
42) ∫ √x(3-5x). 2√x³ - 2 √x⁵.
43) ∫ (x⁴ + x² +1) d(x²). x⁶/3+ x⁴/2 + x³
44) {(x+1)(x-2)}/√x. 2/5 √x⁵ - 2/3 √x³ - 4√x
45) ∫(x⁵ + 1/x² +2)/x². x⁴/4 - 1/3x³ - 2/x.
46) ∫(2x⁴+ 7x³+ 6x²)/(x²+ 2x). 2x³/3 +3x²/2
47) ∫(5x⁴ +12x³+ 7x²)/(x²+x). 5x³/3 + 7x²/2
48) ∫ (x⁴+ x²+1)/(x²- x+1). x³/3+ x²/2 + x.
49) ∫ {(x³+8)(x-1)}/(x²-2x+4). x³/3 + x²/2 - 2x
50) ∫ (√x+1)³/x. 2/3 √x³+ 3x + 6√x + log x
51) ∫(1-x³)/(1-x). x+ x²/2+ x³/3
52) ∫ (3x+2)/(x-2). 3x+8log|x-2|
53) ∫ (x²+5x+2)/(x+2). x²/2+ 3x- 4 log|x+2|
54) ∫x³/(x+2). x³/3- x²+ 4x -8 log|x+2|
55) ∫ (x⁴- 2x³+3x-7). x⁵/5- x⁴/2 +3x²/2 -7x
56) ∫ (1+2/√x+3/x). x+ 4√x+ 3 logx
57) ∫ (x+2)(x-3). x³/3- x²/2- 6x
58) ∫(3x²-2)². 9x⁵/5- 4x³+ 4x
59) ∫ {(x²+5x)(3x-2)}/x³. 3x+10/x +13 logx
60) ∫ x²/(x+1). x²/2 - x+ log(x+1)
61)∫(1-x⁴)/(1-x). x+ x²/2+x³/3+x⁴/4
62) ∫ (x-1)²/(x√x). 2x√x/3- 4√x-2/√x
63) ∫ (2x-3)²/ ³√x. 3³√x⁸/2 - 36³√x⁵/5 + 27³√x²/2
64) ∫ (2x-1)/(x+1). 2x - 3 log(x+1)
65) ∫(4+5x)/(3-2x). -5x/2-23/4 log(3-2x)
66) ∫(x³+5x²-3)/(x+2). x³/3+3x²/2-6x +9 log(x+2)
67) If f'(x)= x - 1/x² and f(1)= 1/2, find f(x). x²/2 + 1/x - 1
68) If f'(x)= 3x² - 2/x³ and f(1)= 0, find f(x). x³ +1/x² -2
69) If f'(x)= x + b, f(1)= 5, f(2)= 13, find f(x). x²/2+13x/2 - 2
70) If f'(x)= 8x³ -2x, and f(2)= 8, find f(x). 2x⁴ - x² -20
71) ∫ (2ˣ +3ˣ)/5ˣ. (2/5)ˣ/log(2/5) + (3/5)ˣ/log(3/5)
72) ∫(aˣ+ bˣ)²/aˣbˣ. (a/b)ˣ/log(a/b) + (b/a)ˣ/log(b/a) + 2x
73) ∫ eˣ ˡᵒᵍ ᵃ + eᵃ ˡᵒᵍ ˣ + eᵃ ˡᵒᵍ ᵃ. aˣ/log a + xᵃ⁺¹(a+1)+ aᵃ x
74) ∫(e⁵ˡᵒᵍ ˣ - e⁴ˡᵒᵍ ˣ)/(e³ˡᵒᵍ ˣ - e²ˡᵒᵍˣ). x³/3
75) ∫ (x-2)³/x². x²/2- 6x+ 12logx + 8/x
76) ∫ (px²+ qx +r)/x√x.
77) ∫(2e⁴ˣ - 3e²ˣ+4)/e³ˣ. 2eˣ + 3e⁻ˣ+4e⁻³ˣ/3.
78) ∫ (e⁶ˣ+ e⁴ˣ)/(eˣ + e⁻ˣ). e⁵ˣ/5
79) ∫ (e²ˡ⁰ᵍˣ - e⁻ˡᵒᵍˣ)/(e²ˡ⁰ᵍˣ - eˡᵒᵍˣ). x+ log x - 1/x.
80) ∫ (3²ˣ - 2. 3ˣ+6)/3³ˣ -1/3ˣlog3 + 1/3²ˣlog 3 - 2/3³ˣlog3.
81) ∫(8²⁺ˣ -4²⁻ˣ)/2ˣ⁺³ . 4.2²ˣ/log2 + 2/3. 2⁻³ˣ/log 2
81) ∫ 2³ˣ. 2³ˣ/3log 2
82) ∫ e⁵ˡ⁰ᵍˣ. x⁶/6
83) ∫ xⁿ dx
84) ∫ 5x² dx
85) ∫ x⁶⁾⁵ dx
86) ∫³√(x⁴) dx
87) ∫ 1/√(x) dx
88) √(x) - 1/√(x) dx
80) ∫ (9x⁵+ 8x⁴ +x -9) dx
90) ∫(x+1/x)³
91) ∫(6x² -3x +8 - 1/√(x) + 1/x + 1/x²)
92) ∫(ax³ + bx² + cx +d)/x dx
93) ∫(4x⁸+3x⁵+2x⁴+x³+x²+1)/x³ dx
94) ∫(1-x)(2+3x)(5-4x) dx
95) ∫ (3 - 2x - x⁴) dx
96) ∫ (4x³ + 3x² - 2x +5) dx
97) ∫ (x² -1)² dx
98) ∫ (√x - x/2 + 2/√x) dx
99) ∫(1-3x)(1+x) dx
100) (x⁴ +1)/x² dx
101) ∫ (3x⁻¹ + 4x² - 3x +8) dx
102) ∫ (x - 1/x)³ dx
103) ∫(x² -3x + ³√x +7)/√x dx
104) ∫ (ax + bx⁻²+ cx⁻⁷)/kx⁻² dx
105) ∫(1+x)³/x dx
106) ∫ √x(x⁵ + 3/x) dx
107) ∫(x√x -(1/3) √x + 11/√x) dx
108) ∫ (1-x⁸)/(1-x) dx
109) ∫ (a¹⁾³ - x²⁾³) dx
110) ∫(x+2)(x+3)² dx
111) ∫ (1-2x²)²/x ³√(x) dx
112) ∫ (x³ - 4x² +5x -2)/(x²-2x+1) dx
113) (x³-6x +9)/(x+3) dx
114) ∫(x⁴ +x² +1)/{2(x²+1)} dx
115) ∫ (2e²ˣ + 3e⁴ˣ +4)/e³ˣ dx
116) ∫ (e³ˣ + e⁵ˣ)/(eˣ + e⁻ˣ) dx
117) ∫ e⁵ ˡᵒᵍ ˣ - e⁴ ˡᵒᵍˣ)/(e³ˡᵒᵍˣ -e²ˡᵒᵍˣ)
118) ∫ eᵃ ˡᵒᵍˣ + eˣ ˡᵒᵍ ᵃ) dx
119) ∫ (aˣ + a²ˣ +a³ˣ)/a⁴ˣ dx
120) ∫ (8¹⁺ˣ+4¹⁻ˣ)/2ˣ dx
----------------------------------***-***********
FORMULAE USED
_____________________
* ∫ sinx dx= - cosx + c
** ∫ sin mx dx= - (cos mx)/m +c
* ∫cosx dx = sin x + c
* ∫ cos mx dx= ∫ (sin mx)/m + c
* ∫ sec²x dx= tan x+ c
* ∫ sec² mx dx = (tan mx)/m + x
* ∫ secx tanx dx = secx + c
* ∫ sec mx tan mx dx=(sec mx)m+ x
* ∫ cosec²x dx= - cotx + c
* ∫ cosec²mx dx= -(cot mx)/m + c
* ∫ cosecx cotx dx= - cosecx + c
* ∫cosec mx cot mx dx= -(cosec mx)/m + c
-----------()-------------()------------()-------------
Commonly used Trigonometric formula:
1) sin²x = (1/2) (1- cos2x)
2) cos²x = (1/2) (1+ cos2x)
3) tan²x= sec²x -1
4) cot²x = cosec²x -1
5) sin³x = (1/4) (3 sinx - Sin3x)
6) cos³x = (1/4) (3 cosx + cos3x)
7) sinA cosB=(1/2) [sin(A+ B)+ sin(A- B)]
8) sinA sinB= (1/2)[cos(A- B) -cos(A+ B)]
9)cosAcosB=(1/2) [cos(A+ B)+cos(A- B)]
10) sinx cosx = (1/2) sin2mx
11) sin²mx = (1/2) (1- cos2mx)
12) cos²mx = (1/2) (1+ cos2mx)
EXERCISE--2
____________
1) ∫ cos 2x/sin²x cos²x. -cotx - tanx
2) ∫(a+ b sinx)/cos²x dx. a tanx + b secx
3) ∫ (3sinx - 4cosx+ 5/cos²x - 6/sin²x + tan²x - cot²x). -3cosx- 4sinx +5 tanx +6cotx + tanx + cotx
4) ∫ (cos²x - sin²x)/√(1+ cos4x). x/√2
5) ∫ (2 cos x/5 sin²x + 1/5cos²x) dx. -2/5 cosec x + 1/5 tan x
6) ∫ (sin²x - cos²x)/(sin²x cos²x)dx.
tanx + cot x
7) ∫ sin²(x/2) dx. x/2 - 1/2 sin x
8) ∫ sin²x dx. x/2 - 1/4 sin 2x
9) ∫ cos² mx dx. x/2 + (sin 2mx)/4m
10) ∫ cos³x dx. 3/4 sinx + 1/12 sin3x
11) ∫ sin⁴x dx. 3x/8 - 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x
12) ∫sin²x cos²x dx. x/8 - 1/32 sin 4x
13) ∫sin³x cos³x dx. -3/64 cos 2x + 1/192 cos 6x
14) ∫ (cos 2x+ 2sin²x)/cos²x dx. tan x
15) ∫ sin x sec²x dx. sec x
16) ∫ sin x cos x dx. -1/4 cos 2x
17) ∫ sin 2x cos 2x dx. 1/2[cos x - 1/5 cos 5x]
18) ∫ (cos x cos 2x cos 3x) dx. x/4 + 1/8 sin 2x + 1/16 sin 4x + 1/24 sin 6x
19) ∫ 1/(1+ sin x) dx. tan x- sec x
20) ∫1/(1+ cos x). Tan(x/2)
21) ∫ √(1+ cos x) dx. 2√2 sin(x/2)
22) ∫ √(1- sin 2x) dx. Sinx+ cosx
23) ∫ √(1+ sin x) dx. 2(sin(x/2) - cos(x/2))
24) ∫ cos x √(1+ cos 2x) dx. 1/√2(x + sin x cos x)
25) ∫ sinx/(1+ sinx) dx. Sec x - tan x+ x
26) ∫ (cos 2x - cos 2a)/(cos x- cos a) dx. 2(sinx + x cos a)
27) ∫(cosx - cos 2x)/(1- cosx). 2sinx + x
28) ∫ (sin³x - cos³x)/sin²x cos²x. Secx + cosecx
29) ∫(5cos³x + 6sin³x)/2sin²x cos²x. -5/2 cosecx + 3 secx
30) ∫{(cos x- sin x)(2+ 2sin 2x)}/(cos x+ sin x) dx.
31) ∫ (cos 2x + 2 sin²x)/cos²x dx. tan x
32) ∫sin(x/2) dx. -2 cos (x/2)
33) ∫ cos 3x. 1/3. Sin 3x
34) ∫ (4 - 5sin x)/cos²x. 4 tan x - 5 sec x
35) ∫ (2+ 3cos x)/sin²x. -2cotx - 3cosecx
36) ∫ sin²mx. x/2 - (sin 2mx)/4m
37) ∫ sin³x. 1/4(-3cosx + 1/3 . Cos 3x)
38) ∫sin 4x cos 2x. 1/12 cos 6x -1/4 cos 2x
39) ∫ 3cosec²x + 2sin 3x. -3cot x -2/3 cos 3x
40) ∫ 1/(1 - cos x). -cot(x/2)
41) ∫ 1/(1 + cos x). -cotx+ cosecx
42) ∫ 1/(1- cos 2x). -1/2 cot x
43) ∫ √(1+cos 2x). √2 sinx
44) ∫ 1/(1- sin x). Tan x+ sec x
45) ∫ 1/(1+ sin x). Tan x- sec x
46) ∫ 1/(sin²x cos²x). - cot x+ tan x
47) ∫ cos⁴x sin⁴x. 1/32(3x - sin 4x +1/8 sin 8x)
48) ∫ sin x sin 2x sin 3x. -1/4(-1/6 cos 6x +1/2 cos 2x + 1/4 cos 4x)
49) ∫ (1- cos 2x)/(1+ cos 2x). Tan x - x
50) ∫ (7cos³x + 8 sin³x)/(3sin³x cos²x). 8/3 sec x - 7/3 cosec x
51) ∫(sin⁶x + cos⁶x)/(sin²x cos²x). Tan x - cot x - 3x
52) ∫ sin⁶x. 1/32(10x -15/3 sin 2x +3/2 sin 4x -1/6 sin 6x)
53) ∫ sinx/cos²x. sec x
54) ∫ √(1+ sin 2x). sin x- cos x
55) ∫ √(1- sin 2x). - sin x- cos x
56) ∫ sin x √(1- cos 2x). 1/√2(x - sin x cos x)
57) ∫ (cos²x - sin²x)/(√(1+ cos 4x). x/√2
59) ∫ √(1+ sin(x/2) 4(sinx/2 - cosx/2)
60) ∫ 2 sin x. - 2 cosx
61) ∫ 3 sin x - 2cos x + 4sec²x - 5cosec²x. -3cos x - 2sin x + 4 tanx + 5 cotx.
62) ∫cosec x(cosec x - cot x) dx. cosec x - cot x
63) ∫ tan²x dx. tan x - x
64) ∫ (tan x+ cot x)² dx. Tan x - cot x
65) ∫ (tan2x + sec 2x)². tan 2x+ sec 2x - x
66) ∫ sec x/(sec x + tan x). tan x - x
67) ∫ cot²x dx. - cot x - x
68) ∫ sec²x + cosec²x. Tanx - cotx
68) ∫ sec²x cosec²x dx. Tan x- cot x
69) ∫cosec x/(cosec x - cot x) dx. Cot x - cosec x
70) ∫ sec² 2ax dx. 1/2a. Tan 2ax
71) ∫ 1/2 sec²x. 1/2 tan x
72) ∫ cot x/((cosecx - cotx). - cosecx - cotx
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