EXERCISE -A
*********
1) (3x+5)(7- 3x). -18x+6
2) (x²+7)(3+ 2x - x²). -4x³+6x²-8x+14
3) (x²-1)(2x³+3). 2x(5x³-3x+3)
4) (3x²+1)(x³+2x). 15x⁴+21x²+2
5) (2x²+ 3x+5)(3x²-7x+6). 24x³- 15x²+ 12x -17
6) (ax²+ bx+ c)(px +q). 3apx³ + 2(bp + aq)x+(cp + bq)
7) (ax²+ bx+ c)(px +q). 3apx³ + 2(bp + aq)x+(cp + bq)
8) (3x -5)²{2√x + 5/(x√x)}. 5√x(3x-5) {3- 1/x + 3/(2x²) +15/(2x²)}
EXERCISE - B
1) (7- 3x²)(4x²+5)(3- x²). 2x(36x⁴- 98x²-4)
2) x²(x²+4x +9)(2x²-11x +7). 16x⁵- 15x⁴ - 76x³ - 213x²+ 126x
3) (x³+5)(3x²-11)(2+ √x). 33x⁴√x/2 + 30 x⁴ - 77x²√x/2 - 66x²+ 75x √x/2 + 60x - 55/(2√x)
4) (x³+2)(2x+1)(3x²-1). 36x⁵+ 15x⁴ - 8x³ + 33x² + 12x -4
5)
EXERCISE - C
2) (x² -1)/(x²+1). 4x/(x²+1)²
4) (5-4x)/(5+4x). -40/(5+4x)²
5) (2x+5)/(3x+4). -7/(3x+4)²
6) (2x²+3)/(8- 3x²). 50x/(8-3x²)²
7) (ax+b)/(px+q). (aq - bp)/(px+q)²
8) (x²+5x+7)/(3x+2). (3x²+4x -1)/(3x+2)²
9) (2x²+3x-5)/(x²-5x+7). (-13x²+ 33x -4)/(x²- 5x+7)²
10) (ax²+bx+c)/(px+q). [apx² + 2aqx +(bq - cp)/(px+q)²
11) (√a + √x)/(√a - √x). √a/{√x(√a - √x)².
EXERCISE - D
1) (3x +5)¹¹. 33(3x +5)¹⁰
2) (5- 4x)⁷. -224(5- 4x)⁶
3) (x² +5)⁹. 18x(x² +5)⁸
4) (ax²+ bx +c)ⁿ. n(2ax +5)(ax²+ bx + c)ⁿ⁻¹
5) (x² - 3x +1)⁵. 5(x²-3x+1)⁴(2x-3)
6) (x² + x+1)⁴. 4(x²+x+1)³(2x+1)
7) 1/(1-2x). 2/(1-2x)²
8) 3/(x²+2). -6x/(x²+2)²
9) 1/√(a² - x²). x/√{a²- x²)³
10) 7/(3- 2x²)³. -84/(3- 2x²)⁴
11) 1/(x²+ a²)ⁿ. - 2xn/(x²+ a²)ⁿ⁺¹
12) √(2x -4). 1/√(2x -4)
13) √(4 - 5x). -5/{2√(4 - 5x)}
14) √(4 - 5x - 3x²). (-5-6x)/{2√(4 - 5x - 3x²)}
15) √(ax² + bx+c). (2ax+b)/{2√(ax² + bx+c)}
16) ³√(2x²+3). 4x/3. (2x²+3)⁻²⁾³
17) ³√(4 - 3x²). -2x(4- 3x²)⁻²⁾³
18) √(2+ 3x⁷). 21x⁶/2. (2+ 3x⁷)
19) √(a+ bxᵐ). mbxᵐ⁻¹/2. √(a+ bxᵐ)
20) 2/√(2x+3)³. -6 (2x+3)⁻⁵⁾²
21) a/√(bx+c)⁵. (-5ab/2)(bx+c)⁻⁷⁾²
22) 7/³√(x²-5x+4)⁵. ( -35/3)(x²-5) (x²- 5x+4)⁻⁸⁾³
23) (x²+9)⁷⁾². 7x(x²+9)⁵⁾²
24) (16 -x³)³⁾⁵. -9x²(16-x³)⁻²⁾³/5
25) (7- 2x - x²)⁻¹¹⁾⁴. 11(1+x)(7- 2x- x²)⁻¹⁵⁾⁴/2
EXERCISE - E
1) x= at² ; y= 2at. 1/t
2) x= t² + 1 ; y= 2t³+ 3t. 3(2t²+1)/2t
3) x= ct ; y= c/t. -1/t²
4) x= 10t/(t²+1) ; y= 5(t²-1)/(t²+1). t/(1- t²)
5) x= 1/t³ ; y= t² at t=1/2. -48
6) x= t²/(1+ t²) ; y= t²/(1+ t²) at t=1. 1
7) x= 3at/(1+ t) ; y= 3at²/(1+t³) at t= 1. 1/9a
8) x= √{(t²-1)/(t²+1)} ; y= t.√{(t²-1)/(t²+1)} at t=1/2.
EXERCISE - F
1) y²= 4ax.
2) x²+ y²- 6x =16.
3) x²/4 + y²/9 =1.
4) x²/a²- y²/b²=1.
5) x²y² =k (≠0).
6) 2x²+ 5y²+ 3xy =10.
7) ax²+ 2hxy + by²+ 2fx + 2fy =0.
8) x⁵- 8x³y³+ 3x²y²+ y⁵ =1.
9) √x+ √y =√a.
10) x²⁾³ + y⁻²⁾³ = a⁻²⁾³.
11) xⁿ + yⁿ = aⁿ.
12) xᵐ. yⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
13) 2x²+ 3xy + 5y²+ 8x + 3y -5=0.
14) ax²+ 2hxy + by² =0.
15) x³+ y³+ 6x + 8y -11=0.
Miscellaneous - 1
1) (x²+2)⁵(3x -5)⁴. 2x(3x⁴-5)³(x²
+2)⁴(39x⁴ + 48x² -25).
1) {√(x²+1) -x}/{√(x²+1)+x}. 2{2x - (2x²+1)/√(x²+1)}.
3) √(x²+ x+1). (2x+1)/2√(x²+x+1)
4) √{a²- x²)/(a²+x²)}. -2a²x/{√(a²-x²) √(a²+x²)³}
5) √{1- x²)/(1+x²)}. -2x/{√(1-x²) √(1+x²)³}
6) √{1+x)/(1-x)}. -x/{√(1+x) √(1-x)³}
7) 1/{√(x+a) - √(x- a)}.
8) {x³ √(x² -12)}/{3√(20-3x)} when x= 4. 120
EXERCISE -G
1) sin mx m cos mx
2) sin 2x. 2. Cos2x
3) 8 sin3x+ 5 sin2x + 3 sinx. 24 cos 3x + 10 cos2x + 3 cosx
4) x Sinx. x cosx + Sinx
5) x². Sin3x - 3x². 3x²cos3x + 2x sin3x - 6x
6) (Sinx)/x. (x cosx - sinx)/x²
7) sin²x sin 2x
8) √(sinx). 1/2.cosx/.√sinx
9) sin √x. (Cos√x)/(2√x)
10) √{sin √x}. Cos√x/[4√x√{sin √x}]
11) sin√x √sinx. 1/2{cosx sin√x/√sinx + √sinx cos√x/√x}
12) sin(ax-b). a cos(ax-b)
13) (1+sinx)/(1- sinx). 2cosx/(1-sinx)²
14) 2 sin²3x. 6 sin6x
15) sin²(7x+2). 7 sin(14x+4)
16) sinx° . π/180 . Cosx°
17)) √{(1+sinx)/(1- sinx)}. secx(tanx + secx)
18) Sin{(1+x²)/(1-x²)}. cos{(1+x²)/(1-x²)} . 4x/(1-x²)²
19) sinx sin2x sin3x. 1/2(cos2x + 2cos4x - 3 cos6x)
20) sin√(x²+ a²) . (xcos√(x²+ a²))/√(x²+ a²)
EXERCISE - H
1) cos 4x. -4 sin4x
2) x cos 4x. - 4x sin 4x + cos 4x
3) (cos5x)/√x. ( -10x sin5x - cos5x)/2x√x
4) cos(x²+4)/cos(2x²+3x+5).
5) cos⁷(3x+5). -21cos⁶(3x+5) sin(3x+5)
6) cosᵐx. - m cosᵐ⁻¹x Sinx
7) cos√(x²+3). {-x Sinx√(x²+3)}/√(2x²+5)
EXERCISE - I
1) tan(3x+4). 3sec²(3x+4)
2) (3x²+7) tan(2x+3). 2(3x²+7) sec²(2x+3) + 9x² tan(2x+3)
3) tan⁹(x²+4x+7). 9(2x+4) tan⁸(x²+4x+7) sec²(x²+4x+7)
4) x²tan⁸(x²). x² tan⁷(x²) [16x² sec²(x²)+ 3 tan(x²)]
5) tanᵐ(ax²+ bx+c). m tanᵐ⁻¹(ax²+ bx+c) sec²(ax²+ bx+ c) (2ax+ b)
6) tan√x. 1/2√(x). sec²√x
7) tan²x . 2tanx sec²x
8) tan(x+π/2). sec²(x+π/2)
9) tan(x°+ 45°). π/180 sec²(x°+ 45°)
EXERCISE- J
1) sec(5x+3). 5sec(5x+3) tan(5x+3)
2) x² sec(ax+ b). 2xsec(ax+b)+ ax² sec(ax+ b) tan(ax+ b)
3) cosec(ax+ b). -a cosec(ax+ b) cot(ax+ b).
4) sec³x. 3sec³x tanx
5)
Miscellaneous - 2
1) sinx tan x. sinx(1+sec²x)
2) secx tanx . secx(tan²x + sec²x)
3) (xtanx)/(secx + tanx). (Sinx + x cosx + sin²x)/(1+sinx)².
4) (1+cotx)(3- 2sinx). -{cosec²x (3- 2sinx + 2cosx(1+cotx)}
5) (sinx/2 + cosx/2)². Cosx
6) sin2x/cos3x. (2cos2x cos3x + 3sin2x sin3x)/cos²3x.
7) cos(sinx²). -2xcosx² sin(sin x²)
8) (sinx + x²)/cot 2x. 2(sinx + x²)sec²2x + (cosx + 2x)tanx
9) sin4x cos 7x. 1/2(11cos11x - 3 cos3x)
10) 2tan²3x + 3 cot²2x. 12(tan3x. sec²3x - cot2x. cosec²2x)
11) sinᵖx cosʳx. sinᵖ⁻¹x cosʳ⁻²x (pcos²x - q sin²x)
Find dy/dx given that
12) x= a cos k; y = b sin k. -b cot(k/a)
13) x= a cos² k; y = b sin² k. -b tan(k/a)
14) x= a(k - sin k) ; y = a(1- cos k). cot(k/2)
15) x= a(cosk + k sin k) ; y = a(sink - k cos k). tan2k + sec2k
Find dy/dx if
16) 2 sin3x + 3 cos 5y =2. 2/5 cos3x/sin5y
17) tan(3x+ 4y) = 3. -3/4
EXERCISE- K
1) log sin(x²+ a²). 2xcot(x²+a²)
2) log sin√x. 1/(2√x). Cot√x
3) log(secx + tanx). secx
4) log ³√{x+√(x²+a²)}. 1/3√(x²+a²)
5) log√{(1-cosx)/(1+cosx)}. Cosecx
6) log(1+ cosx). -sinx/(1+cosx)
7) logₐ sinx. cotx/log a
8) logₛᵢₙ ₓ x. (log sinx - x cotx logx)/{x(logsinx)²}
9) log tan cos(e²ˣ). -{2e²ˣsec²(cos e²ˣ)(sin(e²ˣ)}/tan(cose²ˣ)
10) (Log sinx)². 2(Log sinx)cot x
11) log(sin 3x). cot x
12) log(4x -7). 4/(4x-7)
13) log₇ (log₇x). 1/{(xlog₇x (log7)²}
14) logₓ 2 -1/(log₂x)² · 1/(xlogₑ2)
15) log(3x+2) - x² log(2x -1). 3/(3x+2) - 2x²/(2x-1) - 2x log(2x-1)
16) log₇(2x-3). 2/{(2x-3) log₇}
17) log ⁵√{x+ √(x² +a²)}. 1/5√(x²+a²)
18) log{log(log x)}. 1/{xlog x. Log(log x)}
19) log{(x²+x+1)/(x²-x+1)}. 2(1-x²)/{(x²+x+1)(x² - x+1)}
20) log cosx. - tanx
21) log sin x². 2x cot x²
22) log(secx + tanx). Sec x
23) Log tan(π/4 + x/2). Secx
24) √[log{sin(x²/3 - 1)}]. x cot(x²/2 -1)/√3[log{sin(x²/3 - 1)}]
25) Log {x+√(a² + x²)}. 1/√(a²+x²)
26) Log{(a+ b sinx)/(a - b sinx). (2ab cosx)/(a² - b² sin²x)
26) Log √{(1+sinx)/(1- sinx)}. secx
26) log₁₀ x + log ₓ10 + logₓx+ log₁₀10. 1/x log10 - log 10/(xlogx)²
27) log(logx). 1/(x logx)
27) √(logx)³. 3/2x. √(logx)
28) log{log(logx)}. 1/[x logx{log(logx)}]
29) log[eˣ{(x-2)/(x+2)}³⁾⁴]. (x²-1)/(x² -4).
30) logₛᵢₙₓx. (logsinx - xlogx. cotx)/(x(log sinx)²
31) log₂(sinx³). 3x²cot(x³)log₂e
32) 1/√(logsecx). -1/2. tanx(lig(secx))³⁾²
33) log secx. tanx
EXERCISE - L
1) e²ˣ . 2e²ˣ
2) e⁻ˣ. - e⁻ˣ
3) ₑ cosx. ₑcosx (-sinx)
4) ₑ sinx². 2x cosx² ₑ sinx²
5) ₑ√x. ₑ√x/2√x
6) ₑ√(2x). 1/√(2x) .ₑ(√2x)
7) ₑ4(x² - log x +1). 4(2x - 1/x) ₑ4(x² - log x +1)
8) (eˣ -1)/(eˣ+1). 2eˣ/(eˣ+1)²
9) (eˣ + e⁻ˣ)/(eˣ- e⁻ˣ). 4/(eˣ +e⁻ˣ)²
10) ₑx². 2xₑx²
11) e²ˣ. 2e²ˣ
12) ₑsinx. ₑsinx . cosx
13) xeˣ. (x+1)eˣ
14) x²eˣ. (x²+2x)eˣ
15) ₑx sinx. ₑx sinx. (x cosx + sinx)
16) 1/(eˣ+1)². -2eˣ/(eˣ+1)³
17) ₑ√tanx. {ₑ√tanx} . Sec²x/2√tanx
18) ₑeˣ. eˣ. ₑeˣ
19) eᵃˣcos(bx +c). eᵃˣ{- b sin(bx +c) + a cos(bx+c)}
20) eˣsecx. eˣ(1+ tanx) secx
21) eˣlog tan 2x. eˣ{log tan 2x +4 cosec2x)
22) eˣx² log x. eˣx²(1+2 logx + x logx).
23) eˣ/(1+ sinx). 2eˣ/(eˣ+1)²
24)
EXERCISE - M
1) 2⁵ˣ. 5. 2⁵ˣ log 2
2) ₃5√x. (5. ₃5√x log 3)/2√x
3) ₃2(x³ -1). 6x²₃2(x³ -1) log 3
4) ₅3-x² + (3-x²)⁵. -2x[₅3-x² log5 + 5 (3-x²)⁴].
5) 8ˣx⁸. 8ˣx⁷(x log 8+8)
6) ₂2x²+ 5x. (4x+5)₂2x²+ 5x log 2
7) 10ˡᵒᵍ ᶜᵒˢˣ. -tanx. 10ˡᵒᵍ ᶜᵒˢˣ.log10
Miscellaneous -3
1) 2x³ - 4e²ˣ + log ³√x -2. 6x² - 8e²ˣ +1/3x
2) (x sinx + eˣ cotx). sinx + x cosx + eˣ cotx - eˣcosec²x
3) (x² - logx +1)³. 3(x²- logx +1)²(2x - 1/x)
4) sin(eˣx²). eˣx(2+x)cos(eˣx²)
5) (eˣ + logx)/sin3x.
6) 2³ˣ log ³√x. 2³ˣ(log2 logx + 1/(3x))
7) sin²(log x²). (2sin 2(logx²))/x
8) Sin(log x). 1/x cos(log x).
9) Sin(log sinx). Cos(log sinx).cotx
10) Sin(ₑ x²). 2x ₑ x² cos(ₑ x²)
11) (eˣ+ logx)/sin3x. {(eˣ+1/x)sin3x - 2(eˣ+ logx) cosx}/sin²3x
12) eᵃˣlog(1+ x²). eᵃˣ{2x/(1+x²) + alog(1+x²).
13) (sinx)/x log(xˣ/eˣ) + (cosx)/x log (eˣ/xˣ). 1/x[(sinx - cosx) + (cosx + sinx)(log x -1)]
14) Sec(log xⁿ). n/x .Sec(log xⁿ). tan(log xⁿ).
15) x² eˣ log x. xeˣ(1+2log x + x log x)
16) x² sinx log x. x(2sinx log x + x cosx log x + sinx)
17)
19) cos³ log (x tan√x). -3 sec²log(x tan√x). {Sinlog(xtan√x)}/ (xtan√x). [√x/2. Sec²√x + tan√x]
20) sin(bx +c). ₑax . ₑax[b cos(bx+c)+ a sin(bx+c)]
21) sin(π/6 eˣʸ) find dy/dx at x=0. √3π/24
EXERCISE - N
1) log f(x). (f'(x))/f(x)
2) ₑsin€(x). Cos€(x). €'(x). ₑsin€(x)
3) {f(x)}ⁿ. n{f(x)}ⁿ⁻¹f'(x)
4) ₑ€(x). €'(x).ₑ€(x)
5) log[√{f(x)}]. f'(x)/2f(x)
6) 3ᵘ⁽ˣ⁾ 3ᵘ⁽ˣ⁾ log 3. u'(x)
7)sin{f(x)}. cos{f(x)} f'(x)
8) sec f(x). f'(x)sec f(x).tan f(x).
EXERCISE - O
1) x² + y² = 4. -x/y
2) 2x² + 3xy+3y²= 1. -(4x+3y)/(3x+6y)
3) x³ + y³= 3axy. (x²- ay)/(ax-y²)
4) ³√x² + ³√y²= ³√a². - ³√(y/x)
5) xy= c². - y/x
6) y³ - 3xy²= x³+ 3x²y. (x+y)²/(y²- 2xy- x²)
7) x⁵ + y⁵ = 5xy. (y-x⁴)/(y⁴-x)
8) x²/a² + y²/b²= 1 - xb²/ya²
9) 4x+ 3y = log(4x - 3y). 4(1-4x++3y)/3(4x- 3yy+1)
10) (x+y)²=2axy. (ay-x-y)/(x+y-ax)
11) (x²+y²)²=xy. {4x(x²+y²)--y}/{x-4y(x²+y²)}
12) x= y log(xy). {y(x-y)}/{x(x+y)}
13) ax² + 2hxy + by² +2qx + 2fy+ c= 0. (ax+hy+g)/(hx+by+f)
14) log(xy)= x² - y² when x= 1, y=1. 1/3
15) x⁴ + 3x²y² - 2y⁴= 5. {x(2x²+3y²)}/{y(3x²-4y²)}
16) a sin(xy) + b log y= c. (ay²cosxy)/(axy cos(xy)+b).
17) xy= cot(x+y). (y+1+x²y²)/(x+1+x²y²)
18) eˣ ⁻ ʸ = Log(x/y). y/x.{(xeˣ ⁻ ʸ-1)/(yeˣ ⁻ ʸ -1)}.
19) sin(xy)+ cos(x+y)= 1. {sin(x+y) - y cos(xy)}/{xcos(xy) - sin(x+y)}
20) sin(xy) + y/x = x² - y². {2x³+ y - x²y cos(xy)}/{xcos(xy)+1+2xy}
21) tan(x+y) + tan(x -y)= 1. {sec²(x-y)+ sec²(x+y)}/{sec²(x-y) - sec²(x-y)}
22) ax² + 2hxy+ by² +2gx+ 2fy +c= 0. -(ax+ hy+g)/(hx+ by+f)
23) x² + 2xy + y³= 42. -2(x+y)/(2x+3y²)
24) x³ + y³ = 3axy. (ay-x²)/(y²-ax)
25) x= yˣ.
EXERCISE - P
1) x¹⁾ˣ x¹⁾ˣ(1- logx)/x²
2) ₁₀10ˣ. ₁₀10ˣ10ˣ (log10)²
3) (1+x)ˣ. (1+x)ˣ[x/(1+x) + log(1+x)]
4) xˢᶦⁿˣ . xˢᶦⁿˣ(sinx/x + cosx logx)
5) ₓcos²x. ₓcos²x(cos²x/x - sin2x logx)
6) xʸ= eˣ. (x-y)/(x log x)
7) (xˣ)ˣ. ₓx²(x+ 2x logx)
8) (tanx)ˢᶦⁿ ˣ when x = π/4. √2
9) sin(logx) + xᶜᵒˢˣ. xᶜᵒˢˣ(cosx/x - sinx. log x) + 1/x cos(logx)
10) (sinx)ᶜᵒˢˣ + e³ˣ. (sinx)ᶜᵒˢˣ (cosx. cotx - sinx log(sinx)) + 3e³ˣ
11) (1+x)²ˣ 2(1+x)²ˣ{x/(1+x) + log(1+x )}
12) ₓ log x 2. ₓlog x-1. log x
13) ₓeˣ ₓeˣ eˣ (1/x + log x)
14) ₓlog(log x). ₓ log(log x){(1+log(log x)}/x
15) ₓ sinx. ₓ sinx(cosx. Log x + (sinx)/x)
16) (sinx)ˣ (sinx)ˣ[log(sinx)+ x cot x]
17) (sinx)ˡᵒᵍ ˣ (sinx)ˡᵒᵍˣ{1/x log(sinx)+ log x. cot x}
18) (logx) ˢᶦⁿ ˣ (logx) ˢᶦⁿ ˣ {log(log x). Cosx + (sinx)/xlog x}
19) y²= (sinx)⁻ˣ. -y/2(xcotx + log(sinx))
20) ₓxˣ. ₓxˣxˣ(1/x + logx.(1+logx))
21) xˣ+ x² xˣ(1+ logx) + 2x
22) xʸ + yˣ= 1 (xʸ. y/x + yˣ. logy)/(xʸ. logx + yˣ. x/y)
23) xʸ. yˣ = eʸˣ - 3x. (yeʸˣ- 3 - uy/x - u logy)/(ulogx + ux/y - xeʸˣ) where u= xʸ. yˣ
24) ₓeˣ. ₓeˣ . eˣ(logx + 1/x)
25) (logx)ᶜᵒˢˣ. (logx)ᶜᵒˢˣ.(cosx/xlogx - sink log(log x))
26) log(xy) = x² - y² when x=y=1. 1/3
27) xʸ = yˣ . x(xlog y-y)/x(ylogx -x) .
28) xʸ.yˣ = 1 -y/x(y+ x logy)/(ylogx + x)
29) (cosx)ʸ =(siny)ˣ. (ytanx + logsiny)/(logcosx - xcoty)
30) eˣʸ - 4xy = 4. -y/x (eˣʸ≠4)
31) x³ y⁴ = (x+y)⁷. y/x
32) xy = tan(x+y). y/x (x. eˣ⁺ʸ -1)/(1 - y. eˣ⁺ʸ).
33) xy + 1= cos(xy) when x= π/2, y= 0. 0
34) yʸ = sinx. cotx/(1+ logy)
35) log(xy)= eˣ⁺ʸ + 2. y/x. (x. eˣ⁺ʸ- 1)/(1 - y. eˣ⁺ʸ)
36) ₓx² + ₐx². ₓx²(1+ 2logx)+2x. ₐx²logₑa
37) xˣ + logxˣ . (x+1)(1+logx)
38) (tanx)ᶜᵒᵗˣ+(cot) ᵗᵃⁿˣ. tanx)ᶜᵒᵗˣ(cosec²x(1- logtanx))+(cot) ᵗᵃⁿˣ(sec²x(logcotx - 1))
39) (sinx)ᶜᵒˢˣ+(cosx)ˢᶦⁿˣ. (sinx)ᶜᵒˢˣ(cosx cotx - sinx log(sinx))+(cosx)ˢᶦⁿˣ(cosx log(cosx) - sinx tanx)
40) eʸ - (a+ b tanx)/(a - b tanx)= 0
41) ₜₐₙₓtanxᵗᵃⁿˣ at x=π/4. 2
EXERCISE - Q
1) x= a sec³a, y= atan³a, at a=π/4. 3/2
2) x= m(cosa+ asina), y= m(sina - a cosa),at a= 3π/4. -1
3) x= a cost , y= a sint
4) x= a cos(t/2) , y= b sin(t/2). -b/a cot(x/2)
5) x= at² , y= 2at. 1/t
6) x= a cos³t , y= a sin³t. -tant
7) x= t log t , y=( logt)/t.
8) x= a(cos t+ logtan t/2) , y=asint. tant
9) x= a(t - sint) , y=a(1 - cost). cot t/2
10) x= (2t + sin2t) , y= a(1- cos2t). tant.
11) x= aeᵗ(sint - cost), y= aeᵗ(sint + cost). Cot t
12) x=b sin²t and y =a cos²t. -a/b
13) x= (eᵗ + e⁻ᵗ)/2 and y=(eᵗ - e⁻ᵗ)/2. x/y
14) x= eᵗ(t + 1/t) and y= e⁻ᵗ(t- 1/t). e⁻²ᵗ(t²- t³+t+1)/(t³+t² +t-1)
15) x= 2t/(1+t²), y= (1-t²)/(1+t²). -x/y
16) x= 3at/(1+t²), y=3at²/(1+t²). 2t/(1-t²).
17) x=(1-t²)/(1+t²), y= 2t/(1+t²). (t²-1)/2t
18) x= 2 cost - cos 2t, y= 2sint - sin 2t. Tan(3t/2)
19) x=sin³t/√(cos2t), y= cos³t/√(cos2t). - cot 3t
20) x=(t + 1/t)ᵃ, y=aᵗ⁺ ¹⁾ᵗ (aᵗ⁺¹⁾ᵗ log a)/a(t+ 1/t)ᵅ⁻¹
21) x= a{(1+t²)/(1-t²)} y= 2t/(1-t²). (1+t²)/2at.
22) x=a{cost + 1/2 log tan²t/2}, y= a sint. tant
23) x= a(t - sint), y= a(1-cost). Cot t/2
24) x= a sec³t, y= a tan³t, at t= π/3. √3/2
EXERCISE - R
1) x² w.r.t. logx. 2x²
2) tanx w.r.t. logx. x sec²x
3) cotx w.r.t. cosecx. Secx
4) log x w.r.t. tan⁻¹x. (1+x²)/x. Loge
5) xˣ w.r.t. x log x. xˣ
6) log(1+ x)² w.r.t log x.
7) (logx)ˣ w.r.t. log x. (log x)ˣ⁻¹[1+ logx . Log logx]/x
8) (Cosx)ˢᶦⁿˣ w.r.t. (sinx)ᶜᵒˢˣ. (Cosx)ˢᶦⁿˣ(cosx.log cosx - sinx.tanx)/ (sinx)ᶜᵒˢˣ(-sinx logsinx + cosx. cotx).
EXERCISE - S
Prove:
1) If y= 1+ x/1! + x²/2! +x³/3! + ... Then dy/dx= y.
2) If y= 1+ x/1! + x²/2! +x³/3! + ...xⁿ/n! Then dy/dx= y+ xⁿ/n! =0
3) If f(x)= axⁿ, then a= f'(1)/n.
4) If y logx = x - y then y₁= (logx)/(1+ logx)².
5) If x√(1+y) + y√(1+x)= 0 then (1+x)² y₁+1= 0: (x≠ y).
6) If y= 5x/³√(1-x)² + cos²(2x+1), then y₁= 5(3-x)/{3 ³√(1-x)⁵} - 2 sin(4x+2).
7) If y= {(√x +1)(x² - √x)}/{x√x + x + √x) + 1/15 (3 cos²x - 5)cos³x then y₁= 1 + sin³x cos²x.
8) y= - cot²(x/2) - 2 log sin(x/2), then y₁= cot³(x/2).
9) If siny = x sin(a+y), then y₁= {sin²(a+y)}/sina.
10) y= √[logx + √{logx + √(logx + ......)}], then y₁= 1/{x(2y-1)}
11) If y= log tan(π/4+ x/2), then y₁ = secx.
12) If y= (1- cosx)/(1+ cosx), then y₁ = tan(x/2). Sec²(x/2).
13) If y= {x+ √(x² - 1)}ⁿ, then (x²-1) (y₁)²= n²y².
14) If x ᵐ ⁿ = (x+y)ᵐ⁺ⁿ, then y₁=y/x
15) If 2x= y¹⁾ᵐ + y ⁻¹⁾ᵐ , then (x²-1)(y₁)²= m²y.
16) If y= 1 + a/(x-a) + bx/{(x-b)(x-a)}, then y₁= y/x{a/(a-x) + b/(b-x)}.
17) If y= xʸ, then x y₁= y²/(1 - y logx) .
18) If y= log[√{2x + √(4x²+a²)}], then y₁ = 1/√(4x² + a²).
19) y logx = x + y, then y₁=(logx -2)/(logx - 1)².
20) IF eʸ = yˣ. then y₁= (log y)²/(log y -1)
21) If x³ y⁴ = (x+y)⁷, then y₁= y/x.
22) eʸˣ = 4(2+ xy) and eʸˣ≠ 4, then y₁= - y/x
23) If y = √[x +√{ x + √(x +......)}], Then y₁= 1/(2y -1).
24) If y= ₓxˣ····∞ then y₁= y²/x(1 - y logx) .
25) If y= ₑx+eˣ⁺ᵉ ···∞ then y₁= y/(1-y).
26) If y=√[cosx +√{cosx +√(cosx+..... ∞ , then y₁= (sinx)/(1- 2y) .
27) If y=√[tan x +√{tanx + √(tanx+..... ∞ , then y₁= (sec²x)/(2y - 1) .
28) If y= ₛᵢₙₓsinxˢᶦⁿˣ····∞ then y₁= (y² cot x)/(1- y log sinx).
29) If f(x)= {(a+x)/(b+x)}ᵃ⁺ᵇ⁺²ˣ then f'(0)= {2 log(a/b) + (b²-a²)/ab}(a/b)ᵃ⁺ᵇ.
30) If y= 1 + a/(x-a) + bx/{(x-a)(x-b)} + cx²/{(x-a)(x-b)(x-c)}, then y₁=y/x{a/(a-x) + b/(b-x)(c-x)}.
31) If y= {x + √(x² + a²)}, then y₁=ny/√(x² + a²).
32) If y= {√(a²+x²)+ √(a²- x²)}/{√(a²+ x²) - √(a² - x²)} then y₁=-2a²/x³{1+ a²/√(a⁴ - x⁴)} .
33) If y= √{1-x)/(1+x)} then (1-x²)y₁+ y = 0.
34) If y=√{(1+eˣ)/(1- eˣ)}, then y₁=y=eˣ/{(1- eˣ)√(1 - e²ˣ)}.
35) If log{√(x-1) - √(x+1)}, then y₁= -1/{2√(x² -1)}.
36) If y= √(x+1)+ √(x-1) then √(x²-1) y₁= y/2.
37) If y= x/(x+2), then x y₁=(1- y) y
38) If y= log(√x + 1/√x), then y₁= (x-1)/{2x(x+1)}.
39) If y = √x + 1/√x, then 2x y₁=√x - 1/√x.
40) If (eˣ - e⁻ˣ)/(eˣ + e⁻ˣ) then dy/dx= 1 - y².
41) If y= (x -1) log(x -1) - (x+1) log(x+1), then dy/dx= log{(x-1)/(1+x)}.
42) If y= (eˣ cosx) then dy/dx =√2 eˣ cos(x + π/4).
43) If y= 1/2 log {(1 - cos2x)/(1+ cos2x). Then dy/dx= 2 cosec 2x.
44) y= √(x² +a²), then y dy/dx - x= 0.
45) If y= (eˣ + e⁻ˣ) then dy/dx= √(y³ -4).
46) If y= √(a² - x²), then y dy/dx + x= 0
47) If xy= 4, then x(dy/dx + y²)= 3y.
48) If siny = x sin(a+y), then dy/dx= {sin²(a+y)}/sina.
49) If √(1- x⁶)+ √(1-y⁶)= a(x³ - y³) then dy/dx= x²/y² √{(1-y⁶)/(1-x⁶)
50) If x² + y² = t+ 1/t and x⁴ + y⁴ = t² + 1/t², then dy/dx= 1/x³y.
51) If √(1-x²)+ √(1- y²)= a(x -y), then dy/dx= √{(1-y²)/(1-x²)}.
52) If y√(1-x²)+ x√(1-y²)= 1, then dy/dx= - √{(1-y²)/(1-x²)}.
53) If xy= 1, then dy/dx + y² = 0.
54) If xy² = 1, then 2 dy/dx + y³= 0.
55) If sec{x+y)/(x-y)}= a, then dy/dx= y/x.
56) If xy log(x+y)= 1, then dy/dx= {y(x²y + x+y)}/{x(xy² +x+y)} .
57) If y= x sin(a+y), then dy/dx= {sin²(a+y)}/{sin(a+y)- y cos(a+y)}
58) If x sin(a+y)+ sina cos(a+y)= 0, then dy/dx= {sin²(a+y)}/sina.
59) If y = x siny, then dy/dx= y/(1- x cosy).
60)*** If y √(x²+1)= log √(x²+1), then (x³+1) dy/dx + xy +1 = 0
61) If sin(xy) + y/x = x² - y², then {2x³ + y - x²y cos(xy)}/{x(x² cos xy +1+ 2xy}.
62) If√(y+x) + √(y-x)= c then dy/dx= y/x - √{y²/x² - 1}
63) If (eˣ - eʸ)= eˣ⁺ʸ, then dy/dx= {eˣ(eʸ - 1)}/{eʸ(eˣ +1).
64) If cosy = x cos(a+y), then dy/dx= {cos²(a+y)}/sina.
65) If xʸ = eˣ⁻ʸ, then dy/dy= (logx)/(1+ logx)².
66) If cosx/2 . Cosx/4. Cosx/8. ....= (Sinx)/x, then 1/2² sec²x/2 + 1/2⁴ sec²x/4 + .....= Cosec²x - 1/x².
67) If x¹³ y⁷ =(x+y)²⁰, then dy/dx= y/x
68) If x¹⁶ y⁹= (x²+ y)¹⁷, then x dy/dx = 2y.
69) If y= sin(xˣ), then dy/dx= cos(xˣ). (xˣ)(1+ logx).
70) If xˣ + yˣ= 1, then dy/dx= -[{xˣ(1+ logx) + yˣ. logy}/x.yˣ⁻¹].
71) If xʸ. yˣ = 1. Then dy/dx= -[{y(y+ x log y)}/{x(y logx + x)}].
72) If xᵐ yⁿ= 1, then dy/dx= -my/nx.
73) If yˣ= eʸ⁻ˣ, then dy/dx= (1+ logy)²/log y.
74) If (sinx)ʸ = (cosy)ˣ, then dy/dx= {(log cosy - y cotx)/(log sinx + x tany)}.
75) If (Cosx)ʸ= (tany)ˣ, then dy/dx= {(log tany + y tanx)/(log cosx - x secy cosec y)}.
76) If eʸ = yˣ, then dy/dx= (log y)²/(log y -1).
77) If eˣ⁺ʸ - x = 0, then dy/dx= (1-x)/x
78) If y= x sin(a+y), then dy/dx= {sin²(a+y)}/{sin(a+y)- y cos(a+y)}.
79) If x sin(a+y)+ sina cos(a+y)= 0, then dy/dx= {sin²(a+y)}/sina.
80) If (sinx)ʸ= x+ y, then dy/dx= {1- (x+y) y cotx}/{(x+y) log sinx - 1}
81) If xy log(x+y)= 1, then dy/dx= -{y(x²y + x +y)}/{x(xy² + x +y)}.
82) If y= x sin y, then dy/dx= y/{x(1- x cosy)} .
83) If y = ₐxᵃ.....∞, then (y² logy)/{x(1- y logx. Logy)}.
84) If (√ₓ)(√x)√ˣ.....∞ then dy/dx= y²/{x(2- y logx)}.
85) If x= e ᶜᵒˢ ²ᵗ and y= eˢᶦⁿ ²ᵗ , then dy/dx= -(y logx)/(x log y).
86) If x= cos t and y= sint , then dy/dx =1/√3 at t= 2π/3.
87) If x= a(t+ 1/t) and y= a(t - 1/t), then dy/dx= x/y.
EXERCISE - T
1) sin⁻¹3x. 3/√(1-9x²)
2) sin⁻¹(x³) . 3x²/√(1-x⁶)
3) Sin⁻¹√(x-1). 1/{2√(x-1)(2-x)}
4) sin⁻¹(2x √(1-x²)). 2/√(1-x²)
5) sin⁻¹(3x - 4x³). 3/√(1-x²)
6) sin⁻¹(2x+3). 2/√{1-(2x+3)²}
7) sin⁻¹{2x/(1+x²)}. 2/(1+x²)
8) sin⁻¹{(1-x²)/(1+x²)}. -2/(1+x²)
9) sin(msin⁻¹x). m/√(1-x²) cos(msin⁻¹x)
10) sin⁻¹{(a+ b cosx)/(b+ a cosx)}, b > a. - √(b²-a²)/(b + acosx)
11) sin(msin⁻¹x). m/√(1-x²) cos(m sin⁻¹x)
12) ₐ(sin⁻¹x)² (2 log a. sin⁻¹x)/√(1-x²) . ₐ(sin⁻¹x)²
13) sin⁻¹{1/√(1+x²)}. -1/(1+x²)
14) sin⁻¹{x/√(x² + a²)}. a/(a²+x²)
15) sin⁻¹{x√(1- x)- √x√(1- x²)}. 1/√(1-x²) - 1/√(1-x) . 1/2√x.
16) sin⁻¹√{(1-x)/2}. -1/2√{(1-x²)}
17) sin⁻¹{√(1-x²)}. -1/√(1-x²)
18) sin⁻¹(1- 2x²). 2/√(1-x²)
19) sin⁻¹{(sinx + cosx)/√2}. 1
20) sin⁻¹[{x+√(1-x²)}/√2]. 1/√(1-x²)
21) sin⁻¹[{√(1+x)+ √(1-x)}/2]. -1/2{√(1-x²)}
22) sin⁻¹{1/√(1+x²)}. -1/(1+x²)
23) cos⁻¹{(1-x)/(1+x) 1/{(1+x)√x}
24) Cos⁻¹x+ cos⁻¹√(1-x²). 0
25) cos⁻¹(2x² -1). - 2/√(1- x²)
26) cos⁻¹{2x√(1- x²)}. -2/√(1-x²)
27) (cos⁻¹x)². (-2cos⁻¹x)/√(1-x²)
28) cos⁻¹√(1-x²). 1/√(1-x²)
29) cos⁻¹{2x)/(1+x²)}. -2/(1+x²)
30) cos⁻¹(4x³- 3x). -3/√(1-x²)
31) cos⁻¹(1- 2x²). 2/√(1-x²)
32) ₓ cos⁻¹x. ₓ cos⁻¹x{(cos⁻¹x)/x - (log x)/√(1-x²)}
33) cos⁻¹√{(1+cosx)/2}. 1/2
34) cos⁻¹{(3 cosx - 4 sinx)/5}. 1
35) cos⁻¹(2x+3). -2/√{1-(2x+3)²}
36) ₑcos⁻¹√(1-x²). ₑcos⁻¹√(1-x²). 1/√(1-x²)
37) cos⁻¹{(1-x²)/(1+x²)}. 2/(1+x²)
38) cos⁻¹{(a+b+cosx)/(b+ a cosx)(a≺b). √(b² - a²)/(b+ a cosx)
39) ₓCos⁻¹x. ₓCos⁻¹x(Cos⁻¹x/x - logx/√(1-x²)
40) Cos⁻¹√{(1+x)/2}. -1/2{√(1-x²)
41) cos⁻¹{x/√(x² + a²)}. -a/(a²+x²)
42) cos⁻¹{(cosx + sinx)/√2}. -1
43) cos⁻¹[{x+√(1-x²)}/√2]. -1/√(1-x²)
44) cos⁻¹{(1- x²ⁿ)/(1+ x²ⁿ)}. 2nxⁿ⁻¹/(1+x²ⁿ)
45) 2tan⁻¹(x/a). 2a/(x²+ a²)
46) tan⁻¹(√x) 1/{2(1+x)√x}
47) tan⁻¹(log x). 1/{x(log x)²+1}
48) tan⁻¹{(3x - x³)/(1-3x²)}. 3/(1+x²)
49) x tan⁻¹x. tan⁻¹x + x/(1+ x²)
50) tan⁻¹√{(1-x)/(1+x)}. -1/2√(1-x²)
51) tan(sin⁻¹x). 1/[√(1-x²){1+(sin⁻¹x)²}]
52) tan⁻¹{2x/(1-x²)} 2/(1+x²)
53) tan⁻¹{(1- cosx)/sinx}. 1/2
54) tan⁻¹{sinx/(1+cosx)}. 1/2
55) tan⁻¹√{(1+ cosx)/(1- cosx)}. 1/2
56) tan⁻¹√{(1+sinx)/(1-sinx)}. 1/2
57) tan⁻¹(secx + tanx). 1/2
58) tan⁻¹{(a cosx - b sinx)/(b cosx + a sinx)}. -1
59) tan⁻¹{cosx/(1+sinx)}. -1/2
60) 2tan⁻¹√{(x-a)/(b - x). 1/√(x-a)(b-x)
61) tan⁻¹√{(a-b)/a+b) . tan(x/2)). √(a² - b²)/2(a+ b cosx)
62) 2x tan⁻¹x - log(1+x²). 2tan⁻¹x
63) tan⁻¹(x²+ y²)= a. -x/y
64) tan⁻¹{√(1+x²)+ x}. 1/{2(1+x²)}
65) tan⁻¹{√(1+x²)- x}. -1/{2(1+x²)}
66) tan⁻¹{√(1+x²) - 1}/x. -1/{2(1+x²)
67) tan⁻¹[{√(1+sinx)+ √(1- sinx}/{√(1+sinx) - √(1- sinx)}]. -1/2
68) tan⁻¹{(a+x)/(1- ax)}. 1/(1+x²)
69) tan⁻¹{(3a²x+x³)/(a³ - 3ax²)}. 3a/(a²+ x²)
70) tan⁻¹√{(a-x)/(a+x)}. -1/2{√(a² - x²)}
71) tan⁻¹[{√(1+x²)+ √(1-x²)}/{√(1+x²) - √(1- x²)}]. -x/√(1-x⁴)
72) tan⁻¹{x/√(a² - x²)}. 1/√(a²-x²)
74) tan⁻¹[x/{1+√(1- x²)}]. 1/2{√(1-x²)}
75) tan⁻¹[x/{a+ √(a²- x²)}]. 1/2{√(a² - x²)}
76) tan⁻¹{4x/(1- 4x²)}. 4/(1+4x²)
77) tan⁻¹{(2ˣ⁺¹/(1+ 4ˣ)}. {(2ˣ⁺¹ log 2)/(1+4ˣ)}
78) tan⁻¹{(2aˣ⁺¹/(1 - a²ˣ)}. {(aˣ loga)/(1+a²ˣ)
79) tan⁻¹[{√(1+ a²x²) - 1}/ax]. 1/2{a/(1+ a²x²)}.
80) tan⁻¹{(a+x)/(1- ax)}. 1/(1+x²)
81) tan⁻¹{√x+ √a)/(1- √(ax))}. 1/{2√x(1+x)}
82) tan⁻¹{(a+ b tanx)/(b- a tanx)}. 1
83) tan⁻¹{(a+bx)/(b- ax)}. 1/(1+x²)
84) tan⁻¹{(x-a)/(x+ a)}. a/(a²+x²)
85) tan⁻¹{x/(1+ 6x²)}. 3/(1+9x²) - 2/(1+4x²).
86) tan⁻¹{5x/(1- 6x²)}. 3/(1+9x²) + 2/(1+4x²).
87) tan⁻¹{cosx+ sinx)/(cosx - sinx)} 1
88) tan⁻¹{(x¹⁾³ + a¹⁾³)/(1- (ax)¹⁾³)} . 1/3. {x²⁾³/(1+x²⁾³)}
89) sec⁻¹(x²). 2/{|x|√(x⁴-1)}
90) (2x+1)/x³ - log tanx + x sin⁻¹(x²).
91) log (tan⁻¹x). 1/{(x²+1)tan⁻¹x}
92) cot⁻¹(cosec x + cot x).
94) Cot⁻¹{(b - ax)/(a+bx)}. 1/(1+x²)
94) secx= (1 +t²)/(1-t²) , y= Cot⁻¹{(3t - t³)/(1-3t²). 3/2
95) sec⁻¹{1/(2x² - 1)}. -2/(1-x²)
96) cos⁻¹{1/(√(1+t²), y= sin⁻¹{t/√(1+t²)}. 1
97) ₓsin⁻¹x w.r.t. sin⁻¹x. ₓsin⁻¹x(√(1-x²)/x .sin⁻¹x + logx
98) If y= ₑsin⁻¹x and ₑ-cos⁻¹x prove the value of dy/dx is independent of x.
99) ₑcot⁻¹x + ₓ√x. - ₑcot⁻¹x. 1/√(1+ x² ) + ₓ√x. (2+ logx)/2√x.
100) y= b tan⁻¹(x/a + tan⁻¹y/x). {1/a - y/(x²+y²)}/{1/b². sec²y - x/(x²+y²)
101) Log(cot⁻¹x). 1/{(1+x²)cot⁻¹x}
102) sec(tan⁻¹x). x/√(1+x²)
103) 2 sec⁻¹2x- 3 sin⁻¹x +cos⁻¹(x²).
2/{x√(4x²-1) - 3/√(1-x²) - 2x/√(1-x⁴)
104) 2 cosec⁻¹(3x)+ 3 cosec2x.
2/{x√(9x² -1)} - 6 cosec2x cot2x
105)
106) tan⁻¹{2x/(1-x²)} + cos⁻¹{(1-x²)/(1+x²)}. 4/(1+x²)
107) sin⁻¹x + sin⁻¹{√(1-x²)}. 2/(1-x²)
108) sin⁻¹{(1-x²)/(1+x²)} + sec⁻¹{(1+x²)/(1-x²)}. 0
109) (tan⁻¹x)/(1+ tan⁻¹x) w.r.t. tan⁻¹x. 1/(1+ tan⁻¹x)²
110) tan⁻¹{√(1+x²) -1)/x w.r.t. tan⁻¹x. 1/2
111) x= Cos⁻¹(8t⁴ - 8t²+1)and y= sin⁻¹(3t - 4t³) .
112) Cos⁻¹{(1-x²)/(1+x²)) w.r.t sin⁻¹{2x/(1+x²) 1
113) sinx= 2t/(1+t²) ,tany=2t/(1-t²). 1
114) If tan⁻¹{(1+2x/(1-2x)} w.r.t. √(1+4x²)}. 1/{2x√(1+4x²)}
115) If tan⁻¹[{√(1+x²)-1}/x] w.r.t. tan⁻¹x,. 1/2
116) sin⁻¹{2x/(1+x²)} w.r.t. tan⁻¹x. 2
117) tan⁻¹[{√(1+x²)-√(1-x²)}/{√(1+x²)+ √(1-x²}] w.r.t. cos⁻¹x². -1/2
118) ₓ sin⁻¹x w.r.t. sin⁻¹x. ₓsin⁻¹ [x logx + {√(1-x²) sin⁻¹x}/x]
119) tan⁻¹{√(1-x²)/x} w.r.t. cos⁻¹{2x √(1-x²)}. -1/2
120) tan⁻¹{2x/(1-x²)} w.r.t. sin⁻¹{2x (1+x²)}. 1
121) tan⁻¹{(3x-x³)/(1-3x²} w.r.t. tan⁻¹{2x/(1-x²)}. 3/2
122) log (1+x²) w.r.t tan⁻¹x. 2x
123) sin⁻¹{√(1-x²)/x} w.r.t. cos⁻¹x. 1
124) sin⁻¹(4x√(1- 4x²) w.r.t √(1-4x²). -1/x
125) tan⁻¹[{√(1+x²)-x}/x] w.r.t. sin⁻¹{2x/(1+x²)}. 1/4
126) sin⁻¹{2x√(1-x²)} w.r.t sec⁻¹{1/√(1-x²)}. 2
127) sin⁻¹{2x/(1+x²)} w.r.t cos⁻¹{(1-x²)/(1+x²)}.
128) tan⁻¹{(1+ax)/(1- ax)} w.r.t √(1+ a²x²) 1/{ax√(1+a²x²)}
129) sin⁻¹{2x√(1-x²)} w.r.t tan⁻¹{x/√(1-x²)}. 2
130) tan⁻¹{2x/(1-x²)} w.r.t cos⁻¹{(1-x²)/(1+ x²)}. 1
131) tan⁻¹{(x-1)/(x+1)} w.r.t sin⁻¹{(3x - 4x³)}. √(1-x²/{3(1+x²)}
132) tan⁻¹{cosx/(1+ sinx)} w.r.t sec⁻¹x. {-x √(x²-1)}/2
133) sin⁻¹{2x/(1+ x²)} w.r.t tan⁻¹{2x/(1-x²)}. 1
134) cos⁻¹(4x³ - 3x) w.r.t tan⁻¹{√(1-x²)/x}. 3
135) tan⁻¹{x/√(1-x²)} w.r.t sin⁻¹{2x√(1-x²)}. 1/2
136) sin⁻¹{√(1-x²)} w.r.t cot⁻¹{x/√(1-x²)}. 1
137) sin⁻¹{2ax√(1- a²x²)} w.r.t √(1- a²x²)}. -2/ax
138) tan⁻¹{(1-x)/(1+x)} w.r.t √(1-x²)}. √(1-x²)/{x(1+x²)
EXERCISE - U
PROVE
1) If y= (x sin⁻¹x)/√(1-x²), prove (1-x²) dy/dx= x + y/x
2) If y= x sin⁻¹x +√(1-x²), then show that dy/dx= sin⁻¹x
3) prove d/dx[x/2 √(a² - x²) + a²/2 sin⁻¹(x/a)]=√(a² - x²).
4) If y= sin⁻¹{2x/(1+x²)} + sec⁻¹{(1+x²)/(1-x²)} then show that dy/dx= 4/(1+x²).
5) If y= sin⁻¹{x/√(1+x²)} + cos⁻¹{1/√(1+x²)} then show that dy/dx = 2/(1+x²).
6) If y= tan⁻¹{2x/(1-x²)} + sec⁻¹{(1+x²)/(1-x²)} then show that dy/dx= 4/(1+x²).
7) If the derivative of tan⁻¹(a+ bx) takes the value 1 at x= 0, prove that 1+ a² = b.
8) If y= cos⁻¹(2x) + 2 cos⁻¹√(1- 4x²), then show dy/dx= 2/√(1-4x²)
9) If log(x²+ y²)= 2tan⁻¹(y/x) show dy/dx= (x+y)/(x-y).
10) If cos⁻¹{(x²-y²)/(x²+y²) = tan⁻¹a, show that dy/dx= y/x.
11) If tan⁻¹{(x²-y²)/(x²+y²)}= a, show dy/dx={x(1-tana)}/{y(1+ tana)}.
12) If x= √(ₐ sin⁻¹t), y=√(ₐ cos⁻¹t) then show that dy/dx= -y/x.
13) If x= sin⁻¹{2t/(1+t²)} and y= tan⁻¹{2t/(1- t²)} then show that dy/dx = 1.
SHORT QUESTIONS:::
1) If f(x)= logₑ(logₑx), then find the value of f'(e). 1
2) If f(x)= x +1, then value of d/dx (fof)(x). 1
3) If f'(1)=2 and y= f(logₑx), find dy/dx at x= e. 2/e
4) If f(1)= 4, f'(1)= 2, then value of log(f(eˣ)) w.r.t .x at x= 0. 1/2
5) If f'(x)= √(2x² -1) and y= f(x²), then find dy/dx at x= 1. 2
6) If f(0)= f(1)=0, f'(1)=2 and
y=f(eˣ)eᶠ⁽ˣ⁾. 2
7) If y= x |x|, find dy/dx for x< 0. -2x.
8) If x= a(t+ sint), y= a(1+cost), find dy/dx. - tant/2
9) If y= xˣ, find dy/dx at x= e. 2eᵉ
10) If logₐx find dy/dx. 1/(x loga)
11) If y= log √tanx. find dy/dx. Cosec 2x
12) If |x|< 1 and y= 1+ x + x² +...., then find the value of dy/dx. 1/(1-x)²
13) If y= log |3x|, x≠ 0, find dy/dx. 1/x
14) logₓ2 (logx), then f'(x) at x= e is
A) 0 B) 1 C) 1/e D) 1/2e
15) The differential coefficient of f(logx) w.r.t.x where f(x)= logx.
A) x/logx B)logx/x C)1/(x logx) d) n
16) If y= (1+ 1/x)ˣ, then dy/dx.
A) (1+ 1/x)ˣ{log (1+ 1/x) - 1/(x+1)}
B) (1+ 1/x)ˣ.log (1+ 1/x)
C) (x+ 1/x)ˣ{log (x+ 1) - x/(x+1)}
D) (x+ 1/x)ˣ{log (1+ 1/x) + 1/(x+1)}
17) xʸ= eˣ⁻ʸ, then dy/dx is
A) (1+x)/(1+ logx)
B) (1- logx)/(1+logx)
C) not defined
D) (log x)/(1+ logx)²
18) Given f(x)= 4x⁸, then
A) f'(1/2)= f'(-1/2)
B) f(1/2)= - f'(-1/2)
C) f(-1/2)= f(-1/2)
D) f(1/2)= f'(-1/2)
19) If x= a cos³t, y= a sin³t, then √{1+(dy/dx)²}=
A) tan²t B) sec²t C) sect D) |sec t|
20) For the curve √x + √y= 1, dy/dx at (1/4,1/4) is
A) 1/2 B) 1. .C) -1. D) 2
21) If sin(x+y)= log (x+y), then dy/dx=
A) 2 B)-2. C) 1. d) -1
22) d/dx of log[eˣ ⁴√{(x-2)/(x+2)}³
A) (x²-1)/(x²-4) B) 1
C) (x²+1)/(x²-4). D)eˣ (x²-1)/(x²-4)
23) If y=√(sinx + y), then dy/dx=
A) sinx/(2y-1). B) sinx/(1-2y)
C) cosx/(1-2y). D) cosx/(2y-1)
24) If 3 sin(xy)+ 4 cos(xy)= 5, then dy/dx=
A) -y/x
B) (3 sin xy + 4cos xy)/(3 cos xy - 4 sin xy)
C) (3 cos xy + 4 sin xy)/(4cos xy - 3sin xy). D) none
25) If siny = x sin(a+y), then dy/dx
A) sina/{(sina sin²(a+y)}
B) sin²(a+y)/sina
C) sina sin²(a+y)
D) sin²(a-y)/sina
26) If f(x)= √(x²+ 6x+9), then f'(x)
A) 1 for x < -3. B) -1 for x < -3.
C) 1 for all x belongs to R D) none
27) If f(x)=√(x²- 10x+25), then f'(x) at (0,7) is
A) 1 B) -1 C) 0 D) none
28) sin⁻¹(sinx) and -π/2≤x≤π/2. Then find dy/dx. 1
29) If π/2 ≤ x ≤ 3π/2 and y= sin⁻¹(sinx) find dy/dx. -1
30) If π≤ x ≤ 2π and y= cos⁻¹(cosx) find dy/dx. -1
31) If y= sin⁻¹(2x/(1+x²)) find dy/dx for x > 1. - 2/(1+x²)
32) If y= sin⁻¹x+ cos⁻¹x find dy/dx. 0
33) If - π/2 < x < 0 and y= tan⁻¹{(1- cos2x)/(1+ cos2x), dy/dx is. -1
34) If y= tan⁻¹{(1-x)/(1+x)}, find dy/dx . -1/(1+x²)
35) If y= sin⁻¹{(1-x²)/(1+x²) + cos⁻¹{(1-x²)/(1+x²)}, then y' is. 0
36) If sec⁻¹{(x+1)/(x-1)} + sin⁻¹ {(x-1)/(x+1)}, then dy/dx is.. 0
37) If u=sin⁻¹{2x/(1+x²)} and v= tan⁻¹{2x/(1-x²)}, where -1<x<1, then Write the value of dy/dx. 1
38) cot⁻¹{(cos 2x)¹⁾²} at x=π/6 is
A) √(2/3) B)√(1/3) C) √3 D) √6
39) sec(tan⁻¹x) then dy/dx is
A) x/(1+x²) B) x√(1+x²)
C) 1/(1+x²). D) x/√(1+x²)
40) If f(x)= tan⁻¹x√{(1+ sinx)/(1-sinx) , 0≤x≤π/2, then f'(π/6) is..
A) -1/4 B) -1/2. C) 1/4 D) 1/2
41) If y= sin⁻¹x{(1-x²)/(1+x²)}, then dy/dx is
A)-2/(1+x²) B) 2/(1+x²)
C) 1/(1 -x²). D) 2/(2 - x²)
42) sec⁻¹{1/(2x²-1)} w.r.t. √(1+3x) at x= -1/3.
A) doesn't exist B) 0 C) 1/2 D) 1/3
43) Let U=sin⁻¹{2x/(1+x²)} and
V= tan⁻¹{2x/(1-x²)}, then dU/dV=
A) 1/2 B) x C)(1-x²)/(1+x²) D) 1
44) d/dx[tan⁻¹{cosx/(1+sinx)}=
A) 1/2. B) -1/2. C) 1. D) -1
45) d/dx[cos⁻¹x(2x² -1) w.r.t. cos⁻¹x is.....
A) 2 B) 1/{2√(1-x²)}. C) 2/x D)1-x²
46) If sin⁻¹{(x²- y²)/(x²+y²)}= log a then dy/dx=
A) (x²- y²)/(x²+y²) B) y/x C) x/y D) n
47) If y= tan⁻¹{(sinx+ cosx)/(cosx- sinx), then dy/dx=
A) 1/3 B) 0 C) 1 D) none.
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