EXERCISE -1
************
1) (1- sin²x)sec²x = 1
2) Sin²x + 1/(1+ tan²x)= 1
3) sinx/(1- cosx)= Cosecx + cotx.
4) (1- sinx)/(1+sinx)= (secx - tanx)²
5) sin²x cot²x+ cos²x tan²x= 1.
6) 1/(1+sinx) + 1/(1- sinx)= 2sec²x
7) (1+sinx)/cosx + cosx/(1+sinx)= 2secx.
8) Sinx/(1+ cosx) + (1+coax)/sinx = 2 Cosecx.
9) {(1+sinx)²+(1- sinx)²}/2cos²x = (1+sin²x)/(1- sin²x).
10) 1/(1+ sinx) +1/(1-sinx)=2sec²x
11) sinx/(1- cosx)= Cosecx + cotx
12) √{1-sinx)/(1+sinx)}= secx - tanx
13) √{(1+sinx)/(1-sinx)}= secx + tanx
14) Sinx/(1- cosx) + tanx/(1+cosx)= secx Cosecx + cotx.
15) (Sinx+ cosx)/(sinx- cosx) + (sinx- cosx)/(sinx+ cosx)= 2/(sin²x - cos²x)= 2/(2sin²x -1)
16) sin/(1+cosx)+ (1+cosx)/sinx = 2 Cosecx.
17) Sinx/(cotx + Cosecx)= 2 + sinx/(cotx - Cosecx).
18) Sin⁴x + cos⁴x= 1 - 2 sin²x cos²x.
19) Sin⁴x - cos⁴x= sin²x - cos²x = 2sin²x -1 = 1 - 2cos²x.
20) Sin⁶x+ cos⁶x= 1 - 3 sin²x cos²x
21) sin²x/cos²x + cos²x/sin²x= 1/(sin²x cos²x) +2.
22) {(1+ sinx)²+(1-sinx)²}/cos²x = 2{1+sin²x)/(1-sin²x)}.
23) (Sinx - siny)/(cosx+ cosy) + (cosx - cosy)/(sinx + siny)= 0.
24) 2(sin⁶x + cos⁶x) - 3(sin⁴x+ cos⁴x)+ 1= 0.
25) Sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x cos²x= 1
26) (Sin⁸x - cos⁸x)= (sin²x - cos²x)(1- 2sin²x cos²x).
27) (Sinx + secx)²+(cosx + Cosecx)² = (1+ secx Cosecx)².
28) (1- sinx+ cosx)²= 2(1+ cosx)(1- sinx).
29) (Sinx - cosx)/(sinx+ cosx) + (sinx + cosx)/(sinx - cosx) = 2/(2sin²x -1).
30) {(1+ sinx - cosx)/(1+ sinx + cosx)}² = (1- cosx)/(1+ cosx).
31) Sinx/(secx + tanx -1) + cosx/(Cosecx + cotx -1)= 1
32) Sin²x cos²y - cos²x sin²y= sin²x - sin²y.
33) √{1+sinx)/(1-sinx)}+ √{1-sinx)/(1+sinx)}= 2 secx.
34) (Sinx +1- cosx)/(cosx -1+ sinx)= (1+sinx)/cosx.
35) cos²x (1+ tan²x)= 1.
36) Cos²x + 1/(1+ cot²x) = 1.
37) (1- cos²x)cosec²x = 1.
38) Cosx/(1-sinx)= (1+sinx)/cosx.
39) Cosx/(1+sinx)= (1-sinx)/cosx.
40) (1- cosx)/sinx= sinx/(1+cosx).
41) cos²x/sinx - Cosecx + sinx= 0.
42)a) (1+ cosx)/sinx = sinx/(1-cosx)
43) (1- cosx)/(1+ cosx)= (cotx- Cosecx)².
44)# Cosx/(cosecx-1) + sinx/(1- cotx)= sinx + cosx.
45) cos²x + 1/(1+ cot²x)= 1.
46) √{(1+cosx)/(1- cosx)}= Cosecx + cotx.
47) √{(1-cosx)/(1+cosx)}= Cosecx - cotx.
48) (1+ cosx+ sinx)/(1+cosx - sinx) = (1+ sinx)/cosx.
49) {cosx Cosecx - sinx secx}/(cosx + sinx)= Cosecx - secx.
50) Cosx/(1- tanx) + sinx/(1- cotx) = cosx + sinx.
51) Cos⁴x - cos²x = sin⁴x - sin²x.
52) cosx/(1- tanx) + sin²x/(sinx - cosx)= 1/(sinx - cosx).
53) Cos²x/(1- tanx) + sin³x/(sinx - cosx)= 1+ sinx cosx.
54) cosx/(1- sinx) + sinx/(1- cosx) + 1 = (sinx cosx)/{1-sinx)(1- cosx)}.
55) Cosx/(Cosecx +1) + cosx/(Cosecx -1)= 2 tanx.
56) (1+ cosx - sin²x) /{sinx(1+cosx)}= cotx.
57) √{(1+cosx)/(1-cosx)}+ √{(1-cosx)/(1+cosx)}= 2 Cosecx.
58) (1+tan²x)(1+sinx)(1- sinx)= 1.
59) tan²x - 1/cos²x = -1.
60) tan²x cos²x = 1 - cos²x.
61) tanx + 1/tanx = secx Cosecx.
62) tanx + cotx = secx Cosecx.
63) tan²x - sin²x= tan²x sin²x.
64) (1+ tan²x)(1- sinx)(1+ sinx)= 1.
65) tanx - cotx = (2sin²x -1)/(sinx cosx).
66) (1+ tan²x)/(1+cot²x)= {(1-tanx)/(1-cotx)}².
67) (Tanx + sinx)/(tanx - sinx) = (secx +1)/(secx-1).
68) tanx - cotx = (2sin²x -1)/(sinx cosx).
69) Tan²x + cot²x = sec²x cosec²x - 2.
70) (1- tan²x)/(cot²x - 1)= tan²x.
71) Tanx/(1- cotx) + cotx/(1- tanx)= 1+ secx cosecx.
72) Tan²x + cot²x+ 2= sec²x cosec²x
73) (Tanx- cotx)/(sinx cosx)= sec²x - cosec²x= tan²x - cot²x.
74) (tanx + secx-1)/(tanx - secx+1)= (1+sinx)/cosx.
75) tanx/(1- cotx) + cotx/(1- tanx) = 1+ tanx + cotx= 1+ secx Cosecx.
76) tan²x - tan²y= (cos²y- cos²x)/(cos²y cos²x)= (sin²x - sin²y)/(cos²x cos²y).
77) (1+ tanx tany)²+(tanx - tany)²= sec²x sec²y.
78) (Tanx + Cosecx)²- (coty - secx)² = 2 tanx coty (Cosecx + secy).
79) {(1+ tan²x)cotx}/cosec²x= tanx.
80) tanx/(1- cotx)+ cotx/(1- tanx)= secx Cosecx +1.
81) (1+ tan²x)+ (1+ 1/tan²x)= 1/(sin²x - sin⁴x).
82) Tan²x/(1+ tan²x) + cot²x/(1+ cot²x)= 1.
83) (Tanx + sinx)/(tanx - sinx)= (secx +1)/(secx-1).
84) Tan³x/(1+tan²x) + cot³x/(1+ cot²x) = secx Cosecx - 2sinx cosx.
85) Tanx/(1+ tan²x)² + cotx/(1+ cot²x)²= sinx cosx.
86) (Tanx + tany)/(cotx + coty)= tanx tany.
87) Tan²x sec²y - sec²x tan²y= tan²x - tan²y.
88) Cot²x - 1/sin²x = -1.
89) (1+ cot²x) sin²x = 1.
90) (1+cot²x)(1-cosx)(1+cosx)=1.
91) Cotx - tanx= (2cos²x-1)/(sinx cosx).
92) (1+ cotx - Cosecx)(1+ tanx + secx)= 2.
93) {(1+cot²x) tanx}/sec²x= cotx.
94) cotx - tanx = (2cos²x -1)/(sinx cosx).
95)(Cotx+ cosecx-1)/(cotx- Cosecx+1)= (1+sinx)/sinx.
96) Cot⁴x - 1= cosec⁴x - 2 cosec²x.
97) Cot²x{(secx-1)/(1+sinx)} + sec²x {(sinx -1)/(1+ secx)}= 0.
98) {(1+ cotx+ tanx)(sinx - cosx)}/(sec³x - cosec³x)= sin²x cos²x.
99)** 1 + cot²x/(1+ cosec²x)= Cosecx
100) (1+ cotx - Cosecx)(1+ tanx + secx)= 2.
101) {Cot²x(secx -1)}/(1+ sinx)= sec²x{(1- sinx)/(1+ secx)}.
102) (1+ cotx + tanx)(sinx - cosx)= secx/cosec²x - Cosecx/sec²x.
103) (Cotx+ tany)/(coty+ tanx)= cotx tany.
104) Cot²x cosec²y - cot²y cosec²x= cot²x - cot²y.
105) (sec²x -1)(cosec²x -1)= 1.
106) (secx + cosx)(secx- cosx)= tan²x + sin²x.
107) secx(1- sinx)(secx + tanx)= 1.
108) 1/(secx -1) + 1/(secx +1)= 2cosecx cotx.
109) (1+ secx)/secx= sin²x/(1- cosx).
110) 1/(secx - tanx)= secx + tanx.
111) (Secx - tanx)/(secx+ tanx)= 1 - 2secx tanx+ 2 tan²x.
112) √(sec²x + cosec²x)= tanx + cotx.
113) Sec⁴x - sec²x= tan⁴x + tan²x.
114) Sec⁶x = tan⁶x + 3tan²x sec²x +1.
115) (secx - tanx)/(secx+ tanx)= cos²x/(1+ sinx)².
116) (Secx - tanx)²= (1- sinx)/(1+ sinx)
117) 1/(secx + tanx) - 1/cosx= 1/cosx - 1/(secx - tanx).
118) {1/(sec²x - cos²x) + 1/(cosec²x - sin²x)} sin²x cos²x= (1- sin²x cos²x)/(2+ sin²x cos²x).
119) (Secx + tanx -1)(secx - tanx +1)= 2 tanx.
120) (Secx - Cosecx)(1+ tanx + cotx)= tanx secx - cotx Cosecx.
121) Sec⁴x(1- sin⁴x) - 2 tan²x = 1.
122) √{(secx -1)/(secx+1)} + √{(secx +1)/(secx-1)}= 2 Cosecx.
123) (Secx -1)/(secx+1)= {sinx/(1+ cosx)}²
124) (Tanx + 1/cosx)² + (tanx - cotx/cosx)²= 2{(1+ sin²x)/(1-sin²x)}.
125) Cosec x √(1- cos²x)= 1
126) (Cosec x - sinx)(secx - cosx)(tanx + cotx)= 1.
127) (Cosecx - sinx)(secx - cosx)= 1/(tanx+ cotx).
128) (Cosecx - sinx)(secx - cosx)(tanx+ cotx)= 1.
129) 1/(Cosecx - cotx) - 1/sinx= 1/sinx - 1/(Cosecx+ cotx).
130) Cosec⁶x = cot⁶x + 3 cot²x cosec²x +1.
131) 1/(Cosecx - cotx) - 1/sinx = 1/sinx - 1/(Cosecx + cotx).
132) Cosecx/(Cosecx -1) + Cosecx/(Cosecx +1)= 2sec²x.
133) (Cosecx - secx)(cotx - tanx)= (Cosecx + secx)(secx Cosecx -2).
TYPE -- 2
1) If tanx + sinx = m and tanx - sinx= n, show that m² - n²= 4√(mn).
2) If cosx + sinx =√2 cosx , show that cosx - sinx= √2 sinx.
3) If sinx + cosx = p and secx + Cosecx = q, show that q(p²-1)= 2p
4) If secx + tanx = p show that (p²-1))/(p²+1)= sinx
5) If x= a sin k and y= b tan k, then Prove that (a²/x² - b²/y²)= 1.
6) If Cosx/cosy = m and Cosx/siny = n show that (m²+ n²)cos²y= n².
7) If tanA + sinA = m and tanA - sinA= n, prove that (m² - n²)²= 16mn
8) If Cosecx - sinx= n and secx - cosx = m, show that m²n²(m²+ n²+3)= 1.
9) If x= r sinA cosC , y= r sinA sinC and z= r cosA, show r²= x²+y²+z².
10) If tanA = n tanB and sinA= m sinB, show cos²A= (m²-1)/(n²-1).
11) If x sin³k + y cos³k= sink cosk and x sink = y cosk , show x²+y²= 1
12) If Cosecx - sinx= m and secx - cosx = n, show ³√(m²n)²+ ³√(mn²)² = 1.
13) If cotk + tank = x and seck - cosk = y, show ³√(x²y)²- ³√(xy²)²= 1
14) If a cosx + b sinx= m and a sinx - b cosx= n, show a²+b²= m² + n².
15) If a cosx - b sinx = c, show a sinx + b cosx = ± √(a²+ b³ - c²).
16) If sinx + sin²x= 1, show cos²x + cos⁴x = 1.
17) If sinx + sin²x= 1, find the value of cos¹²x + 3cos¹⁰x+ 3cos⁸x + cos⁶x + 2 cos⁴x + 2cos²x - 2. 1
18) If a secx + b tanx + c= 0 and p secx + q tanx + r= 0, show (br - qc)² - (pc - ar)²= (aq - bp)².
19) If secx + tanx + = p find the value of secx , tanx and sinx in terms of p. 1/2(p - 1/p), 1/2(p - 1/p) , (p²-1)/(p²+1)
20) If (sin⁴x)/a + (cos⁴x)/b = 1/(a+b), show (sin⁸x)/a³ + (cos⁸x)/b³= 1/(a+b)³.
21) If tan²x = 1 - a², show secx + tan³x Cosecx= ³√(2- a²)².
22) If sinx + sin²x + sin³x= 1, show cos⁶x - 4 cos⁴x + 8 cos²x= 4.
23) If x= a seck + b tank and y= b seck + b tank ,show x² - y²= a²- b².
24) If x/a cosk + y/b sink = 1 and x/a sink - y/b cosk = 1, then show that x²/a² + y²/b² = 2.
25) If cosec x - sinx = a², secx - cosx = b³, show a²b²(a² + b²)= 1.
26) If a cos³x + 3a cosx sin²x = m, and a sin³x + 3a cos²x sinx= n, show ³√(m+n)²+ ³√(m-n)²= 2 ³√a².
27) If x= a cos³k, y= + b sin³x show that ³√(x/a)²+ ³√(y/b)²= 1.
28) If 3sin x + 5 cosx = 5, show 5 sinx - 3 cosx = ± 3.
29) If a cosx + b sinx = m and a sinx - b cosx = n, show a² + b²= m²+ n².
30) If cosecx + cotx = m and cosecx - cotx = n, show mn= 1.
31) If cosA + cos²A= 1, show sin²A+ sin⁴A= 1.
32) If cosx + cos²x= 1, show sin¹²x + 3 sin¹⁰x + 3 sin⁸x + sin⁶x + 2sin⁴x + 2 sin²x - 2= 1
33) If (1+ cosx)(1+ cosy)(1+ cost)= (1- cosx)(1- cosy)(1- cost). Show that one of the values of each member of this equally is sinx siny sinz.
34) If sinx + cosx= a, show sin⁶x + cos⁶x ={4- 3(a² -1)²}/4.
35) If tan²x = 1 + 2 tan²y, show 2 sin²x = 1 + sin²y.
36) If tan²x = cos²y - sin²y, show cos²x - sin²x = tan²y.
37) If (a² - b²) sinx + 2ab cosx= a² + b², find the value of tanx . (a²-b²)/2ab
38) If cos⁴x/cos²y + sin⁴x/sin²y= 1, show cos⁴y/cos²x + sin⁴y/sin²x = 1.
39) If x= a seck cos m, y= b seck sinm and z= c tank, show x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1.
40) If a² secx - b² tan²x =c² show sinx = ±√{(c²-a²)/(c²- b²)} .
EXERCISE --2
*******
1) (sec²x -1)/tan²x = 1
2) (sin²x + cos²x)/(sec²x - tan²x) = 1
3) 1 - sin²x - cos²x) = 0
4) sin⁴x+ sin²x cos²x)= 0
5) sin⁴x+ 2sin²x cos²x + cos⁴x = 0
6) (cosec²x - cot²x) cos²x= cos²x
7) (sinx cosecx tanx cotx)/(sin²x + cos²x)= 1.
8) (sin²30°+ cos²30°)/(sec²57° - tan²57°)= 1.
9) cosx tanx = 1
10) sin⁴x cosec²x + cos⁴x sec²x= 1
11) sin²x cot²x + cos²x tan²x= 1
12) cos⁴x - sin⁴x= cos²x - sin²x.
13) (1+ tanx)²+ (1 - tanx)²= 2 sec²x.
14) cot⁴x+ cot²x= cosec⁴x - cosec²x.
15) (secx + tanx)/(cosecx + cotx) = (cosecx - cotx)/(secx - tanx)
16) (1+ sinx)/(1- sinx) = (secx + tanx)².
17) secx cot x = cosecx.
18) tanx + cot x = secx cosecx.
19) cosx/(secx - tanx) = (1+ sinx)
20) (1+ cosx - sin²x)/{sinx(1+ cosx) = cot x
21) (3 - 4sin²x)/cos²x = 3 - tan²x
22) (tanx + cotx)sinx cosx= 1
23) cosx = cotx/cosecx = cot/√(1+ cot²x).
24) (sin⁴x - cos⁴x)= (sin²x - cos²x)
25) sec²x + cosec²x = sec²x cosec²x
26) sin³x + cos³x = (sinx + cosx)(1- sinx cosx).
27) sin²x(1+ cot²x)= 1
28) (tanx + cotx)²= cosec²x + sec²x.
29) sec⁴x - sec²x = tan²x + tan⁴x.
30) (cosecx - sinx)(secx - cosx)(tanx + cotx)= 1.
31) (cotx + tan y)/(cot y + tanx)= cotx tany
32) sinx/(1+ cosx) + (1+ cosC)/sinx = 2 cosecx
33) 1 + 1/cosx = tan²x/(secx - 1).
34) (1+ cosx)/(1- cos x)= (cosecx + Cotx)²
35) If tanx + sinx = a and tanx - sinx = b, show that a² - b² = 4 √(ab)
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