EXERCISE -1
1) ²₁ ∫x². 7/3
2) ⁻¹₋₄∫ dx/x. - log 4
3) ⁹₄∫ dx/√x. 2
4) ¹₀∫ dx/{√(1+ x) + √x}. 4/3 (√2 -1)
5) ¹₀∫ dx/(2x -3). -1/2 log 3
6) ³₋₂ ∫ dx/(x+7). log 2
7) ¹₀∫(3x² + 2x +k)dx= 0, find k. -2
8) ᵃ₀ ∫ (3x² 2x +1)= 11, find a. 2
9) ᵇₐ∫ x³dx = 0 and ᵇₐ∫ x²dx = 2/3, find a and b. -1, 1
10) ∫ √(1- cos 2x) at (π/2, 0). √2
11) ∫ tan²x at (π/4,0). 1 - π/4
12) ∫ sin²x at (π/2, 0). π/4
13) ∫ sin 3x at (π/4,0). 3√2/10
14) ∫ sin³x at (π,0). 4/3
15) ∫ cos³x at (π/2,0). 2/3
16) ∫ sin⁴x at (π/2,0). 3π/16
17) ∫ √(1+ sin2x) at (π/4,0). 1
18) ∫ √(1- sin2x) at (π/4,0). √2 - 1
19) ∫ √(1- sin2x) at (π/2,π/4). √2 -1
20) ᵃ₀ ∫ √x dx= 2a ∫ sin³x dx at (π/2,0), find the value of integral ᵃ⁺¹ₐ ∫ x dx. 9/2 or 1/2
21) ⁴₀ ∫ dx/√(x² +2x +3). Log{(5+ 3√3)/(1+√3)}
22) ᵃ₀ ∫dx/√(ax - x²). π
23) ∫ dx/√(x - x²) at (1/2, 1/4). π/6
23) ₂⁴∫ x/(x²+1). 1/2 log(17/5)
24) ¹₀∫ 2x/(5x² +1). 1/5 log 6
25) ²₀∫ (5x +1)/(x²+4). 5/2 log 2 + π/8
26) ¹₀∫ x eˣ dx. 1
27) ²₁∫ (log x)/x². 1/2 log(e/2)
28) ∫ x sinx at (π/2,0). 1
29) ¹₀ ∫ (x eˣ + sin(πx/4)). 1+ 4/π - 2√2/π
30) ¹₀∫ x log(1+ 2x). 3/8 log 3
31) ²₁∫ 5x²/(x² +4x +3). 5 - 10 log(15/8) + 25/2 log(6/5)
32) ∫ √(2- x²) at (√2, 0). π/2
33) ∫ (2+ 3x²) cos 3x at (π/6, 0). 1/36 (π²+ 16)
34) ²₁∫ dx/{(x+1)(x+2)}. Log(9/8)
35) ²₁∫ dx/{x(1+ x²). 3/2 log 2 - 1/2 log 5
36) ∫ eˣ sin(π/4 + x/2) at (2π, 0). - √2/5 (e^2π +1)
37) ∫ cos 2x log sin x at (π/2, π/4). 1/4 log 2 - π/8 + 1/4
38) ∫ dx/{(x²+ a²)(x²+ b²)} at (∞, 0). π/{2ab(a+b)}
39) ∫ dx/√(1- x²) at (1/2, 0). π/6
40) ¹₀∫ dx/(1+ x²). π/4
41) ³₂ ∫ x/(x²+1). 1/2 log 2
42) ∫ dx/(a² + b²x²) at (∞, 0). π/2ab
43) ¹₋₁ ∫ dx/(1+ x²). π/2
44) ∫ e⁻ˣ at (∞, 0). 1
45) ¹₀∫ x/(x+1). Log(e/2)
46) ∫ (sinx + cosx) at (π/2,0). 2
47) ∫ cotx at (π/2,π/4). 1/2 log 2
48) ∫ secx at (π/4, 0). Log(√2 +1)
49) ∫ cosec x at (π/4, π/6). log(√2 -1) - log(2- √3)
50) ¹₀∫ (1- x)/(1+ x). 2 log 2 - 1
51) ∫ dx/(1+ sinx) at (π, 0). 2
52) ∫ dx/(1+ sinx) at (π/4, -π/4). 2
53) ∫ cos²x at (π/2, 0). π/4
54) ∫ cos³x at (π/2, 0). 2/3
55) ∫ cosx cos 2x at (π/6, 0). 5/12
56) ∫ sinx sin 2x at (π/2, 0). 2/3
57) ∫ (tanx + cotx)² at (π/⁴, π/4).
58) ∫ cos⁴x at (π/2, 0). 3π/16
59) ∫ (a² cos²x + b² sin²x) at (π/2, 0). π/4 (a² + b²)
60) ∫ √(1+ sinx) at (π/2, 0). 2
61) ³₁∫ dx/{x²(x+1)}. log(2/3) + 2/3
62) ∫ √(1+ cosx) at (π/2, 0). 2
63) ∫ x² sinx at (π/2, 0). π - 2
64) ∫ x cosx at (π/2, 0). π/2 - 1
65) ∫ x² cosx at (π/2, 0). π²/4 - 2
66) ∫ x² sinx at (π/4, 0). √2 + π/2√2 - π²/16√2 - 2
67) ∫ x² cos 2x at (π/2, 0). - π/4
68) ∫ x² cos²x at (π/2, 0). π³/48 - π/8
69) ²₁∫ log x. 2 log 2 - 1
70) ³₁∫ (logx)/(x +1)². 3/4 log 3 - log 2
71) ᵉ₁∫ eˣ/x (1+ x log x). eᵉ
72) ᵉ₁∫ (log x)/x. 1/2
73) ∫ (1/log x - 1/(logx)²) at (e², e). e²/2 - e
74) ²₁∫ (x +3)/{x(x+ 2)}. 1/2 log 6
75) ¹₀∫ (2x+ 3)/(5x²+ 1). 1/5 log 6 + 3/√5 tan⁻¹√5
76) ²₀∫ dx/(4+ x - x²). 1/√17 log{(21+ 5√17)/4}
77) ¹₀∫ dx/(2x² + x +1). 2/√17 {tan⁻¹5/√7 - tan⁻¹1/√7}
78) ⁴₁∫ (x²+ x)/√(2x +1). (57-√3)/5
79) ¹₀∫ √x(1- x). π/8
80) ²₀∫ dx/√((3+ 2x- x²). π/3
81) ⁴₀∫ dx/√(4x - x²). π
82) ¹₋₁∫ dx/(x² + 2x+5). π/8
83) ¹₀∫ x(1- x)⁵. 1/42
84) ²₁∫ eˣ {(x -1)/x²}. e²/2 - e
85) ¹₀∫ (x e²ˣ + sin(πx/2). e²/4 + 1/4 +2/π
86) ¹₀∫ (x eˣ + sin(πx/4). 1 + +2√2/π
86) ∫ eˣ{(1- sinx)/(1- cosx) at (π, π/2). e^π/2
87) ∫ eˣ⁾² sin(x/2 + π/4) at (2π, 0). 0
88) ∫ eˣ cos(x/4 + π/2) at (2π, 0). -3√2/5 (e^(2π) +1)
89) ¹₀∫ dx/{√(1+ x)- √x}. √2⁵/3
90) ²₁∫ x/{(x+1)(x+2)}. Log(32/27)
91) ∫ sin³x at (π/2,0). 2/3
92) ∫ sin²(x/2) - cos²(x/2) at (π, 0). 0
93) ²₁∫ e²ˣ(1/x - 1/2x²). (e⁴ - 2e²)/4
94) ²₁∫ dx/√{(x- 1)(2- x)}. π
95) ᵅ₀ ∫ dx/(2+ 8x²) =π/16, find k. 1/2
96) ᵅ₀ ∫ 3x² = 8, Find a. 2
97) ∫ √(1- cos 2x) at (3π/2, π). √2
98) ∫ √(1+ sin x/2) at (2π/2, 0). 8
99) ∫ (tan x + cotx) ⁻² at (π/4, 0). π/32
100) ¹₀ ∫ x log(1+ 2x). 3/8 log 3
101) ∫ (tan x + cotx)² at (π/3, π/6). 4/√3
102) ∫ (a²cos² x + b² sin²x) at (π/4, 0). (a² + b²) π/8 + 1/4 (a² - b²)
103) ¹₀ ∫ dx/(1+ 2x + 2x² + 2x³ + x⁴). 1/4 log(2e)
** INTEGRAL BY SUBSTITUTION**
EXERCISE -2
1) ⁴₀∫ 1/(x + √x). 2 log 3
2) ²₀∫ x √(x + 2). 16/15 (2+ √2)
3) 2x/(5x² +1). 1/5 log 6
4) ∫ dx/{(1+ x²)√(1- x²)} at (π/2,0). 1/√2 tan⁻¹√(2/3)
5) ∫ x⁴/(a²- x²) at (a,0). 3πa⁴/16
6) ∫ dx/(a²+ x²) at (a,0). 1/(8a³) (π+ 2)
7) ∫ x/√(a²+ x²) at (a,0). a(√2-1)
8) ∫ x²/√(a²+ x²)⁵ at (∞,0). 1/(3a²)
9) ¹₀∫ x √{(1- x²)/(1+ x²)}. π/4 - 1/2
10) ₂⁴∫ x/(x²+1). 1/2 log(17/5)
11) ₁²∫ 3x/(9x² - 1). 1/6 (Log 35 - log 8)
12) ¹₀∫ 2x/(1+ x⁴). π/4
13) ∫ √(a² - x²) at (a,0). πa²/4
14) ¹₀∫ (1- x²)/(1+ x²+ x⁴). 1/2 log 3
15) ¹₀∫ 24x³/(1+ x²)⁴. 1
16) ¹²₄∫ {x ³√(x - 4). 720/7
17) ¹₀∫ √{(1- x)/(1+ x)}. π/2 - 1
18) ¹₀∫ (1- x²)/(1+ x²)². 1/2
19) ∫ 5x⁴ √(x⁵ +1). 4√2/3
20) ∫ √x/(30 - √x³)² at (9, 4). 19/99
21) ∫ x√{(a²- x²)/(a²+ x²)} at (a,0). a² (π/4 - 1/2)
22) ∫ √{(a- x)/(a+ x)} at (a,-a). πa
23) ∫ dx/{(1+ x²) √(1- x²)} at (1/2,0). 1/√2 tan⁻¹√(2/3)
24) ∫ ³√(x - x³)/x⁴ at (1, 1/3). 6
25) ₁²∫ dx/{x(1 + logx)}. (Log2)/(log 2e)
26) ₁²∫ dx/{x(1 + logx)²}. (Log2)/(1+ log 2)
27) ¹₀∫ eˣ/(1+ 2eˣ). tan⁻¹e - π/4
28) ¹₀∫ ₓ ₑx². (e- 1)/2
29) ₁³∫ cos(logx)/x. Sin(logx)
30) ¹₀∫ sin⁻¹x. π/2 -1
31) ∫ √cos x. Sin³x at (π/2,0). 8/21
32) ∫ cosx/{(1+ sin 2x)(2+ sin x) at (π/2,0). Log(4/3)
33) ∫ sin⁻¹x/√(1- x²)³ at (1/√2, 0). π/4 -1/2 log 2
34) ∫ (x tan⁻¹x)/√(1+ x²)³ at (1, 0). π/4 -1/2 log 2
35) ∫ dx/{cos³x √(2 sin 2x)} at π/4,0). (4-π)/(4√2)
36) ∫ sin⁻¹{2x/(1+ x²) at (1, 0). π/2 - log 2
37) ∫ tan³x at (π/4,0). 1/2 (1- log 2)
38) ∫ dx/(5+ 4 cosx) at (π,0). π/3
39) ∫ dx/(3+ cosx) at (π/2,0). 2/√5 tan⁻¹(1/√5)
40) ∫ dx/(2cosx + sinx) at (π/2,0). 1/√5 log{(3+√5)/2}
41) ∫ sinx/(1+ cosx) at (π/2,0). π/4
42) ∫ dx/(4 sin²x+ 5cos²x) at (π/2,0). π/(4√5)
43) ∫ cosx/(3cosx + sinx) at (π/2,0). 3π/20 - 1/10 log 3
44) ∫ cosx/(1+ cosx + sinx) at (π/2,0). 1/2 (π/2 - log 2)
45) ∫ cosx/(cos x/2 + sin x/2)³ at (π/2,0). 2- √2
46) ∫ (sinx+ cosx)/(9 + 16sinx) at (π/4,0). 1/40 log 9
47) ∫ (sinx+ cosx)/√(sin 2x) at (π/3, π/6). 2 sin⁻¹{(√3-1)/2}
48) ∫ (√tanx +√cotx) at (π/2,0) . √2 π
49) ∫ (sin 2x)/(sin⁴ x + cos⁴x) at (π/2, 0). π/2
50) ∫ (sin 2x)/(sin⁴ x + cos⁴x) at (π/4, 0). π/2
51) ∫ cos²x/(4sin² x + cos²x) at (π/2, 0). π/6
52) ∫ dx/(b²sin² x + a² cos²x) at (π/2, 0). π/(4a³b³) (a²+ b²)
53) ¹₀∫ x (tan⁻¹x). π²/16 - π/4 + 1/2 log 2
54) ∫ dx/(5cos x+ 3Sinx at (π/2,0). 1/√34 log|(8+√34)/(8-√34)|
55) ∫ √sinx cos⁵x at (π/2, 0). 64/231
56) ∫ cosx/(1+ sin²x) at (π/2, 0). π/4
57) ∫ sinx/√(1+ cosx) at (π/2, 0). 2(√2 -1)
58) ∫ cosx/(3+ 4sinx) at (π/3, 0). 1/4 log{(3+ 2√3)/3}
59) ¹₀∫ √(tan⁻¹x)/(1+ x²). 1/12 √π³
60) ¹₀∫ √(tan⁻¹{2x/(1+ x²)}. π/2 - log 2
61) ∫ (sinx cosx)/(1+ sin⁴x) at (π/2, 0). π/8
62) ∫ dx/(b sinx+ a cosx) at (π/2, 0). 1/√(a² + b²) log{(a+ b+ √(a²+ b²))/(a+ b - √(a² + b²))}
63) ∫ dx/√(5+ 4 sinx) at (π/2, 0). 2/3 tan⁻¹(1/3)
64) ∫ sinx/(sinx+ cosx) at (π, 0). π/2
65) ∫ dx/√(3+ 2 sinx + cosx) at (π, 0). π/4
66) ¹₀∫ tan⁻¹x. π/4 - 1/2 log 2
67) ¹₀∫ (x sin⁻¹x)/√(1- x²). π/√2
68) ∫ (√tanx +√cotx) at (π/4,0). π/√2
69) ∫ tan³x/(1+ cos 2x) at (π/4,0). 1/8
70) ∫ dx/(5+ 3cosx) at (π, 0). π/4
71) ∫ (x +sinx)/(1+ cosx) at (π/2, 0). π/2
72) ∫ dx/(a²sinx+ b²cosx) at (π/2, 0). π/(2ab)
73) ¹₀∫ tan⁻¹x/(1+ x²). π²/32
74) ∫ (cosx +sinx)/(3+ sin 2x) at (π/4, 0). 1/4 log 3
75) ¹₀∫ x tan⁻¹x/(1+ x²). π/4 - 1/2
76) ∫ x² sinx dx at (π/2,0). π/2 - 1
77) ∫ cos²x/(1+ 3 sin²x) dx at (π/2,0). π/6
78) ∫ sin³ 2x cos 2x dx at (π/4,0). 1/8
79) ∫ 5 ⁴√(5- 4 cosx) sinx dx at (π, 0). 9√3 - 1
80) ∫ sin 2x/cos³2x dx at (π/6,0). 3/4
81) ∫ cos⁵x dx at {π/2,0). 8/15
82) ∫ sin³x (1+ 2cosx)(1+ cosx)² dx at {π,0). 8/3
83) ∫ 2 sinx cosx tan⁻¹x (sinx) dx at {π/2,0). π/2 - 1
84) ∫ sin2x tan⁻¹x (sinx) dx at {π/2,0). π/2 - 1
85) ∫ (cos⁻¹x)² dx at {1,0). π - 2
86) ∫ sin⁻¹√{x/(a+ x)} dx at {a,0). a(π /2 -1)
87) ∫ √(1+ cosx)/√(1- cosx)³ at (π/2, π/3). 1
88) ∫ (sinx cosx)/(cos²x + 3 cosx +2) at (π/2, 0). log(9/8)
89) ∫ tanx/(1+ m²tan²x) at (π/2, 0). Log|m|/(m² - 1)
90) ∫ (sin²x cos²x)/(cos²x + 3 cosx +2) at (π/2, 0). log(9/8)
91) ∫ √(Cosx - cos³x) (sec²x -1) cos²x dx at {π/2,0). 8/21
92) ∫ cosx/(cos x/2 + sin x/2)ⁿ. 2/(2- n)(2¹⁻ ⁿ⁾² - 1)
MISCELLANEOUS-1 (Short Questions)
1) ∫ sin²x dx at(π/2, 0). π/4
2) ∫ cos²x dx at(π/2, 0). π/4
3) ∫ sin²x dx at(π/2, -π/2). π/2
4) ∫ cos²x dx at(π/2, -π/2). π/2
5) ∫ sin³x dx at(π/2, -π/2). 0
6) ∫ x cos²x dx at(π/2, -π/2). 0
7) ∫ tan²x dx at(π/4, 0). 1- π/4
8) ∫ dx/(x² +1) at (1,0). π/4
9) ∫ |x|dx/x at (1,-2). -1
10) ∫ e⁻ˣ dx at (∞,0). 1
11) ∫ dx/(16 -x²) at (4,0). π/2
12) ∫ dx/(x² +9) at (3,0). π/12
13) ∫ √(1 - cos 2x)dx at (π/2,0). √2
14) ∫ log tanx dx at (π/2,0). 0
15) ∫ log{(3+ 5 cosx)/(3+ 5 sinx) dx at (π/2,0). 0
16) ∫ sinⁿx/(sinⁿx + cosⁿx) dx n belongs to N at (π/2,0). π/4
17) ∫ cos⁵x dx at(π/, 0). 0
18) ∫ log{(a - sinx)/(a + sinx)}dx at (π/2, -π/2). 0
19) ∫ x |x| dx at (1,-1). 0
20) ∫ f(x)/{f(x)+ f(a + b -x)} dx at (b,a). (b -a)/2
21) ∫ dx/(1+ x²) at (1, 0). π/4
22) ∫ tanx dx at(π/4, 0). 1/2 log 2
23) ∫ dx/x at(3,2). Log(2/3)
24) ∫ √(4 - x²) dx at(2, 0). π
25) ∫ 2x/(1+ x²) dx at(1, 0). Log 2
26) ∫ x ₑx² dx at (1,0). 1/2 (e -1)
27) ∫ sin 2x dx at(π/4, 0). 1/2
28) ∫ dx/(x log x) at(e², e). Log 2
29) ∫ eˣ(sinx - cosx) dx at(π/2, e). 1
30) ∫ x/(x² +1) dx at(4, 2). 1/2 log(17/5)
31) ∫ (3x² + 2x + k) dx at(1, 0)= 0 find k. -2
32) ∫ 3x² dx at(a, 0)= 8 find a. 2
33) If f(x)=∫ t sin t dt at(x, 0) then find the value of f'(x). x sinx
34) ∫ dx/(4+ x²) dx at(a, 0)= π/8 find a. 2
35) Write the coefficient of a, b, c of which the value of the integral ∫ (ax² + bx + c) dx at(3, -3) is independent.
Miscellaneous-2
1) ∫ √(x (1- x) dx at(1, 0). π/8
2) ∫ dx/(1+ sinx) at (π, 0). 2
3) ∫ (x tanx/(secx + cosx) dx at(π, 0). π²/4
4) ∫ √(1+ sin (x/2)) dx at(2π, 0). 4
5) ∫ √cosx/(√cosx + √sinx) dx at(π/2, 0). π/4
6) ∫ dx/(1+ eˣ) at (∞,0). Log 2
7) ∫ (sin √x)/√x dx at (π²/4,0). 2
8) ∫ cos x/{(2+ sinx)(1+ sinx)} dx at (π/2,0). Log(4/3)
9) ∫ dx/(2+ cosx) at (π/2,0). 2/√3 tan⁻¹(1/√3)
10) ∫ √{(1- x)/(1+x)} dx at (π,0). π/2 - 1
11) ∫ dx/(a+ bcosx) at (π,0). π/√(a² - b²)
12) ∫ dx/(1+ √cotx) at (π/3,π/6). π/12
13) If ∫ x²/{(x²+a²)(x²+ b²)(x²+ c²)} dx at (∞,0)= π/2{(a+b)(b+c)(c+a)}, then the value of ∫ dx/{(x²+4)(x²+9)} is.. π/60
14) ∫ log x dx at (e,0). 1
15) ∫ dx/{(x²+1) at (√3, 1). π/12
16) ∫ (3x +1)/{(x²+9) at (3, 0). π/12+ log(2√2)
17) ∫ x/{(x+1)(1+ x²) at (∞,0). π/4
18) ∫ sin|x| at (π)2,-π)2). 2
19) ∫ dx/{(tanx+1) at (π/2, 0). π/4
20) ∫ cosx eˢᶦⁿ ˣ dx at (π/2, 0). e - 1
21) ∫ dx/{(4x²+1) at (a, 0). 1/2
22) ∫ sin³x cos²x dx at (π, -π). 0
23) ∫ dx/sin2x at (π/3, π/6). log√3
24) ∫ |(1 - x)| dx at (1, -1). 2
25) The derivative of f(x)= ∫ dt/{log t at (x³, x²), (x > 0), is x(x -1)
26) I₁₀= ∫ x¹⁰ sinx dx at (π/2, 0) then find the value of I₁₀ + 90I₈. 10(π/2)⁹
27) ∫ x /(1 - x)⁵⁴ at (1, 0). -16/3
28) ∫ |1 - x²| dx at (2, -2). 4
29) ∫ dx/{(1 + cot³x) at (π/2, 0). π/4
30) ∫ sinx/(sinx+ cosx) at (π/2, 0). π/4
31) ∫ d/dx [sin⁻¹{2x/(1+ x²)}] dx at (1,0). π/4
32) ∫ x sin x dx at (π/2,0). π
33) ∫ sin 2x log tan xdx at (π/2,0). 0
34) ∫ dx/(5+ 3 cosx) dx at (π,0). π/4
35) ∫ log(x + 1/x)(1/(1+ x²) dx at (∞,0). - π log 2
36) ∫ f(x) dx at (2a, 0) is
A) 2∫ f(x) dx at (a,0) B) 0
C) ∫ f(x) dx at (a,0) + 2∫ f(2a - x) dx at (a,0).
D) ∫ f(x) dx at (a,0) + ∫ f(2a - x) dx at (2a,0)
37) f(a+ b -x) dx= f(x), then ∫ xf(x) dx at (b, a) is
A) (a+b)/2 ∫ f(b - x) dx at (b,a) B) (a+b)/2 ∫ f(b +x) dx at (b,a)
C) (b - a)/2 ∫ f(x) dx at (b,a).
D) (a+b)/2 ∫ f(x) dx at (b,a)
38) ∫ tan⁻¹{(2x-1)/(1+ x - x²) dx at (1,0) 0
39) ∫ log{(4+ 3 sinx)/(4+ 3 cosx)} dx at (π/2,0). 0
40) ∫ (x³ + x cosx + tan⁵x +1) dx at (π/2,0). π
MISCELLANEOUS-3
1) ∫ x √(4 - x) dx at (4,0). 128/15
2) ∫ x √(3x - 2) dx at (2,1). 326/135
3) ∫ x/√(2x -1) dx at (5,1). 16/3
4) ∫ cos⁻¹x dx at (1,0). 1
5) ∫ tan⁻¹x dx at (1,0). π/4 - 1/2 log 2
6) ∫ cos⁻¹{(1- x²)/(1+ x²)} dx at (1,0). π/2 - log 2
7) ∫ tan⁻¹{2x/(1- x²)} dx at (1,0). π/2 - log 2
8) ∫ tan⁻¹{(3x- x³)/(1- 3x²)} dx at (1/√3,0). π/2√3 - 3/2 log(4/3)
9) ∫ (1- x)/(1+x) dx at (1,0). 2 log 2 - 1
10) ∫ cosx/(3 + 4 sinx) dx at (π/3,0). 1/4 log{(3+ 2√3)/3}
11) ∫ sin²x/(1+ cosx)² dx at (π/2 ,0). 2 - π/2
12) ∫ sinx/√(1+ cosx) dx at (π/2,0). 2(√2 - 1)
13) ∫ cosx/(1+ sin²x) dx at (π/2,0). π/4
14) ∫ sin³x(1+ 2cos x)(1+ cosx)² dx at (π,0). 8/3
15) ∫ x/{(1+ x)(1+ x²)} dx at (∞,0). π/4
16) ∫ sin2x sin 3x dx at (π/4,0). 3/(5√2)
17) ∫ √{(1- x)(1+ x)} dx at (1,0). π/2 - 1
18) ∫ 1/x² e⁻¹⁾ˣ dx at (2,1). (√e -1)/e
19) ∫ cos⁴x sin³x dx at (π/4,0). 2/35
20) ∫ √(1+ cosx)/√(1- cosx)⁵ dx at (π/2, π/3). 3/2
21) ∫ x² cos2x dx at (π/2,0). -π/4
22) ∫ log(1+ x) dx at (1,0). Log(4/e)
23) ∫ (x²+ x)/√(2x +1) dx at (4,2). 57/5 - √5
24) ∫ x(tan⁻¹x)² dx at (1,0). π²/16 - π/4 + 1/2 log 2
25) ∫ (cos⁻¹x)² dx at (1,0). π - 2
26) ∫ (x +3)/{x(x +2)} dx at (2,1). 1/2 log 6
27) ∫ eˣ sin x dx at (π/4,0). 1/2
28) ∫ tan⁴ x dx at (π/4,0). π/4 - 2/3
29) ∫ |2x - 1| dx at (1,0). 1/2
30) ∫ |x² - 2x| dx at (3,1). 2
31) ∫ |sinx - cosx| dx at (π/2,0). 2(√2 -1)
32) ∫ |sin 2πx| dx at (1,0). 2/π
33) ∫ |x² - 4| dx at (3,1). 4
34) ∫ sin⁹x dx at (π/2, -π/2). 0
35) ∫ cosx log{(1+x)/(1- x)} dx at (1/2, - 1/2). 0
36) ∫ x ₑx²/(1+ x²) dx at (a, -a). 0
37) ∫ dx/(1+ cot⁷x) at (π/2, 0). π/4
38) ∫ cos⁷x dx at (2π, 0). 0
39) ∫ √x/{√x+ √(a - x)}at (a, 0). a/2
40) ∫ dx/(1+ tan³x) at (π/2, 0). π/4
41) ∫ (x sinx)/(1+ cos²x) at (π, 0). π²/2
42) ∫ x sinx cos⁴x at (π, 0). π/5
43) ∫ x/(a² cos²x + b² sin²x) at (π, 0). π²/2ab
44) ∫ | tan x| dx at (π/4, -π/4). Log 2
45) ∫ x/(1+ cos a sinx) at (π, 0). 2 - √2
46) ∫ (x sinx cosx)/(sin⁴x+ cos⁴x) at (π/2, 0). πa/sin a
47) ∫ cos²x/(sinx+ cos x) at (π/2, 0). π²/16
48) ∫ cos 2x log sinx at (π, 0). 1/√2 log(√2 +1)
49) ∫ x/(a²- cos²x) at (π, 0), a > 1. -π/2
50) ∫ x/(a²- cos²x) dx at (π, 0), a> 1. π²/{2a √(a² -1)}
51) ∫ xtan x/(secx + tan x) dx at (π, 0). π/2 (π - 2)
52) ∫ √x/{√(5 -x) +√x} dx at (3, 2). 1/2
53) ∫ sin² x/(sinx + cos x) dx at (π/2, 0). 1/√2 log (√2+1)
54) ∫ x/(sin²x + cos²x) dx at (π/2, 0). π²/8
55) ∫ x¹⁰ sin⁷x dx at (π, -π). 0
56) ∫ cot⁻¹(1 - x +x²) dx at (1,0). π/2 - log 2
57) ∫ dx/(6- cosx) at (π, 0). π/√35
58) ∫ dx/(2 cosx + 4 sinx) dx at (π/2, 0). 1/2√5 log{(√5+1)/2(√5-2)
59) ∫ cosec x cotx/(1+ cosec²x) dx at (π/2, π/6). tan⁻¹(1/3)
60) ∫ dx/(4cos x + 2 sinx) at (π/2,0). 1/√5 log{(√5+1)/(√5 -1)}
DEFINITE INTEGRATION BY PROPERTY
1) ₐᵇ∫ f(x) dx = ₐᵇ∫ f(a+ b - x) dx
₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ⁾⁾ ⁻ ⁺ ₑ ᵉˣ ₓ ₙⁿ
1) ∫ sinx/(sinx + cosx) at (π/2,0). π/4
2) ∫√secx/(√secx +√cosecx) at (π/2, 0). π/4
3) ∫√sinx/(√sin x +√cos x) at (π/2,0). π/4
4) ∫ ³√cosx/(³√cosx + ³√sinx) at (π/2,0).
5) ∫ dx/(1+³√tanx) dx at(π/2,0). π/4
6) ∫sin²⁰x/(sin²⁰x + cos²⁰x) at (π/2,0). π/4
7) ∫√cotx/(√cotx +√tanx) at (π/2,0). π/4
8) ∫sin³x/(cos³x+ sin³x) at (π/2,0). π/4
9) ∫dx/(1+tan⁴x) at (π/2,0). π/4
10) ∫cosx/(sinx+ cosx) at(π/2,0). π/4
11) ∫cos¹⁰⁰x/(sin¹⁰⁰x+ cos¹⁰⁰x) at (π/2,0). π/4
12) dx/(1+cotx) at (π/2,0). π/4
13) ∫ dx/(1+√tanx) at (π/2,0). π/4
14) ∫ sin³⁾²x/(sin³⁾²x+cos³⁾²x) at (π/2,0) . π/4
15) ∫ sinⁿx/(sinⁿx+cosⁿx) at (π/2,0). π/4
16) ²₁∫√x/{√x +√(3-x)}. 1/2
17) ∫log(tanx) at(π/2,0). 0
18) ∫√x/(√x +√(5-x) at (3,2).
19) ∫ dx/(1+√tanx) at (π/3,π/6). π/12
20) ∫ dx/(1+√cotx) at (π/3,π/6). π/12
21) ∫ (x sinx)/(eˣ +1) at (π/2, -π/2). 1
22) ∫ sec²x/(eˣ +1) at (π/4, -π/4). 1
23) ∫ f(x)/{f(x)+ f(2a - x)} at (2a,0)
24) ᵇₐ∫f(x)/{f(x) + f(a+b-x)}. (b-a)/2
25) ∫ eˢᶦⁿˣ/(eˢᶦⁿˣ +e⁻ˢᶦⁿˣ) at (2π, 0). π
26) ∫ log(sec x + tanx) dx at(2π,0). 0
27) ∫ √tanx/(√tanx + √cotx) at (π/3,π/6). π/12
28) ∫ √sinx/(√sinx + √cosx) at (π/3,π/6). π/12
29) ∫ √tan²x/((eˣ +1)) at (π/4, -π/4). 2 - π/2
30) ᵃ₋ₐ∫ dx/(1+ aˣ). a
31) ∫ dx/(1+ eᵗᵃⁿ ˣ) at (π/3, -π/3). π/3
32) ∫ cos²x/(eˣ +1)at (π/3, -π/2). π/2
33) ∫ (x¹¹ - 3x⁹ + 5x⁷ - x⁵+1)/cos²x at (π/4, -π/4). 2
34) ᵇₐ∫ x¹⁾ⁿ/{x¹⁾ⁿ+ (a+ b-x)}¹⁾ⁿ, n belongs to N, n ≥ 2. (b- a)/2
35) ∫ (2 log cos x - log sin 2x) dx at (π/2, 0). -π/2 log 2
36) ᵃ₀∫ √x dx/{(√x + √(a - x)}. a/2
37) ₀⁵∫ ⁴√(x+4)/{⁴√(x+4)+ ⁴√(9-x)}. 5/2
38) ₀⁷∫ ³√x/{³√x+ ³√(7 -x)}. 7/2
39) ∫ log(1+ tan x) dx at(π/4, 0). π/8 log 2
40) ∫ (sinx - cos x)/(1+ sinx cosx) at (π/2,0). 0
41) ∫ (2 log sin x - log sin2x) dx at (π/2,0). -π/2 log 2
42) ∫ eᶜᵒˢˣ /(eᶜᵒˢˣ + e⁻ᶜᵒˢˣ) at(π,0). π/2
43) ₀¹∫ x(1- x)ⁿ dx. 1/{(n+1)(n+2)}
44) ∫ sin 2x log tan x dx at (π/2,0)= 0
45) ₀¹∫ log(1/x -1) dx = 0.
46) ∫(a+b-x) dx at (b,a).
47) ∫ f(x-c) dx at (b-c, a-c).
48) (acos²x + b sin²x) dx at(π/2,0).
49) ∫sin²x dx at (π/2,0).
50) ∫sin²x/(sinx + cosx) at (π/2,0). -1/√2 log(√2-1)
51) ∫ sin²x/(1+ sinxcosx) at(π/2,0). π/3√3
52) ₀¹∫ cot⁻¹(1- x + x²) dx. π/2 - log 2
53) ∫cosx/(1+ sinx+ cosx) at(π/2,0). π/4 - 1/2 log 2
54) ∫cos²x/(sinx+ cosx) at(π/2,0).
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