EXERCISE-1
-----------------
1) ∫ x eˣ. (x-1)eˣ
2) ∫ x e²ˣ. (x/2 - 1/4) e²ˣ
3) ∫ x² eˣ. x² eˣ - 2[x eˣ]
4) ∫ x² e⁻ˣ. -e-ˣ(x² + 2x+2)
5) ∫ x³ eˣ. (x³- 3x²+ 6x -6) eˣ
6) ∫ 2x³ ₑx². ₑx². (x²-1)
7) ∫ log x. x log x - x
8) ∫ (log x)². x(log x)² - 2(x log x - x)
9) ∫ log (x+1). x log(x+1) - x + log(x+1)
10) ∫ x log x. x²/2 logx - x²/4
11) ∫ x³ log 2x. x⁴/4 log 2x - x⁴/16
12) ∫ x³ log x. x⁴/4 log x - x⁴/16
13) ∫ (log(log x))/x. log x{log(log x) -1}
14) ∫ (logx)/x². -1/x (1+ logx)
15) ∫ log(1+ x²). x log(x²+1) - 2x + 2 tan⁻¹x
16) ∫ x log(1+ x). x²/2 log(x+1) - 1/2[x²/2 - x + log|x+1|]
17) ∫ (log x)² x. x²/2 ((logx)² - log x + 1/2)
18) ∫ xⁿ log x. xⁿ⁺¹/(n+1) . Log x - xⁿ⁺¹/(n+1)²
19) ∫ (log x/xⁿ x¹⁻ⁿ/(1 - n) . Log x - x¹⁻ⁿ/(1- n)²
20) ∫ log₁₀x. 1/log 10 [x(log x - 1)]
21) ∫ x sin 2x. -x/2 cos 2x + 1/4 sin 2x
22) ∫ x sin 3x dx. -x/3 cos 3x + 1/9 sin 3x
23) ∫ x sin²x. x²/4 - x/4 sin 2x - 1/8 cos 2x
24) ∫ x² sinx. -x² cos x +2|x sin x + cos x|
25) ∫ sin√x. 2(- √x cos√x + sin√x)
26) ∫ x² sin²x. x³/6 - x²/4 sin 2x - x/4 cos 2x + 1/8 sin 2x
27) ∫ x sin³x. -3x/4 cosx + 3/4 sinx + x/12 cos 3x - 1/36 sin 3x
28) ∫ sin³√x. 3√x³ sin³√x + 6 ³√x cos³√x + 6 cos³ √x
29) ∫ x cos x. x sinx + cosx
30) ∫ x² cos x. x² sinx + 2x cosx - 2 sinx
31) ∫ x² cos 2x. x²/2 sin2x + x/2 cos 2x -1/4 sin 2x
32) ∫ x cos²x. x²/4 + (x sin 2x)/4 + (cos 2x)/8
33) ∫ x³ cos x². x²/2 sin x² + 1/2 cos x²
34) ∫ cos√x. 2(√x sin√x + cos√x)
35) ∫ x cos³x. x/12 sin3x + 1/36 cos 3x + 3x/4 sinx + 3/4 cos x
36) ∫ x sec²x. x tanx + log|Cos x|
37) ∫ sec³x. 1/2 sec tanx + 1/2 log|secx + tanx|
38) ∫ x cosec²x - x cot x + log|sinx|
39) ∫ cosec³x. -1/2 cosecx cot x + 1/2 log|tan(x/2)|
40) ∫ x tan²x x tanx - log secx - x²/2
41) ∫ sin⁻¹x. x sin⁻¹x + √(1- x²)
42) ∫ sin⁻¹(3x - 4x³). 3x sin⁻¹x + 3√(1- x²)
43) ∫ sin⁻¹{2x/(1+ x²)}. 2x tan⁻¹x - log|1+ x²|
44) ∫ x sin⁻¹x. x²/2 sin⁻¹x + x/4 √(1- x²) - 1/4 sin⁻¹x
45) ∫ x² sin⁻¹x. x³/3 sin⁻¹x + 1/3 √(1- x²) - 1/9 √(1-x²)³
46) ∫ sin⁻¹√{x/(a+x)}. x tan⁻¹√(x/a) - √(ax) + a tan⁻¹√(x/a)
47) ∫ cos⁻¹(4x³ - 3x). 3x cos⁻¹x - 3 √(1- x²)
48) ∫ cos⁻¹{(1- x²)/(1+ x²)}. 2x tan⁻¹x - log|1+ x²|
49) ∫ tan⁻¹x. x tan⁻¹x - 1/2 log|1-+x²|
50) ∫ tan⁻¹{3x - x³)/(1- 3x²)}. 3x tan⁻¹x - 3/2 log|x²+1|
51) ∫ sec⁻¹x. x(sec⁻¹x) - log|x + √(x²- 1)|
52) ∫ x tan⁻¹x. x²/2 tan⁻¹x - 1/2(x - tan⁻¹x)
53) ∫ x² tan⁻¹x. x³/3 tan⁻¹x - x²/6 + 1/6 log|x²+ 1|
54) ∫ tan⁻¹{2x/(1- x²)}. 2x tan⁻¹x - log|(1+ x²)|
55) ∫ tan⁻¹ √{(1-x)/(1+x)}. x/2 (cos⁻¹x) - 1/2 √(1- x²)
56) ∫x cot⁻¹x. x²/2 cot⁻¹x + 1/2(x - tan⁻¹x)
MISCELLANEOUS-1
------------------------------
1) ∫ (x - sinx)/(1- cosx). - x cot(x/2)
2) ∫ (x + sinx)/(1+ cosx). x tan(x/2)
3) ∫ (sin⁻¹x)/√(1- x²)³. x/√(1-x²) sin⁻¹x + 1/2 log|1- x²|
4) ∫ x(sin⁻¹x)/√(1- x²). - √(1-x²) sin⁻¹x + x
5) ∫ x²(tan⁻¹x)/(1+ x²). x tan⁻¹x - 1/2 log|1+ x²| - 1/2 (tan⁻¹x)²
6) ** ∫ (sin⁻¹√x - cos⁻¹√x)/(sin⁻¹√x + cos⁻¹√x). 2/π [√(x - x²) - (1- 2x) sin⁻¹√x] - x
7) ∫ [√(x²+1){log(x²+1) - 2 log x}]/x⁴. -1/3 √(1+ 1/x²)³ {log(1+ 1/x²) - 2/3}
8) ∫ x²/(x sinx + cos x). (sinx - x cos x)/(x sinx + cosx)
9) ∫ x sinx cosx. -x/4 cos 2x + 1/8 sin 2x
10) ∫ sin x log(cos x). cosx(1- log cos x)
11) ∫ ₑ√x. 2ₑ√x . (√x -1)
12) ∫ {log(x+2)}/(x+2)². - 1/(x+2) - {log(x+2)}/(x+2)
13) ∫ x{(sec 2x -1)/(sec 2x +1)}. x tanx - log secx - x²/2
14) ∫ (x+1) eˣ log(xeˣ). W x eˣ(log (xeˣ) - 1)
15) ∫ (e ˡᵒᵍ ˣ + sinx). x²/2 - cos x
16) ∫ (x tan⁻¹x)/√(1+x²)³. -Tan⁻¹x/√(1+ x²) + x/√(1+ x²)
17) ∫ (x³ sin⁻¹x²)/√(1- x⁴). 1/2 {x² - √(1- x⁴) sin⁻¹x²}
18) ∫ (x³ tan⁻¹x). {(x⁴-1)/4}Tan⁻¹x - x³/12 + x/4.
19) ∫ tan⁻¹(√x) (x+1)Tan⁻¹√x - √x
20) x sinx cos 2x. 1/2[- x/3 cos 3x + 1/9 sin3x + x cosx - sinx]
21) ∫ (tan⁻¹x²). x²/2 Tan⁻¹x² - 1/4 log|(1+ x⁴)|
22) ∫ log(1+ x²). x log(1+ x²) - 2x + 2 tan⁻¹x
23) ∫ x² tan⁻¹x. x³/3 tan⁻¹x - x²/6 + 1/6 log|x²+1|
24) ∫ sec⁻¹√x. x sec⁻¹√x - √(x -1)
25) ∫ {x² sin⁻¹x}/√(1- x²)³. {x sin⁻¹√x}/√(1- x²) - 1/2 (sin⁻¹x)²+ 1/2 log|(1- x²)|
26) ∫ (sin⁻¹x))x². (sin⁻¹x))x + log|{1- √(1- x²)}/x|
27) ∫ (x+1) log x. (x + x²/2)logx - (x + x²/4)
28) ∫ f(x) g"(x) - f"(x) g(x). f(x) g'(x) - g(x) f'(x)+ C
EXERCISE- 2
--------------
1) ∫ eˣ(1/x - 1/x²). eˣ/x
2) ∫ eˣ(1/x² - 2/x³). eˣ/x²
3) ∫ eˣ{(x-1)/2x²}. eˣ/2x
4) ∫ eˣ{x/(x+1)²}. eˣ/(x+1)
5) ∫ eˣ {(x - 1)/(x+1)³}. eˣ/(x+1)²
6) ∫ eˣ {(1 - x)²/(x²+1)²}. eˣ/(x²+1)
7) ∫ eˣ {(1+ x)/(x+2)²}. eˣ/(x+2)
8) ∫ eˣ {(2- x)/(1 - x)²}. eˣ/(1 -x)
9) ∫ eˣ {(x²+1)/(x+1)²}. eˣ - eˣ/(x +1)
10) ∫ eˣ {(x -3))/(x- 1)³}. eˣ/(x -1)²
11) ∫ eˣ(log x + 1/x). eˣ logx
12) ∫ eˣ(log x + 1/x²). eˣ (logx -1/x)
13) ∫ eˣ/x {x(log x)² + 2 log x}). eˣ (logx)²
14) ∫ {1/(log x) - 1/(log x)². x/logx
15) ∫ log x/(1+ log x)². x/(logx +1)
16) ∫ log(logx) + 1/(logx)². x log(logx) - x/(logx)
17) ∫ eˣ(cosx - sinx). eˣ cosx
18) ∫ eˣ(cosx + sinx). eˣsinx
19) ∫ eˣ {(1+ sinx)/(1+ cos x). eˣ tan(x/2)
20) ∫ eˣ {(2+ sin 2x)/(1+ cos 2x). eˣ tan x
21) ∫ eˣ {(1- sinx)/(1- cos x). - eˣ cot(x/2)
22) ∫ eˣ(cot x - cosec²x). eˣ cot x
23) ∫ eˣ secx(1+ tanx). eˣ secx
24) ∫ eˣ (tanx - log cosx). eˣ log secx
25) ∫ eˣ (secx + log (secx + tanx)). eˣ log (secx+ tanx)
26) ∫ eˣ (cotx + log sinx). eˣ log sinx
26) ∫ eˣ (tanx + log secx). eˣ log secx
27) ∫ eˣ {(sin 4x - 4)/(1- cos 4x). eˣ cot 2x
28) ∫ e²ˣ (- sin x + 2cos x). e²ˣ cosx
29) ∫ eˣ{(sinx cosx -1)/sin²x). eˣ cot x
30) ∫ eˣ{(sinx cosx +1)/cos²x). eˣ tan x
31) ∫ e⁻ˣ⁾² {(1- sinx)/(1+ cosx)}. e⁻ˣ⁾² sec(x/2)
32) ∫ e²ˣ{(1+ sin 2x)/(1+ cos 2x)}. e²ˣ tanx
33) ∫ eˣ{√(1- x²) sin⁻¹x +1}/√(1- x²). eˣ sin⁻¹x
34) ∫{sin x (logx) + cos(logx)}. x sin(log x)
35) ∫ {tan(logx) + sec²(logx)}. x tan(log x)
36) ∫ eˣ{1/(1+ x²) + tan⁻¹x}. eˣ tan⁻¹x
EXERCISE - 3
-----------------
1) ∫ e²ˣ sin 3x. e²ˣ/13 (2 sin 3x - 3 cos 3x)
2) ∫ eᵃˣ cos bx. eᵃˣ/(a²+b²) (a cos bx + b sin bx)
3) ∫ e⁻ˣ cosx. e⁻ˣ/2(sinx - cosx)
4) ∫ e⁻²ˣ sinx. e⁻²ˣ/5(- 2 sinx - cosx)
5) ∫ sin(log x). x/2 [sin(logx) - cos(log x)
6) ∫ cos(log x). x/2 [cos(logx) + sin(log x)
7) ∫ eᵃˣ cos(bx +c). eᵃˣ/(a²+ b²) {a cos(bx +c) + b sin(bx +c)
8) ∫ eᵃˣ sin(bx +c). eᵃˣ/(a²+ b²) {a sin(bx +c) - b cos(bx +c)}
9) ∫ e²ˣ cos(3x +4). e²ˣ/13 {2 cos(3x +4) + 3 sin(3x +4)}
10) ∫ eˣ cos²x. eˣ/2 + eˣ/10( cos2x + 2 sinx)
11) ∫ e²ˣ cos²x. e²ˣ/4 + e²ˣ/8 ( cos2x + 2 sin2x)
12) ∫ eˣ sin²x. eˣ/2 - eˣ/10 ( cos2x + 2 sin 2x)
13) ∫ 1/x³ sin(logx) -1/5x² [cos(log x) + 2sin(logx)]
14) ∫ e²ˣ sinx cos x. e²ˣ (sin 2x - cos 2x)
15) ∫ e²ˣ sinx. e²ˣ/5 (2sinx - cos x)
16) ∫ x² ₑx³ cos x³. ₑx³/6 (sin x³ + cos x³)
INTEGRAL OF THE FORM
∫√(ax²+ bx+ c) dx
For Solution:
STEP -1: Make coefficient of x² as one by taking 'a' common to obt6 x² + bx/a + c/a
STEP -2: Add and subtract (b/2a)² in x² + bx/a + c/a to obtain (x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a².
After applying these two steps the integral reduces to one of the following three forms:
* ∫√(a²+x²) dx.
* ∫√(a²- x²) dx.
* ∫√(x² - a²) dx
STEP-3: Use the appropriate formula.
1) ∫√(a²+x²) dx = x/2 √(a² + x²) + a²/2 log|x + √(a² + x²)|
2) ∫√(a²- x²) dx= x/2 √(a² - x²) + a²/2 sin⁻¹(x/a)
3) ∫√(x² - a²) dx = x/2 √(x² -a²) - a²/2 log|x + √(x² - a²)|
EXERCISE- 4
--------------
1) ∫√(x²+ 2x +5) dx. 1/2 (x+1) √(x²+ 2x +5) + 2 log|(x+1) + √(x²+ 2x +5)|
2) ∫√(x²+ x +1) dx. (2x+1)/4 √(x²+ x +1) + 3/8 log|(2x+1) + √(x²+ x +1)|
3) ∫√{(x-3)(5- x)} dx. 1/2 (x -4) √{(x -3)(5-x) + 1/2 sin⁻¹{(x-4)/1}
4) ∫√(7x - 10 - x²) dx. 1/4 (2x-7) √(7x -10 -x²) + 9/8 sin⁻¹{(2x-7)/3}
5) ∫√(3+ 2x - x²) dx. 1/2 (x-1) √(3+ 2x -x²) + 2 sin⁻¹{(x- 1)/2}
6) ∫√(1+ x - 2x²) dx. 1/8 (4x-1) √(1+ x - 2x²) + 9√2/32 sin⁻¹{(4x- 1)/3}
7) ∫√(2x² + 3x+4) dx. 1/8 (4x+3) √(2x² +3x+4) + 23√2/32 log|{(x +3/4) + √(x² +3x/2 + 2)}
8) ∫√(3- 2x - 2x²) dx. 1/4 (2x+1) √(3- 2x - 2x²) + 7/4√2 sin⁻¹{(2x+ 1)/√7}
9) ∫√(4x² +9) dx. x/2 √(4x² +9) + 9/4 log|2x + √(4x²+9)|
10) ∫√(x -x²) dx. 1/4 (2x -1) √(x -x²) + 1/8 sin⁻¹{(2x-1)}
11) ∫√(9 -x²) dx. x/2 √(9 -x²) + 9/2 sin⁻¹{x/3}
12) ∫√(3 -x²) dx. x/2 √(3 -x²) + 3/2 sin⁻¹{x/√3}
13) ∫√(2ax -x²) dx. 1/2 (x -a) √(2ax -x²) + a²/2 sin⁻¹{(x -a)/a}
14) ∫√(16x² +25) dx. 2x √(x² + 25/16) + 25/8 log|x+ √(x² + 25/16)|
15) ∫√(4x² - 5) dx. x √(x² - 5/4) - 5/4 log|x + √(x² - 5/4)|
16) ∫ x√(x⁴ +1) dx. 1/4 x²√(x⁴+ 1) + 1/4 log|x² + √(x⁴ + 1)|
17) ∫ x²√(a⁶ - x⁶) dx. 1/4 x³√(a⁶ - x⁶) + a⁶/6 sin⁻¹{x³/a³}
18) ∫ √{16+ (log x)²}/x. 1/2 log x √{(logx)²+ 16} + 8 log|log x + √{(logx)² +16}|
19) ∫ eˣ √(e²ˣ +1) dx. eˣ/2 √(e²ˣ +1) + 1/2 log|eˣ + √(e²ˣ +1)|
20) ∫ cos x √(4 - sin²x) dx. 1/2 sin x √(4 - sin²x) + 2 sin⁻¹{1/2 sinx}
21) ∫√{(1- √x)/(1+ √x)} dx. (1- x) (√x -2) - sin⁻¹√x
INTEGRALS OF THE FORM
∫ (px +q) √(ax² + bx + c) dx.
For Solution:
STEP-1: Express px + q as
px + q= K d/dx (ax² + bx + c) + M
i e. px +q = K(2ax+ b)+ M
STEP-2: Obtain the values of K and M by equating the coefficient of x and constant terms on both sides.
STEP-3: Replace px +q by K(2ax +b) + M in the integral to obtain.
∫ (px+q) √(ax² + bx +c) dx =
K ∫ (2ax+ b) √(ax²+bx +c) dx + M ∫ √(ax² + bx +c) dx.
STEP-4: To evaluate first integral on RHS, use the formula
∫ (f(x))ⁿ f'(x) dx = (f(x))ⁿ⁺¹/(n+1).
Evaluate second integral on RHS by the method as Exercise-4
EXERCISE -5
-----------------
1) ∫ (x -5) √(x²+ x) dx. 1/3 √(x²+x)³ - 11/7 [(2x+1)/4 √(x²+x) - 1/8 log|(x + 1/2) + √(x²+x)|]
2) ∫ (3x -2) √(x²+ x +1) dx. √(x²+x+1)³ - 7/2 [(x+1/2) √(x²+x +1) + 3/8 log|(x + 1/2) + √(x²+x+1)|]
3) ∫ (x +1) √(x²- x +1) dx. 1/3 √(x²-x +1)³ + 3/8 {(2x-1) √(x²-x+1) + 9/16 log|(x - 1/2) + √(x²+x+1)|
4) ∫ (x +1) √(2x²+ 3) dx. 1/6 √(2x²+3)³ + x/2 √(x²+3)+ 3√2/4 log|{x √2 + √(2x²+3)}/√3|
5) ∫ (x +2) √(x²+ x+1) dx. 1/3 √(x²+x+1)³ + 3/8(2x+1) √(x²+x+1) + 9/16 log|(x + 1/2) + √(x²+x +1)|
6) ∫ (4x +1) √(x²- x-2) dx. 4/3 √(x²-x-2)³ + 3/4 (2x-1) √(x²-x-2) - 27/8 log|(x - 1/2) + √(x²-x-2)|
7) ∫ (x -2) √(2x²-6 x+5) dx. 1/6 √(2x²-6x+3)³ - 1/√2 [(2x-3)/4 √(x²-3x+ 5/2) + 1/8 log|(2x -3)/2 + √(x²-3x+ 5/2)|]
8) ∫ (x +1) √(x²+ x+1) dx. 1/3 √(x²+x+1)³ +1/3 [(2x+1)/4 √(x²+x +1) + 3/8 log|(x + 1/2) + √(x²+x +1)|]
9) ∫ (2x +3) √(x²+ 4x+3) dx. 2/3 √(x²+4x+3)³ - [(x+2)/2 √(x²+4x+3) - 1/2 log|(x + 2) + √(x²+4x+3)|]
10) ∫ (2x -5) √(x²- 4x+3) dx. 2/3 √(x²-4x+3)³ - [(x-2)/2 √(x²-4x+3) - 1/2 log|(x - 2) + √(x²- 4x +3)|]
11) ∫ x √(1- x²+ x) dx. - 1/3 √(1 - x²+x)³ + 1/2 [(x- 1/2)/2 √(1-x²+x) + 5/8 sin⁻¹{(2x-1)/√5}
12) ∫ (x+1) √(1- x²- x) dx. - 1/3 √(1 - x²-x)³ + 1/8 (2x+ 1/2) √(1-x²-x) + 5/16 sin⁻¹{(2x+1)/√5}
13) ∫ (2x-5) √(2- x²+ 3x) dx. - 2/3 √(2 - x²+3x)³ - (2x- 3)/2 √(2-x²+3x) - 17/4 sin⁻¹{(2x-3)/√17}
14) ∫ x √(x²+ x) dx. 1/3 √( x²+x)³ - 1/8 (2x +1) √(x²+x) + 1/16 log |(x + 1/2) + √x² +x)|
No comments:
Post a Comment