1) ∫ (x²+5x -1)/√x. x⁷/7 + 3x⁵ + 25x³ +125x
2) ∫ tan²x. Tanx - x
3) ∫ dx/(sin²x cos²x). tanx - cot x
4) ∫ (sin⁶x + cos⁶x)/(sin²x cos²x). tanx - cot x - 3x
5) ∫ (cosx- cos 2x)/(1- cosx). 2 sinx + x
6) ∫ x³/(x+2). x³/3 - x² + 4x - 8 log|x+2|
7) ∫ x²/(x²+ 5). x - √5 tan⁻¹(x/√5)
8) ∫ 5ˡᵒᵍ ˣ
9) ∫ ₂log₄x. 2/3 √x³
10) ∫ sin(logx)/x. - cos (log x)
11) ∫ (3 sinx + 4 cos x)/(4 sinx - 3 cosx). Log|4 sinx - 3 cosx|
12) ∫ (ₑm tan⁻ ¹x)/(1+ x²). 1/m (ₑm tan⁻ ¹x)
13) ∫ x. Sin(4x² +7). -1/8 cos(4x³ +7)
14) ∫ cos 4x cos 7x. 1/6 sin 3x + 1/22 sin 11x
15) ∫ cosx cos 2x cos 5x. 1/8 sin 2x + 1/16 sin 4x + 1/24 sin 6x + 1/32 sin 8x
16) ∫ x √(x -5). 2[5 √(x-5)⁵ + 5/3 √(x- 5)³]
17) ∫ (8x +13)/√(4x +7). 1/3 √(4x +7)³ - 1/2 √(4x +7)
18) ∫ x³/√(1+ 2x). 1/8 [1/7 √(2x+1)⁷ - 3/5 √(1+ 2x)⁵ + √(2x+1)³ - √(2x +1)]
19) ∫ (x²+1)/(x² -1)². x/(1- x²)
20) ∫ x²/(a + bx)². 1/b³ [bx - 2a log|(bx +a)| - a²/(a+ bx)]
21) ∫ dx/{√(x+1) √x}. 2/3 √(1+ x)³ + 2/3 √x³
22) ∫ (x²- 1)/{(x⁴ +3x² +1) tan ⁻¹{x + 1/x}. log|tan ⁻¹{x + 1/x}
23) ∫ (x⁻⁷⁾⁶ - x⁵⁾⁶)/{x¹⁾³(x²+ x+ 1)¹⁾² - x¹⁾²(x + x+1)¹⁾³. -6{z³/3 + 3z²/2 + 3z + log|z|} where z= (x + 1/x +1)¹⁾⁶ - 1
24) The value of ∫{[ x ]} dx, (where {.} and [.] denotes fractional part of x and greatest integer function) is equal to
A) 0. B) 1 C) 2 D) -1
25) The value of ∫ [{ x }] dx, (where [.] and denotes greatest integer and fractional part of x) is equal to
A) 0. B) 1 C) 2 D) -1
26) ∫ {d(x² +1)}/√(x² +2)
A) 2 √(x² +2) B) (x² +2)
C) x √(x² +2) D) none
27) ∫ (√x)⁵/{(√x)⁷ + x⁶} dx = a log{xᵏ/(1+ xᵏ) + c, then a and k are.
A) 2/5, 5/2. B) 1/5, 2/5
C) 5/2, 1/2 D) 2/5, 1/2
28) ∫ (cos 5x + cos 4x)/(1- 2 cos 3x).
A) sinx + sin2x+ c
B) sinx - 1/2 sin2x+ c.
C) - sinx - 1/2 sin2x+ c D) n
29) ∫ (cos 7x - cos 8x)/(1+ 2 cos 5x).
A) 1/2 sinx + 1/3 cos 3x+ c
B) sinx - cos x+ c.
C) 1/2 sin 2x - 1/3 cos 3x+ c D) n
30) If ∫ f(x) cosx dx = 1/2 f²(x)+ c, then f(x) can be
A) x B) 1 C) cos x D) sin x.
31) ∫ (x + 1/x)ⁿ⁺⁵ . {(x² - 1)/x²} dx.
A) (x+ 1/x)ⁿ⁺⁶ + c
B) {(x² - 1/x²)ⁿ⁺⁶} /(n+6)+ c
C) {(x + 1/x)ⁿ⁺⁶}/(n+6)+ c
D) none
32) ∫ (1- cotⁿ⁻² x)dx/(tanx + cot x cotⁿ⁻²)
A) 1/n log|sinⁿx + cos ⁿx|+ c
B) 1/2n log|sinⁿx+ cos ⁿx|+ c
C) 1/(n -2) log|sinⁿ⁻¹x + cosⁿ⁻¹x|+ c
D) 2/(n -2) log| sinⁿ⁻¹x + cos ⁿ⁻¹x| + c
33) ∫ dx/{x(xⁿ +1).
A) -1/n log|(xⁿ+1)/x ⁿ|
B) n log|(xⁿ+1)/x ⁿ|
C) - n log|xⁿ/(1+x ⁿ)| D) n
34) ∫dx/{1+ √x) √(x - x²).
A) 2(√x +1)/√(1- x)
B) 2(√x -1)/√(1- x)
C) -2(√x -1)/√(1- x) D) none
35) ∫ (3+ 2 cosx)/(2+ 3 cosx)²
A) sinx/(2+ 3 cosx)
B) 2sinx/(2+ 3 cosx)
C) 3 cosx/(2+ cosx) D) none
***
35) ∫ sin⁻¹x dx. x sin⁻¹x + √(1- x²)
36) ∫ logₑ|x|. x log|x| - x
37) ∫ x cos x. x sin x + cosx
38) ∫ x² cos x. x² sin x + 2x cosx - 2 sinx
39) ∫ (sin⁻¹√x - cos⁻¹√x)/(sin⁻¹√x + cos⁻¹√x). 2/π [√(x -x²) - (1- 2x)
sin⁻¹√x - x]
40) ∫ eˣ{(1+ sinx cos x)/cos²x}. eˣ tanx
41) ∫ eˣ{(1+ sin 2x)/(1+ cos 2x}. 1/2 eˣ tanx
42) ∫ eˣ{(1- x)/(1+ x²)}². eˣ/(1+ x²)
43) ∫ eˣ cos² x. 1/2 eˣ + 1/10 eˣ{(cos 2x) + 2 sin 2x}.
44) ∫ sin(log x). x/2 {sin(log x) - cos(log x)}
45) ∫ x²/(x sin x + cosx)². -(x secx)/(x sin x + cosx) + tanx
46) ∫ sin³ x cos⁵x. 1/4 sin⁴x - 1/3 sin⁶x + 1/8 sin⁸x
47) ∫ sin⁻¹¹⁾⁶ x cos⁻¹⁾³x. -{3/2 (cot ²⁾³x + 3/8(cot⁸⁾³x)}
48) ∫ dx/{sin(x - a) cos(x - b). 1/cos(a- b) log|{sin(x- a)}/{cos(x - b)}|
49) ∫ dx/{cos(x - a) cos(x - b). 1/sin(a- b) log|{cos(x- a)}/{cos(x - b)}|
50) ∫ sin(x+ a)/{sin(x +b). (x + b) cos(a- b) + sin (a- b) log|{sin(x + b)|
**
51) ∫ dx/(x² + x+1). 2/√3 tan⁻¹ {(2x-1)/√3}
52) ∫ dx/(2x² + x-1). 1/3 log| {(x-1/2)/(x +1)}
53) ∫ dx/√(x² - 2x+3). log| {(x-1) + √(x² - 2x +3)}|
54) ∫ √(2x² - 3x+1). √2 [1/8 (4x- 3) √(x² - 3x/2 + 1/2) - 1/32 log|(x -3/4)+ √(x² - 3x/2 + 1/2]
55) ∫ dx/√(1- e²ˣ). 1/2 log|{√(1- e²ˣ) -1}/{√(1- e²ˣ) +1}|
56) ∫ 2x/(1 - x² - x⁴). sin⁻¹ {(2x² +1)/√5}
57) ∫ aˣ/√(1- a²ˣ). 1/log |sin⁻¹(aˣ)
58) ∫ eˣ/√(5 - 4ˣ - e²ˣ). sin⁻¹{(eˣ +2)/3}
59) ∫ √{x/(a³ - x³)}. 2/3 sin⁻¹{√(x/a)³}
60) ∫ cosx/√(sin²x - 2 sinx -3). Log|(sinx - 1) + √(sin²x - 2 sinx -3)|
61) ∫ √[sin(x -a)}/sin(x + a)]. - cos a sin⁻¹(cosx/cos a) - sin a. Log|sinx - √(sin²x - sin²a|
62) ∫ (2sin 2x - cosx)/(6 - cos²x - 4 sinx). 2 log|sin²x - 4 sinx +5| + 7 sin⁻¹(sinx - 2)
63) ∫ √{(cosx - cos³x)/(1- cos³x)}. 2/3 sin⁻¹√(cos³x)
64) ∫ √{(a - x)/(a+ x)}. sin⁻¹(x/a) + √(a² - x²)
65) ∫ √x{(a² - x²)/(a²+ x²)}. a²/2 sin⁻¹(x²/a²) + 1/2 (√(a⁴ - x⁴)
66) ∫ x √{(1+ x - x²)}. 1/3 √(1+ x - x²)³ + 1/2 [(x - 1/2)/2 √(1+ x - x²) + 5/8 sin⁻¹(2x-1)/√5)]
67) ∫ (x+1) √(1- x - x²). - 1/3 √(1- x - x²)³ + 1/8 (2x+1) √(1- x - x²) + 5/16 sin⁻¹(2x +1)/√5)
68) ∫ (x² + x +3)/(x² - x -3). x + log|x² - x - 2| + 2 log|(x -2)/(x+1)|
69) ∫ (2x² +5x +4)/√(x²+ x+1). (x+ 7/2) √(x²+ x+1) +5/4 log|(x +1/2) + √(x²+ x+1)|
70) ∫ dx/(4 sin²x + 9 cos²x). 1/6 tan⁻¹{(2 tanx)/3}
71) ∫ sinx/sin 3x. 1/(2√3) log|(√3 + tanx)/(√3- tanx)|
72) ∫ dx/(2+ sinx + cosx). √2 tan⁻¹{(tan(x/2) +1)/√2}
73) ∫ dx/(√3 sinx + cosx). 1/2 log|{(2- √3+ tan(x/2)}/(2+ √3- tan(x/2)}/|
74) ∫ (2+3 cosx)/(sinx + 2cosx+3). 6x/5+ 3/5 log|sinx + 2 cosx +3)| - 8/5 tan⁻¹[{(tan(x/2) +1}/2]
75) ∫ (3 sin +2 cosx)/(2sinx + 3cosx). 12x/13 - 5/13 log|3cosx +2 sinx)|
76) ∫ √{(3- x)/(3+ x)} sin⁻¹[1/√6 √(3- x)]. 1/4[-3(cos⁻¹(x/3))² + 2 √(9 - x²) cos⁻¹(x/3) +2x]
77) ∫ {sec(2+ secx)}/(1+ 2 secx)²}.
A) sinx/(2+ cosx)
B) cosx/(2+ cosx)
C) - sinx/(2+ sinx)
D) cosx/(2+ sinx)
78) ∫ log{√(1- x) + √(1+ x)}
A) x log{√(1- x) + √(1+ x)} + x/2 - sin⁻¹x
B) x log{√(1- x) + √(1+ x)} + x/2 + sin⁻¹x
C) x log{√(1- x) + √(1+ x)} - x/2 + 1/2 sin⁻¹x D) none
79) ∫ eˣ{(x⁴ +2)/√(1+ x²)⁵}.
A) eˣ{(x +1)/√(1+ x²)³}
B) eˣ{(1- x +x²)/√(1+ x²)³}
C) eˣ{(x -1)/√(1+ x²)³} D) n
80) If ∫ (sin k + sin k)eˢᶦⁿ ᵏ cos k dk = (A sin³k + B cos²k + C sink + D cos k +E)eˢᶦⁿ ᵏ + F, then
A) A = -4, B= 12. B) A = -4, B= -12
C) A = 4, B= 12 C) A = 4, B= -12
81) ∫ (1+ tanx tan(x+ A) dx.
A) Cot A. log|secx/sec(x+ A)|
B) tan A. log|sec(x+ A)|
C) Cot A. log|sec(x+ A)/ secx|
D) none
82) ∫ √(cos 2x)/sinx.
A) log|cotx + √(cot²x -1)|+ √2 log| cosx + √(cos²x - 1/2)|
B) - log|cotx + √(cot²x -1)|+ √2 log| cosx + √(cos²x - 1/2)|
C) log|cotx + √(cot²x -1)|+ 2 log| cosx + √(cos²x - 1/2)|
D) - log|cotx + √(cot²x -1)|+ 2 log| cosx + √(cos²x - 1/2)|
83) ∫ e⁽ˣ ˢᶦⁿ ˣ⁺ ᶜᵒˢˣ⁾ {(x⁴ cos³x - x sinx + cosx)/(x² cos²x)}
A) e⁽ˣ ˢᶦⁿ ˣ⁺ ᶜᵒˢˣ⁾ {x + 1/(x cosx)}
B) e⁽ˣ ˢᶦⁿ ˣ⁺ ᶜᵒˢˣ⁾ {x cosx + 1/x)}
C) e⁽ˣ ˢᶦⁿ ˣ⁺ ᶜᵒˢˣ⁾ {x - 1/(x cosx)}
D) none
84) ∫ (ax² - b)/{x √(c²x² -(ax²+b)²)}
A) 1/c sin⁻¹(ax + b/x)
B) c sin⁻¹(ax + b/x)
C) sin⁻¹{(ax + b/x)/c} D) n
85) ∫ sec²x dx
A) 1/2 (secx tanx + log|secx + tanx|)
B) (secx tanx + log|secx + tanx|)
C) 1/3 (secx tanx + log|secx + tanx|
D) none
86) ∫ dx/[(x - b)√{(x- a)(b - x)}]
A) -1/(b - a) √{(x -a)/(b- x)}
B) 1/(b - a) √{(x -a)/(b- x)}
C) 2/(a - b) √{(x -a)/(b- x)}
D) none
87) ∫ [√(x² +1){log(x²+1)- 2 logx]/x⁴.
A) 2/3 √(1+ 1/x²)³. Log|(1+ 1/x²) - 2/3|
B) -1/3 √(1+ 1/x²)³. Log|(1+ 1/x²) - 2/3|
C) √(1+ 1/x²)³. Log|(1+ 1/x²) + 2/3|
D) none
88) ∫ [1/(³√x + ⁴√x) + {log(1+ ⁶√x)}/(³√x + √x)]
A) 12{⁸ᵣ₌₁∑(-1)ʳ tʳ/r + log(1+ t)} + 6{(k/3 - 1/9) e³ᵏ - 3/2(k - 1/2)e³ᵏ + 3(k -1) eᵏ - k²/2}
B) 6{⁸ᵣ₌₁∑(-1)ʳ tʳ/r + log(1+ t)} + 12{(k/3 - 1/9) e³ᵏ - 3/2(k - 1/2) + 3(k -1) eᵏ - k²/2}
C) {⁸ᵣ₌₁∑(-1)ʳ tʳ/r + log(1+ t)} + 6{(k/3 - 1/9) e³ᵏ - 3k/2(k - 1/2)e³ᵏ + 3(k -1) eᵏ - k²/2}
D) none. t= ¹²√x and k= ⁶√x
89) ∫ dx/(secx + cosecx).
A) {(sinx + cosx)+ 1/√2 log|{tan(x/2) - 1 - √2}/{tan(x/2) - 1 + √2}|
B) 2(sinx + cosx)+ 1/√2 log|{tan(x/2) - 1 - √2}/{tan(x/2) - 1 + √2}|
C) 1/2 (sinx + cosx)+ 1/√2 log|{tan(x/2) - 1 - √2}/{tan(x/2) - 1 + √2}|
D) none
90) ∫ (3x³+ 2x² + x +1)/{(x+1)(x+2)}.
91) ∫ dx/(sinx - sin2x). = -1/2 log|1- cosx| - 1/6 log|1+ cosx| + 2/3 log |1- 2 cosx|
92) ∫{(1- x sinx)}/{x(1- x³ e³ᶜᵒˢˣ). log|x eᶜᵒˢˣ)| - 1/3 log|1- xeᶜᵒˢˣ)| - 1/3 log|(1+xeᶜᵒˢˣ+ (xeᶜᵒˢˣ)²|
93) ∫ sin 4x. ₑtan²x dx. - 2 cos⁴x ₑtan²x
94) ∫ {(1+ x cosx)}/{x(1- x²e²ˢᶦⁿˣ). log|x ˢᶦⁿˣ)| - 1/2 log|1- x²eˢᶦⁿˣ)|
95) ∫ √x/√(x³ + a³). 2/3 log|√x³ + √(x³ + a³)|
96) ∫ (sinx + cosx)/(9+ 16 sin 2x). 1/40 log|{5+ 4(sinx - cosx)}/{5- 4(sinx - cosx)}|
97) ∫ 5/(1+ x⁴). 5/2[1/2 tan⁻¹{x - 1/x)/√2} - 1/(2√2) log|{x + 1/x -√2}/{x + 1/x +√2}|]
98) ∫ dx/(x⁴ + 5x² +1). 1/2 [ 1/√7 tan⁻¹{(x - 1/x)/√7} - 1/√3 tan⁻¹{(x + 1/x)/√3}
99) ∫ √(tanx) dx.
100) ∫ 4/(sin⁴x + cos⁴x). 2√2 tan⁻¹{(tanx - cotx)/√2
101) ∫ dx/(2sinx + secx). 1/(2√2) log|cosec (x + π/4) - cot(x + π)4)| - 1/{2(sinx + cosx)}
102) ∫ dx/{(x +1)√(x -2)}. 2/√3 tan⁻¹{√(x -2)/√3}
103) ∫ (x+ 2)/{(x²+ 3x +3)√(x +1)}. 2/√3 tan⁻¹{x/√{x(x +1)}
104) ∫ dx/{(x -1)√(x²+ x+1)}. 1/√3 log[{1/(x- 1) + 1/2} + √{12(1/(x-1) +1/2)² +1}/12]
105) ∫ dx/{(1+ x²)√(1- x²)}. -1/√2 tan⁻¹{√(1- x²)/√2 x}
106) ∫ {(x -1) √(x⁴ + 2x³- x²+ 2x+1)}/{x²(1+ x)}. √(t²+ 2t -3) - log{(t+1)+ √(t² +2t -3)} - √3 sin⁻¹{(t+ 5)/(t+2)} where t = x+ 1/x
107) ∫ dx/{(x- 3)³ √(x² - 6x +10)}. 1/2 [log|{1+ √(x² - 6x+ 10)/|x -3|}| - √(x² - 6x +10)/|(x- 3)²|]
108) ∫ (2x² +5x +9)/{(1+ x)√(x²+ x +1)}. 2 √(x²+ x +1) + 2 log|(x + 1/2) + √(x²+ x +1)| - 6 log|[{1- x + √(x²+ x +1)}/{2(x+1)}]|
109) ∫ x¹⁾³(2+ x¹⁾²)². 3x⁴⁾³ + 3x⁷⁾³/7 + 24x¹¹⁾⁶/11
110) ∫ x⁻²⁾³(1+ x²⁾³) ⁻¹. 3 tan⁻¹(x¹⁾³)
111) ∫ x⁻²⁾³(1+ x¹⁾³)¹⁾². 2(1+x¹⁾³)³⁾²
112) ∫ √x(1+ x¹⁾³)⁴. 6{x²⁾³ + 4x¹¹⁾⁶/11+ 6x¹³⁾⁶/13 + 4x⁵⁾²/15+ x ¹⁷⁾⁶/17}
113) ∫ x⁵(1+ x)²⁾³. 1/8 (1+ x³)⁸⁾³ - 1/5 (1+ x³)⁵⁾³
114) ∫ x⁻¹¹(1+ x⁴)⁻¹⁾². √{1+ 1/x⁴)
115) ∫ dx/(³√x + ⁴√x). 12(y⁸/8 - 8y⁷/7 + 28y⁶/6 - 56y⁵/5 + 70y⁴/4 - 56³/3 + 28y²/2 - 8y + log|y|) where y= x¹⁾¹² +1
116) ∫ dx/{(x - 1)³⁾⁴(x+ 2)⁵⁾⁴}. 4/3 {(x -1)/(x + 2)}¹⁾⁴
117) ∫ (1+ x)/{x(1+ xeˣ)}
A) log|x/(1+ xeˣ)| + 1/(1+ xeˣ)
B) log|xeˣ)/(1+ xeˣ)| + 1/(1+ xeˣ)
C) log|xeˣ)/(1+ eˣ)| + 1/(1+ xeˣ)
118) ∫ dx/{x + √(a² - x²)}.
A) 1/2 sin⁻¹(x/a) + 1/2 log|x + √(a² - x²)|
B) 1/2 sin⁻¹(x/a) - 1/2 log|x + √(a² - x²)|
C) 1/2 sin⁻¹(x/a) - log|x + √(a² - x²)|
D) 1/2 cos⁻¹(x/a) + 1/2 log|x + √(a² - x²)|
119) ∫ (x² - 1)/{(x² +1) √(x⁴+ 1)}.
A) 1/√2 sec⁻¹{(x² +1)/√2 x}
B) √2 sec⁻¹{(x² +1)/√2 x}
C) 1/√2 cosec⁻¹{(x² +1)/√2 x}
D) √2 cosec⁻¹{(x² +1)/√2 x}
120) ∫ dx/(cos⁶x + sin⁶x).
A) tan⁻¹(2 cot 2x)
B) tan⁻¹(cot 2x)
C) tan⁻¹(1/2 cot 2x)
D) tan⁻¹(- 2 cot 2x)
121) ∫ dx/{(x +a)⁸⁾⁷(x - b)⁶⁾⁷}
A) 3/{2(a - b)} {(x +a)/(x - b)}²⁾³
B) 3/(a - b) {(x - b)/(x + a)}¹⁾³
C) 7/(a - b) {(x - b)/(x + a)}¹⁾⁷
D) none
122) ∫ dx/{(x +1)¹⁾²(x +1)¹⁾²}
A) t³ - 3t² + t - 6 log|1+ t)| where t= (x + 1)¹⁾⁶
B) 2t³ - 3t² + 6t - 6 log|1+ t)| where t= (x + 1)¹⁾⁶
C) t³ - 3t² + 6t - 6 log|1+ t)| where t= (x² - 1)¹⁾⁶
D) none
123) ∫ (x +2)/{(x² + 3x +3) √(x +1)}
A) tan⁻¹[x/{√3 √(x+ 1)}]
B) 2/√3 tan⁻¹[x/{√3 √(x+ 1)}]
C) 1/(2 √3) log|{x+ √(x+1)}/{x - √(x+ 1)}|
D) none
124) ∫ (x⁴ - 1)/{x²(x⁴ + x² +2)¹⁾²}
A) √{(x⁴ + x³ +1)/x}
B) √{(x⁴ + x³ +1)/x³}
C) √{(x⁴ + x³ +1)/x²}
D) none
125) ∫ sec x/√{sin(2x +A) + sin A}
A) sec A √(tanx + sin A cos A)
B) √2 sec A √(tanx .sin A +cos A)
C) 1/√2 sec A √(tanx . sin A+ cos A)³⁾²
D) none
126) ∫ x/√(7x - 10 - x²)³. -2/9 (-5/t +2t) where t= √(7x - 10 - x²)/(x -2)
127) ∫ dx/{x +√(x²- x +1). 2 log|t| - 1/2 log|(t -1) -3/2 log|t + 1| + 3/(t +1) where t= √(x² - x +1)/x
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