LIMIT = L'HOSPITAL (COM)

                 EXERCISE --1

1) lim ₓ→₀ {xeˣ - log(1+x)}/x².     3/2

2) lim ₓ→₀{x cosx - log(1+x)}/x². 1/2

3)lim ₓ→₀(1- cosx)/(x log(1+x)). 1/2

4) lim ₓ→₀ {eˣ+ sinx - 1)/log(1+x).  2

5) lim ₓ→₀{sinx - x + x³/6}/x⁵.   1/120

6) lim ₓ→₀ (x - sinx)/x³.               1/6

7) lim ₓ→₀ {cotx - 1/x)/x.          -1/3

8) lim ₓ→₀ (tanx - x)/(x² tanx).    1/3

9) lim ₓ→₀ (x - sinx)/tan³x.         1/6

10) lim ₓ→₀ (x - tanx)/x³.            -1/3

11) lim ₓ→₀ (tanx - sinx)/x³.         1/2

12) lim ₓ→₀ (sinx sin⁻¹x - x)/x⁶. 1/18

13) lim ₓ→₀(sinx sin⁻¹x)/x².             1

14) lim ₓ→₀(x - sin⁻¹x)/(x sin³x).     -1/6

15) lim ₓ→₀{(cosx + log(1-x) -2 + x}/x².                          0

16) lim ₓ→₀(eˣ +e⁻ˣ+2 cosx -4)/x⁴.     1/6

17) lim ₓ→₀{(eˣ - e⁻ˣ+2 log(1+x)}/(x sinx).                               1

18) lim ₓ→₀(eˣ- e⁻ˣ-2x)/(x - sinx).    2

19) lim ₓ→₀(eˣ -e⁻ˣ-2x)/(x²sinx).   1/3

20) lim ₓ→₀(eˣ -e⁻ˣ)/{log(1+x)}.     2

21) lim ₓ→₀(log(1+ kx²))/(1- cosx). 2k

22) lim ₓ→₀(log(1- x²))/(log cosx).  2

23) lim ₓ→₀(eˣ sinx - x - x²)/{x² + x log(1-x)}.                    -2/3

24) lim ₓ→₀(log(1+ x²))/sin³x.         1

25) lim ₓ→₀(aˣ-1-x loga)/x².        1/2 (log a)².

26) lim ₓ→₀(aˣ - bˣ)/x.         Log(a/b)

27) lim ₓ→₀ (aˣ- xᵃ)/(xˣ - bᵇ).           1

28) lim ₓ→₀ sin(ax)/sin(bx).        a/b

29) lim ₓ→₀ sin4x/sin2x.              5/2

30) lim ₓ→₀(log tan 2x)/(log tan 3x).                            1

31) lim ₓ→₀(log tanx)/log x.            1

32) lim ₓ→₀(sin2x + 2 sin²x - 2sinx)/(cosx - cos²x).         

33) lim ₓ→₀(5 sinx - 7 sin2x + 3sin3x)/(tanx - x).                        -15

34) lim ₓ→₀(2 sinx - sin2x)/tan³x.      1

35) lim ₓ→π. (1+ cosx)/tan²x.     1/2

36) lim ₓ→π/4. (sec²x - 2 tanx)/(1+ cos 4x).                            1

37) lim ₓ→₁ (2sin πx + π(x² -1)²)/(x² -1)².                        ∞

38) lim ₓ→₁ (sec (π/2x) logx).     2/π

39) lim ₓ→π/2 cos x/(x -π/2).        -1

40) lim ₓ→₀ (√x tanx)/√(eˣ-1)³.       1

41) lim ₓ→₀ {(1+x)¹⁾ˣ- e}/x.          -e/2

42) lim ₓ→₀ {(1+x)¹⁾ˣ- e + ex/2}/x².             e/2

43) lim ₓ→₀ {1/x² - cosec²x).    -8/24

44) lim ₓ→₀(1/x² - cot²x).            2/3

45) lim ₓ→₀(1/x - cotx).                   0

46) lim ₓ→₀(cotx - 1/x)/x².            ∞

47) lim ₓ→₀{1/x - 1/x² log(1+x)}.   1/2

48) lim ₓ→π/2. (Secx - tanx).          0

49) lim ₓ→π/2 x tanx - π/2 secx.    -1

50) lim ₓ→π/2 (secx - 1/(1-sinx).   ∞ 

51) lim ₓ→₀{1/2x² - 1/(2x tanx)}.    1/6

52) lim ₓ→₂[1/(log(x-1)) - 1/(x-2)].     1/2

53) lim ₓ→₀[1/(eˣ-1) - 1/x].       -1/2

54) lim ₓ→₀(x⁵ - 2x³- 4x²+ 9x -4)/(x⁴- 2x³+ 2x -1).                     4

58) lim ₓ→₀ {(1+x)ⁿ-1}/x.                n

59) lim ₓ→₁{√x -1 + √(x-1)}/√(x² -1).             1/√2

60) lim ₓ→₀ {1 - √(1-x²)}{√(x+1)}/(2x √x).                     1/√2

61) lim ₓ→₀ {1- √(1-x²)}/x².            1

62) 1/2. lim ₓ→₀ {√(1+x²)- √(1-x²)}/x².                 1

63) lim ₓ→₀ {√(1+x)- √(1+ x/2)}/x². -1/8

64) lim ₓ→₀ {1- x + logx}/{1- √(2x - x²)}.                 -1

65) lim ₓ→₂ [4/(x²-4) - 1/(x-2)].   -1/4

66) lim ₓ→₀ {tan mx - tan nx)/(n sin² my - sin²nx).                         Sec² mx. Cosec 2mx.

67) lim ₓ→₀ (log sin2x)/(log sinx).  1

68) lim ₓ→₀ (tan 5x)/(tanx).         1/5